(共22张PPT)
3 勾股定理的应用举例
知识点1 确定几何体上的最短路线
在立体图形上，确定两点之间的最短路线时，应将其展开成
_____图形，利用“两点之间线段最短”找到最短路线，再运
用勾股定理解题．
平面
知识点2 利用勾股定理解决实际问题
在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合
要求的_____三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而
把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用_________进行
解决．
直角
勾股定理
考点1 圆柱体表面上的最短路线
典例1 [2024·鲤城区期末]如图，若圆柱的底面周长是30 cm，
高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做
装饰，则这条丝线的最小长度是______．
50 cm
思路导析 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两
点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
变式 [数学传统文化][东营中考]我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，
五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯
木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底
面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕
五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤
的最短长度是___尺．
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考点2 长方体表面上的最短路线
典例2 [2024·青山区期末]如图，长方体的底面边长分别为1 cm
和2 cm，高为4 cm，点P在边BC上，BP＝ BC.若一只蚂蚁从A点
开始经过3个侧面爬行一圈到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长
为_____．
5 cm
思路导析 要求蚂蚁爬行的最短路径长，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
变式 [2024·秦都区期中]如图，长方体的底面是边长为6的正
方形，高AA′＝4，若棱CC′的中点P处有一只蚂蚁，要沿着长
方体的外表面爬到顶点A′处，则它需要爬行的最短路程是___．
10
解析：如图1，
在直角三角形A′C′P中，由勾股定理得A′P2＝122＋22＝148；
如图2，
在直角三角形A′D′P中，由勾股定理得A′P2＝2＋62＝100；
因为148>100，
所以需要爬行的最短路径长为10.
考点3 实际问题中的勾股定理
典例3 [2024·祁东县期中]如图，铁路MN和公路PQ在点O处相交，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝160 m．如果火车行驶时，周围100 m内会受到噪声影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72 km/h，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒？
思路导析 过点A作AB⊥MN，利用直角三角形的性质求出AB的长与100 m相比较即可；过点A作AD＝AE＝100 m，求出DE的长即可得出居民楼受噪声影响的时间．
变式 [2024·阿荣旗期末]如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以每小时200 km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风的影响，那么A城遭
受这次台风影响有多长时间？
解：(1)A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km，
则AM＝300 km，
因为300＜500，
所以A城要受台风影响；
(2)设BC上点D，G，使AD＝AG＝500 km.
因为AM⊥BC，
所以DM＝GM.
在Rt△ADM中，DA＝500千米，AM＝300千米，
由勾股定理得，MD2＝AD2－AM2，
所以MD＝400千米，
则DG＝2DM＝800千米，
A城遭受台风影响的时间是t＝800÷200＝4(小时)，
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
考点4 勾股定理在“ 汽车过桥洞”类题目中的应用
典例4 [2024·淇县期末]一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲
通过如图所示上边为半圆的隧道，则卡车的外形高必须低于( )
A．3.0米
B．2.9米
C．2.8米
D．2.7米
思路导析 根据题意欲通过如图的隧道，只要使距隧道中线0.8米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．
变式 如图所示为上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2.2米，长方形的另一边为2.3米，有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要从此桥洞经过．
(1)卡车是否能通过桥洞？说明理由；
(参考数据：0.7552≈0.57)
(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，
要使宽为1.5米，高为3.1米的卡车通过，则桥洞的宽至少增加到多少米？
解：(1)如图1，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD＝MN＝1.6米，AB＝2.2米，
由作法得CE＝DE＝0.8米，
又因为OC＝OA＝1.1米，
在Rt△OCE中，OE2＝OC2－CE2＝1.12－0.82＝0.57，
所以OE≈0.755(米)，
所以CM＝2.3＋0.755＝3.055＞2.5.
所以这辆卡车能通过；
(2)如图2，
根据题意可知，CG＝BE＝3.1米，BG＝OF＝1.5米，
EF＝AD＝2.3米，
所以BF＝0.8米，
所以根据勾股定理有OA2＝OB2＝BF2＋OF2＝
0.82＋1.52＝2.89(米)，
所以OA＝1.7米，
所以桥洞的宽至少增加到1.7×2＝3.4(米)．(共10张PPT)
2 一定是直角三角形吗
知识点1 直角三角形的判别
如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形
是直角三角形．
a2＋b2＝c2
知识点2 勾股数
满足__________的三个正整数，称为一组勾股数．
a2＋b2＝c2
【规律总结】
常见勾股数组合：(1)(3，4，5)，(6，8，10)，…，(3n，4n，5n)(n是正整数)；
(2)(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，…，(2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1)(n是正整数)；
(3)(8，15，17)，…，(2n，n2－1，n2＋1)(n是大于1的正整数)．
考点1 勾股数
典例1 [2025·清远期末]下列数据是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4
C．5，6，7 D．7，24，25
思路导析 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数且两短边的平方和等于最长边的平方来判断．
变式 [2025·梅州期中]我们知道，若一组勾股数为3，4，5，则32＝4＋5；若一组勾股数为5，12，13，则52＝12＋13；若一组勾股数为7，24，25，则72＝24＋25；若一组勾股数为9，40，41，则92＝40＋41.若一组勾股数为13，b，c(c>b>13)，则c－2b的值为( )
A．－83 B．－84
C．－85 D．－86
考点2 直角三角形的判别
典例2 [2024·广水期末]如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，
AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为___．
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思路导析 连接AB，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，最后根据阴影部分的面积＝△ABD的面积－△ABC的面积，进行计算即可解答．
变式1 [2024·李沧区期末]五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( )
变式2 [2024·黄浦区期末]如图，△ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，AD是BC边上的中线，BE是△ABC的角平分线，下列结论错误的是( )
A．AD⊥BE
B．点E到BC的距离等于线段AE的长度
C．点D在线段AC的垂直平分线上
D．13S△ABE＝5S△BEC(共16张PPT)
第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
知识点1 勾股定理
直角三角形两直角边的_______等于斜边的_____．如果用a，b，
c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么__________．
平方和
平方
a2＋b2＝c2
【注意】
(1)勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，其他三角形不适用．
(2)a2＋b2＝c2只适用于当边c所对的角是直角的情况．
知识点2 勾股定理与图形面积
如图，正方形A，B，C之间的面积关系为__________．
SA＋SB＝SC
知识点3 勾股定理的验证
勾股定理的验证一般用_____法，其基本思想是借助于图形的
_____来验证，依据是对图形进行_____、_____后面积_____的
原理．
拼图
面积
割补
拼接
不变
考点1 勾股定理
典例1 [2024·海宁期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边长．
(1)已知a＝5，b＝12，求c的值；
(2)已知c＝25，a＝7，求b的值；
(3)若c＝40，a∶b＝3∶4，求a，b的值．
思路导析 (1)由勾股定理直接求解即可；
(2)由勾股定理直接求解即可；
(3)设a＝3x，b＝4x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
解：(1)c2＝52＋122＝169，c＝13；
(2)b2＝252－72＝576，b＝24；
(3)设a＝3x，b＝4x，
则(3x)2＋(4x)2＝402，
解得x＝8或x＝－8(舍去)，
所以a＝3x＝24，b＝4x＝32.
变式 [分类讨论思想][2024·长春期末]直角三角形的两边长分别为3和4，该三角形第三边的长的平方是( )
A．25 B．36
C．49 D．25或7
考点2 勾股定理与图形面积
典例2 [2024·晋江期末]我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是( )
思路导析 根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
变式 [2024·大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，
其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外
分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角
形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上
述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图
①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积
和为___．
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考点3 勾股定理的实际应用
典例3 [2024·兴庆区期末]如图，当秋千静止时，踏板离地的
垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)．
踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的
长是____．
5 m
思路导析 找到直角三角形，利用勾股定理即可列方程．设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB－BD＝(x－2)m.在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
变式 如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离AB为125 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN为60 m，喷泉B到供水点M的距离BM为75 m．求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．
解：根据题意得MN＝60 m，
在Rt△MNB中，BN2＝BM2－MN2，
所以BN＝45 m，
所以AN＝AB－BN＝125－45＝80(m)．
在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2，
所以AM＝100 m，
所以供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为100＋75＝175(m)．
