(共19张PPT)
第4课时 等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1．定义：有两边_____的三角形叫作等腰三角形．
2．定理：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的___
也相等．(等角对等边)
相等
边
知识点2 等边三角形的判定
1．三边相等的三角形叫作_____三角形．
2．三个内角都_____的三角形是等边三角形．
3．有一个角是60°的_____三角形是等边三角形．
等边
相等
等腰
知识点3 含30 °角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角
边等于斜边的_____．
一半
考点1 等腰三角形的判定
典例1 [2024·北京期中]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.
(1)判断△AED的形状，并说明理由；
(2)求证：AB＝2DE.
思路导析 (1)根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到∠BAD＝∠ADE，可得DE＝AE；
(2)根据余角的性质得到∠EBD＝∠BDE，从而得出结论．
解：(1)△AED是等腰三角形，
理由：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD，
因为DE∥AC，
所以∠ADE＝∠CAD，
所以∠BAD＝∠ADE，
所以AE＝DE，即△AED是等腰三角形；
(2)证明：因为BD⊥AD，
所以∠BDE＋∠ADE＝90°，∠DBE＋∠BAD＝90°，
因为∠BAD＝∠ADE，
所以∠BDE＝∠DBE，
所以BE＝DE，
因为AE＝DE，
所以AB＝2DE.
变式 [武汉中考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
考点2 等边三角形的判定
典例2 [2024·兰州期末]如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)请判断线段AD与CE的大小关系，
并说明理由．
思路导析 (1)根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB＝CB，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可证明；
(2)根据等边三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CDE＝30°＝∠E，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
解：(1)证明：因为BD⊥AC，点D是AC边的中点，
所以BD垂直平分AC，
所以AB＝CB.
因为EF⊥AB，
所以∠ABC＋∠E＝90°.
因为∠E＝30°，
所以∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形；
(2)AD＝CE，理由：
因为△ABC是等边三角形，
所以∠ACB＝60°.
因为∠ACB＝180°－∠DCE＝∠E＋∠CDE，∠E＝30°，
所以∠CDE＝30°＝∠E，
所以CD＝CE.
因为点D是AC边的中点，
所以AD＝CD，
所以AD＝CE.
变式 [2024·潍坊期中]如图，等边△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过D作DE∥AB交BC于点E，连接AE.求证：AE⊥BC.
考点3 含30 °角的直角三角形的性质
典例3 [2024·交城县期中]如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，F.若△AFC是等边三角形，AC＝6，则DF的长度为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
思路导析 根据垂直平分线的性质可得BF＝CF，根据等边三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
变式 [2024·江城区期末]如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝30，则AM长度为( )
A．30 B．40
C．50 D．60(共10张PPT)
第3课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的性质
1．等腰三角形是_______图形．
2．等腰三角形顶角的_______、底边上的_____、底边上的___
重合(也称“三线合一”)，它们所在的_____都是等腰三角形的
对称轴．
3．等腰三角形的两个_____相等．(等边对等角)
轴对称
平分线
中线
高
直线
底角
知识点2 等边三角形的性质
1．边：三边_____，每边上“三线合一”．
2．角：三个角都是_____．
3．对称性：等边三角形是_______图形，有___条对称轴．
相等
60°
轴对称
三
考点1 等腰三角形的性质
典例1 [2024·西湖区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
思路导析 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．
变式1 (1)[2024·鞍山期末]用一条长为18 cm的细绳围成一个腰与底边不等的等腰三角形，各边的长可能是( )
A．4，4，10 B．3.6，7.2，7.2
C．4，6，8 D．6，6，6
(2)[分类讨论][2024·鄞州区期末]等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是___________．
80°或20°
变式2 [2024·长兴县期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD是△ABC的角平分线，则CD的长是( )
A．6 B．5
C．4 D．无法确定
考点2 等边三角形的性质
典例2 [2023·金昌]如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D
为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
思路导析 根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
变式 [2024·花都区期末]如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点H为BC边上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片BDE，E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片的底边BC长应为( )
A．8 B．10
C．11 D．13(共20张PPT)
第2课时 轴对称的性质
知识点1 轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被
对称轴_________，对应线段_____，对应角_____．
垂直平分
相等
相等
知识点2 作一个图形的轴对称图形
画轴对称图形的步骤：
(1)找—在原图形上找_______；
(2)作—作各个关键点关于已知直线(对称轴)的_______；
(3)连—按原图顺次连接各对应点．
关键点
对应点
考点1 轴对称的性质
典例1 [2024·涵江区期中]如图，△ABC中，点D在BC边上，点D关于AB，AC对称的对称点分别为E，F，连接AE，AF.如图所示，∠EAF的度数是( )
A．113° B．124°
C．129° D．134°
思路导析 由点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，得∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，再根据∠B＝62°，∠C＝51°求出∠BAC的度数，进而可求出答案．
变式1 [2024·承德期末]如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N
分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN
上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，
PN＝3 cm，QN＝1.5 cm，则线段MR的长为( )
A．4.5 cm B．5.5 cm
C．6.5 cm D．7 cm
变式2 [将军饮马模型][2024·老河口期中]如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使PE＋PF最短，则点P应选在( )
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
变式3 [2024·孝南区期中]如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，
点A的对应点为点A′.若∠A′＝32°，∠B＝112°，则∠A′MB
＝___°，∠A′NC＝____°.
44
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考点2 作轴对称图形
典例2 已知如图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′.
思路导析 分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′，即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′.
解：如图，△A′B′C′即为所求作．
【规律总结】
作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题转化为作点的对称点的问题．
变式1 [跨学科]如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直
线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩
余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业：_____．
厨师
答案：补全图形如图所示．
变式2 把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
解：如图所示：
考点3 网格中的轴对称(图形)作图
典例3 [2025·秦都区期末]请在网格中完成下列问题：
(1)如图1，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴直线PQ；
(2)如图2，请在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′.
思路导析 (1)利用网格特点作AD，CF的垂直平分线即可；
(2)利用网格特点，分别作A，B，C关于直线MN的对称点即可．
解：(1)如图，直线PQ为所作；
(2)如图，△A′B′C′为所作．
变式 [2024·鞍山期末]如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点三角形ABC.
(1)以直线l为对称轴，在图中直接作出△ABC的轴对称图形△A′B′C′；
(2)在直线l右侧，在△A′B′C′外部，
画出以B′C′为腰的一个等腰直角三角
形DB′C′；
(3)计算△DB′C′的面积．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)如图，等腰直角三角形DB′C′和△D′B′C′，即为所求(画出1个即可)；(共15张PPT)
2 简单的轴对称图形
第1课时 线段的垂直平分线
知识点1 线段的垂直平分线
线段是_______图形，_____并且_____线段的直线是它的一条对
称轴．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线
段的垂直平分线．
轴对称
垂直
平分
【注意】
线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段．
知识点2 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个_____的距离相等．
端点
【拓展】
三角形三边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等．
知识点3 线段垂直平分线的尺规作图
利用尺规，作线段AB的垂直平分线．
已知：线段AB，如图1所示．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D；
(2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图2)．
考点1 线段垂直平分线性质的应用
典例1 [2024·南阳期末]如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝4，AC＝3，则△ACD的周长为( )
A．6 B．6.5
C．7 D．7.5
思路导析 根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解题即可．
变式 [2024·拱墅区期末]如图，在△ABC中，边AC的垂直平分
线交AC于点E，交BC于点D，若AB＝6，AC＝8，△ABD的周长为18，
则BC的长为___，△ABC的周长为___．
12
26
考点2 线段垂直平分线的作图
典例2 [2024·绿园区二模]小丽同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是( )
思路导析 根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
变式 [2025·深圳期中]如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝
30°，分别以点A，C为圆心，大于 AC为半径画弧，两弧(弧所
在圆的半径相等)相交于M，N两点，画直线MN与边BC相交于点D，
则∠ADB的大小为( )
A．45° B．50°
C．55° D．60°
考点3 “ 将军饮马”问题
典例3 如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站M，A，B是路边两个新建小区，如果要使两个小区到车站M的路程之和最小，那么这个公共汽车站M应该建在公路的什么位置？请在图中画出来．(保留作图痕迹，不写作法)
思路导析 过点A作AC垂直l，延长AC到A′，使A′C＝AC，则A′与点A关于l对称，连接A′B交l于点M，连接MA，此时AM＋MB的和最小．
解：如图所示，点M就是汽车站的位置．
变式 [2024·米东区期末]如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，
∠B＝∠D＝90°，M，N分别为BC，DC上的点，当△AMN的周长最
小时，∠MAN的度数为_____．
80°(共27张PPT)
3 利用轴对称进行设计
知识点1 剪纸中的轴对称
剪纸的原理是_______和___________的性质．剪纸是通过将纸对
折，在折叠的纸上画出设计的图案，然后剪去不要的部分得到的，
展开铺平后可以得到_____的连续图案．对折的次数不同，剪得
的图案也各异．
轴对称
轴对称图形
对称
知识点2 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案：(1)对要求使用若干个指定的图形设计轴
对称图形的题目，应广泛联想生活中的有关事物，尽量发挥想象
力；(2)设计图案时要利用比较简单的图形的轴对称组成比较复
杂的轴对称图形．
考点1 折叠、剪纸中的轴对称问题
典例1 将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是( )
思路导析 根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现．
变式1 [2023·淮安]剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是( )
变式2 [2024·海安县期中]将一正方形纸片按图①，图②的方式依次对折之后，再沿图③中的虚线裁剪得图④.最后将图④的纸片打开铺平，所得到的图案是( )
变式3 [济宁中考]将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位线)剪去上面的小直角三角形，将留下的纸片展开，得到的图形是( )
考点2 利用轴对称设计图案
典例2 学校计划在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花
坛图案是轴对称图形，如图是小兵设计的几个图案，其中符合
要求的有_________．(只填序号)
①②③④
思路导析 轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与原图形重合，结合各图形进行判断即可．
变式1 [2024·港南区期末]如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．2种
变式2 [2024·甘肃]围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图
是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如
果落子于点_______的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．(填
写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上)
A(或C)(共12张PPT)
第2课时 角平分线
知识点1 角的对称性
角是_______图形，_________所在的直线是它的对称轴．
轴对称
角平分线
知识点2 角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的_____的距离相等．
两边
知识点3 角平分线的尺规作图
利用尺规，作已知角的平分线．
已知：∠AOB，如图1所示．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取线段OD，OE，
使OD＝OE；
(2)分别以点D，点E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两
弧在∠AOB内交于点C；
(3)作射线OC，则射线OC使∠AOC＝∠BOC(如图2)．
考点1 角平分线的性质
典例1 [青海中考]如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
变式1 [2025·太原期末]如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD.若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠AOP＝∠BOP
B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD
D．PD＝CD
变式2 [2024·东城区期末]如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，
AD＝BC＝4，AB＝6，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积
为___．
20
变式3 [2024·惠山区期末]如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥
AB于点E，△ABC的面积是45 cm2，AB＝8 cm，BC＝7 cm，则DE
＝__cm.
6
考点2 角平分线的作图
典例2 如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
思路导析 由已知条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在∠AOB的平分线与AB的交点上．
解：作∠AOB的平分线交AB于点M，点M为水厂的位置．
变式 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处 B．二处
C．三处 D．四处(共6张PPT)
☆问题解决策略：转化
知识点 转化思想
数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉
的问题．转化是解决数学问题的一种重要策略．转化可以把一
个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化
不熟悉为熟悉的目的．
考点 转化思想
典例 我们已经学习了很多解决数学问题的策略，下面运用了“转化”策略的有( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
思路导析 本题考查的是数学转化思想的应用，计算不规则物体的体积，把不规则物体转化为规则物体来计算体积，可判断①；解决特殊的计算问题，把复杂的计算转化为简单的计算，可判断②；计算小数的乘法，转化为计算整数的乘法，可判断③；计算多边形的内角和，转化为计算三角形的内角和，可判断④，从而可得答案．
变式1 如图，∠AOB＝30°，点P位于∠AOB内，OP＝3，点M，N
分别是射线OA，OB边上的动点，当△PMN的周长最小时，最小周
长为__，此时∠MPN＝______．
3
120°
变式2 [2024·广东模拟]如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，
以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为
BC边上一点，若CF＝2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为
______．(结果保留π)(共20张PPT)
第二章 轴对称
1 轴对称及其性质
第1课时 轴对称现象
知识点1 轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互
相_____，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作_____
___．
重合
对称
轴
知识点2 轴对称
对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全_____，
那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称
轴．
重合
考点1 轴对称图形
典例1 [2024·扬州]“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是( )
思路导析 根据轴对称图形的定义解答即可．
变式1 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是( )
变式2 [2024·昌平区期末]2025年春节联欢晚会主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是( )
考点2 两个图形成轴对称
典例2 [2024·牡丹区期末]将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你见到的图形可能是( )
思路导析 根据题意可知所得到的图形是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合要求的即可．
变式1 [跨学科][2024·济南期末]有一个英语单词，其四个字
母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补
全后的单词所指的物品___．
书
变式2 下列每对文字图形中，能看成关于虚线对称的有：_____
(填序号)．
①⑤
