(共21张PPT)
第2课时 平方根
知识点1 平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数__就
叫作__的平方根(也叫作二次方根)．表示方法：正数a的平方根
可用“_____”表示，读作“____________”．
x2＝a
x
a
正、负根号a
知识点2 平方根的性质
1．一个正数有___个平方根，它们互为_______．
2．0的平方根是__．
3．负数_____平方根．
两
相反数
0
没有
知识点3 开平方
求一个数a的_______的运算叫作开平方，a叫作_________．开
平方与平方是_____运算．
平方根
被开方数
互逆
【注意】
(1)开平方时，被开方数a必须是非负数；(2)平方根是开平方的结果，而开平方是一种运算，是求平方根的过程；(3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．
a
a
-a
【规律总结】
考点1 平方根
典例1 求下列各数的平方根．
(1)121； (2)0.01；
(3) ； (4)(－13)2.
思路导析 根据平方根的定义，进行求解即可．
变式2 [2024·东坡区期中]求下列各式中x的值．
(1)9x2－25＝0；
(2)4(2x－1)2＝36.
(2)4(2x－1)2＝36，
两边都除以4得(2x－1)2＝9，
由平方根的定义得2x－1＝±3，
即x＝2或x＝－1.
考点2 平方根的性质
典例2 [2024·凤翔区期末]若一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2.
(1)求a和b的值；
(2)求a＋3b的平方根．
思路导析 (1)先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可；
(2)先求出a＋3b的值，再求出其平方根即可．
解：(1)由题可知3b－5与－2b＋2互为相反数，
所以3b－5＋(－2b＋2)＝0，
所以b＝3，
所以a＝(3b－5)2＝42＝16；
(2)因为a＝16，b＝3，
所以a＋3b＝16＋3×3＝25，
所以a＋3b的平方根为±5.
变式1 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－26的平方根是它本
身，则a＋b的平方根为____．
±4
变式2 [2024·西山区期中]已知|x|＝1，y是4的平方根，
且|y－x|＝x－y，求x＋y的值．
解：因为|x|＝1，y是4的平方根，
所以x＝±1，y＝±2.
因为|y－x|＝x－y，
所以x－y≥0，即x≥y，
则x＝1，y＝－2或x＝－1，y＝－2，
所以x＋y＝－1或－3.
思路导析 先判断a＜b＜0＜c，进而得到a－b＜0，c－a＞0，再化简即可．
解：由三角形三边关系可知3＜n＜7，
所以3－n＜0，8－n＞0，
所以原式＝|3－n|＋|8－n|
＝－(3－n)＋(8－n)
＝－3＋n＋8－n
＝5.(共13张PPT)
第3课时 立方根
知识点1 立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数__就
叫作__的立方根(也叫作三次方根)．数a的立方根记为“ ”，
读作“__________”．
x
a
三次根号a
【注意】
知识点2 立方根的性质
每个数都只有___个立方根；正数的立方根是_____；0的立方根
是__；负数的立方根是_____．
一
正数
0
负数
知识点3 开立方
求一个数a的立方根的运算叫作开立方，__叫作被开方数．
a
思路导析 (1)(2)(3)(5)直接求立方根；
(4)先计算化简再求立方根．
【方法技巧】
求一个数a的立方根，就是找到一个数x，使得x的立方等于这个数a，有些数的立方根是不可化简的，只要表示出来即可，如典例1(5)中的情形．
变式2 [2024·新吴区期末]求下列各式中的x.
(1)4x3－256＝0；
(2)2(x＋1)3＋16＝0.
解：(1)x＝4；(2)x＝－3.
思路导析 根据立方根的概念求解即可．
2
0或1或2(共16张PPT)
4 实 数
第1课时 实数及其分类
知识点1 实数的定义
_______和_______统称为实数．
有理数
无理数
知识点2 实数的性质
有理数范围内的一些概念和性质在实数范围内仍然适用．实数
与数轴上的点_____对应．
一一
思路导析 根据实数的分类方法，判断出正分数、负有理数、无理数各有哪些即可．
【规律总结】
无理数常见类型：
(1)根号型：带根号且开方开不尽的数，注意带根号的数不一定是无理数；
(2)小数型：无限不循环小数；
(3)含π型：最终结果含有π的数．
⑥⑧
①⑤⑦
①⑦
②
①②⑦
③④⑤⑥
解：如图，点A，B即为所求．
变式1 [2024·成都期末]如图所示，数轴上的点A表示的实数
为－1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则点C表
示的数是_________．
解：如图，数轴上的点A表示的数是－1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D为所求作．
2
B
1
-4-3-2-10
1
2314
A
1-3
-2
-1
0
C
B
D
-1
O
1(共14张PPT)
第2课时 实数的运算及大小比较
知识点 实数的运算
1．有理数范围内的运算及运算律在实数范围内仍然适用．
2．实数混合运算的运算顺序：先算_____、_____，再算_____，
最后算_____，同级运算从___到___依次计算，有括号的要先算
_____里面的．
乘方
开方
乘除
加减
左
右
括号
思路导析 各个小题均根据互为相反数与互为倒数的定义和绝对值的性质，求出各个数的相反数、倒数和绝对值即可．
思路导析 先计算零次幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减．
＜
>
思路导析 比较实数的大小，进行恰当的转化可以较直观地比较．
＜
＞
＞(共6张PPT)
3 用计算器开方
知识点 用计算器开方
使用计算器进行开方运算时，一般是按从___到___的顺序依次
输入．使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，可以按照
算式的书写顺序从___到___按键输入算式，计算器将按照运算
顺序的_____顺序自动进行运算，其运算的优先顺序为：_____
中的运算、_____与_____运算、_____运算、_____运算．
左
右
左
右
优先
括号
乘方
开方
乘除
加减
思路导析 正确的按键顺序是解决本题的关键．(共12张PPT)
2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
知识点1 算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即_____，那么这个正数
__就叫作__的算术平方根，记为“____”，读作“______”．规
定0的算术平方根是__．
x2＝a
x
a
根号a
0
非负数
≥0
非负数
≥0
正数
0
没有
【注意】
(1) 表示a的算术平方根，其中a≥0，且 ≥0；
(2)算术平方根等于它本身的数只有0和1.
思路导析 根据算术平方根的定义解答各题即可．
【方法技巧】
(1)熟记一些平方数；(2)带分数化为假分数；
(3)注意先化简再求算术平方根．
变式2 [2024·海州区期中]已知2b＋3的算术平方根为3，3a＋b的算术平方根为6.
(1)求a，b的值；
(2)求4a－6b的算术平方根．
思路导析 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
－1(共11张PPT)
第4课时 估算
知识点1 用估算法确定无理数的近似值
对于带根号的无理数的近似值可以通过_____运算，逐渐靠近真
实值；在用估算法确定无理数的值时，往往要根据题目要求有
目的地去估计到某个数值．
乘方
知识点2 用估算法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般先估算出无理数的大致范围，
再做具体的比较．
考点1 估算无理数的近似值
思路导析 仿照使用夹逼法求 近似值的方法解答即可．
【易错易混】
(1)“精确到”与“误差小于”的意义的区别：精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，答案在其值左右1都符合题意，答案不唯一；(2)估算无理数的方法：①通过平方或立方运算，逐渐接近，确定真实值所在范围；②根据问题中误差允许范围，在真实值范围内取近似值．
1
＜
＞(共19张PPT)
第四章 实 数
1 无理数
知识点1 无理数的存在性
如图，有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到
一个大的正方形．设大正方形的边长为a，则a2＝2，a既不是___
___，也不是_____，所以a不是_______．
整
数
分数
有理数
知识点2 估计无理数的大小
假设正方形的边长为a，若面积a2＝3，则a既不是_____，也不是
_____，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得
a的近似值．因为1＜3＜4，所以__＜a＜__，即a的整数位是1.又
有1.12＝_____，1.22＝_____，1.32＝_____，1.42＝_____，1.52
＝_____，1.62＝_____，1.72＝_____，1.82＝_____，1.92＝
_____，可见3在____和____之间，故a的十分位上的数是__，用
同样的方法可确定其他数位上的数．
整数
分数
1
2
1.21
1.44
1.69
1.96
2.25
2.56
2.89
3.24
3.61
1.72
1.82
7
知识点3 无理数
___________小数称为无理数．
无限不循环
2
思路导析 无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可．
【规律总结】
判断一个数是有理数还是无理数，关键是正确理解无理数的概念，它的特征是“无限”“不循环”．有理数的表现形式有4类：整数，有限小数，无限循环小数，分数；无理数的表现形式有3类：无限不循环小数，π以及含π的数，开方开不尽的数(下节将学习)．
④⑥
考点2 网格图中的无理数
典例2 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长不是有理数的边有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
思路导析 根据勾股定理分别求出AB，BC，AC，根据无理数的概念判断即可．
变式1 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上．
(1)在图1中画一个面积为5的正方形；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另一边长是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数．
解：(1)如图1，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2，△ABC即为所求(答案不唯一)；
(3)如图3，△ABC即为所求(答案不唯一)．
变式2 [2024·金水区期中]如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形．
(1)在图1中，以线段AB为边画正方形，求该正方形的面积；
(2)请在图2中画出一个直角三角形(顶点均在格点上)，其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数．
解：(1)如图1，正方形ABCD即为所求．
由勾股定理，得AB2＝32＋22＝13，
所以该正方形的面积为13；
(2)如图2，△ABC即为所求(答案不唯一)．
考点3 无理数的估算
典例3 如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位长度．请解决下面的问题．
(1)阴影正方形的面积是______；(可利用割补法求面积)
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．
思路导析 (1)用大正方形的面积减去4个三角形的面积即可；
(2)估算无理数的大小．
解：(1)3×3－ ×2×1×4＝5，
故答案为：5；
(2)2与3之间．理由如下：
因为4<5<9，
所以2<正方形的边长<3，
所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
变式 无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，被数学家称为一种特殊的数．面积为15π的圆的半径为x，请回答下列问题．
(1)x是有理数吗？说说你的理由；
(2)请估计x的整数部分是多少；
(3)把x的值精确到0.1时是多少？精确到0.01时呢？
解：(1)πx2＝15π，x2＝15，
所以x是无限不循环小数，不是有理数，是无理数；
(2)因为9<15<16，所以3＜x＜4，
所以x的整数部分为3；
(3)因为3.82＝14.44，3.92＝15.21，
因为3.872＝14.976 9，3.882＝15.054 4，
所以把x的值精确到0.1时是3.9；
因为3.8722＝14.992 384，
3．8732＝15.000 129，
所以把x的值精确到0.01时是3.87.
