湖南省永州市冷水滩区德雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题
一、单选题（每小题3分、共30分）
1．（2024八下·冷水滩开学考） 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式有：，，，共3个
故答案为：B
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．（2024八下·冷水滩开学考） 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．（2024八下·冷水滩开学考） 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，构成直角三角形，符合题意‘
B：，不构成直角三角形，不符合题意；
C：，不构成直角三角形，不符合题意；
D：，不构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
4．（2024八下·冷水滩开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A：，故运算错误，不符合题意
B：，故运算错误，不符合题意
C：，运算正确，符合题意
D：，故运算错误，不符合题意
故答案为：C
【分析】掌握非0实数的0次幂是1、同底数幂相乘底数不变指数相加、幂的乘方的运算法则及公式，并正确应用即可逐一判定。
5．（2024八下·冷水滩开学考） 下列说法正确的是（ ）．
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A：，4的平方根为±2，错误，不符合题意；
B：，9的算术平方根为3，错误，不符合题意；
C：负数有立方根，错误，不符合题意；
D：是2的算数平方根，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的性质逐项进行计算即可求出答案.
6．（2024八下·冷水滩开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解不等式组得：
在数轴上表示可得
故答案为：A
【分析】先解不等式组，再在数轴上表示即可求出答案.
7．（2024八下·冷水滩开学考）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
B．等边三角形有3条对称轴；
C． SSA无法判断两个三角形全等；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
9．（2024八下·冷水滩开学考）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵无解，∴方程有增根为x=5.
分式方程可变形为，
把x=5代入得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程无解知道方程有增根x=5，先化为整式方程再代入求a的值.
10．（2024八下·冷水滩开学考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得； 即可得出①正确；假定，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
二、填空题（每小题3分、共18分）
11．（2024八下·冷水滩开学考） 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．（2024八下·冷水滩开学考） 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2x-6≥0
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．（2024八下·冷水滩开学考）已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD（SAS)
∴CE=AB
在△ACE中，AC-CE
即5-3∴2<2AD<8
即1故答案为：
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，根据三角形中线性质可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ECD（SAS)，则CE=AB，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求出答案.
14．（2024八下·冷水滩开学考）已知，则＝ ．
【答案】9
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
则
=
=
=9
故答案为：9
【分析】先根据，进行分母有理化，再代入代数式，去括号，合并同类项即可求出答案.
15．（2024八下·冷水滩开学考）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ．
【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BO为△ABC的中线
∴AO=CO
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD
∴△ABC与△DOC的周长差为：
AB+BC+AC-OD-OC-CD
=6+OC+OC-OD-OC
=6+OD-OD
=6+2
=8
故答案为：8
【分析】根据三角形中线性质及全等三角形判定定理可得△AOB≌△COD，则AB=CD，再根据三角形周长进行边之间的转化即可求出答案.
16．（2024八下·冷水滩开学考）图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理总结规律，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024八下·冷水滩开学考） 计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂的性质，负整数指数幂的性质，绝对值的性质，二次根式的性质，结合有理数的加减法即可求出答案.
18．（2024八下·冷水滩开学考） 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】解：原式
∵，
∴
取，则
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简括号内，再根据分式除以分式性质，完全平方公式和平方差公式进行化简，再根据分式有意义的条件可得，则将x=0代入代数式即可求出答案.
19．（2024八下·冷水滩开学考） 解分式方程：．
【答案】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再解方程即可求出答案.
20．（2024八下·冷水滩开学考） 解不等式组．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①得：，解不等式②得：，再根据不等式组的解集即可求出答案.
21．（2024八下·冷水滩开学考）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
22．（2024八下·冷水滩开学考）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）解：作于，于，如图2，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）作于，于，根据角平分线性质可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
23．（2024八下·冷水滩开学考） 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知
，解不等式得：
又因为购进A种树不能少于48棵，所以，．
因此，有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，根据“购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进A种树a棵，根据“用于购买这两种树的资金不低于45000元”列出不等式，再求解即可.
24．（2024八下·冷水滩开学考） 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）解：∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，
∴，
解得；
（3）解：由求得，
∵，，
∴，
解得，
∵k为整数，
∴k的值为；
不等式P：整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当时，不等式P的解集为，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当时，不等式P：的解集为，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴，且，
解得，
∴，
综上k的值为0或1．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【分析】（1）解不等式A：得，再根据“雅含”的定义即可求出答案；
（2）解不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，再根据“子式”的定义即可求出答案；
（3）解不等式组可得，k取整数为，再根据题意分情况讨论：当时，不等式P的解集是全体实数，当时，不等式P：的解集为，再根据“雅含”的定义即可求出答案.
25．（2024八下·冷水滩开学考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
1 / 1湖南省永州市冷水滩区德雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题
一、单选题（每小题3分、共30分）
1．（2024八下·冷水滩开学考） 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024八下·冷水滩开学考） 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·冷水滩开学考） 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A． B．
C．，， D．
4．（2024八下·冷水滩开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·冷水滩开学考） 下列说法正确的是（ ）．
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
6．（2024八下·冷水滩开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·冷水滩开学考）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
9．（2024八下·冷水滩开学考）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
10．（2024八下·冷水滩开学考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分、共18分）
11．（2024八下·冷水滩开学考） 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ．
12．（2024八下·冷水滩开学考） 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13．（2024八下·冷水滩开学考）已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为 ．
14．（2024八下·冷水滩开学考）已知，则＝ ．
15．（2024八下·冷水滩开学考）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ．
16．（2024八下·冷水滩开学考）图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024八下·冷水滩开学考） 计算：．
18．（2024八下·冷水滩开学考） 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
19．（2024八下·冷水滩开学考） 解分式方程：．
20．（2024八下·冷水滩开学考） 解不等式组．
21．（2024八下·冷水滩开学考）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
22．（2024八下·冷水滩开学考）已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
23．（2024八下·冷水滩开学考） 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
24．（2024八下·冷水滩开学考） 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25．（2024八下·冷水滩开学考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式有：，，，共3个
故答案为：B
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：，构成直角三角形，符合题意‘
B：，不构成直角三角形，不符合题意；
C：，不构成直角三角形，不符合题意；
D：，不构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A：，故运算错误，不符合题意
B：，故运算错误，不符合题意
C：，运算正确，符合题意
D：，故运算错误，不符合题意
故答案为：C
【分析】掌握非0实数的0次幂是1、同底数幂相乘底数不变指数相加、幂的乘方的运算法则及公式，并正确应用即可逐一判定。
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A：，4的平方根为±2，错误，不符合题意；
B：，9的算术平方根为3，错误，不符合题意；
C：负数有立方根，错误，不符合题意；
D：是2的算数平方根，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的性质逐项进行计算即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解不等式组得：
在数轴上表示可得
故答案为：A
【分析】先解不等式组，再在数轴上表示即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
B．等边三角形有3条对称轴；
C． SSA无法判断两个三角形全等；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵无解，∴方程有增根为x=5.
分式方程可变形为，
把x=5代入得a=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程无解知道方程有增根x=5，先化为整式方程再代入求a的值.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得； 即可得出①正确；假定，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
用科学记数法表示为
故答案为：
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
2x-6≥0
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD（SAS)
∴CE=AB
在△ACE中，AC-CE即5-3∴2<2AD<8
即1故答案为：
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，根据三角形中线性质可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ECD（SAS)，则CE=AB，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求出答案.
14．【答案】9
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
则
=
=
=9
故答案为：9
【分析】先根据，进行分母有理化，再代入代数式，去括号，合并同类项即可求出答案.
15．【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BO为△ABC的中线
∴AO=CO
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD
∴△ABC与△DOC的周长差为：
AB+BC+AC-OD-OC-CD
=6+OC+OC-OD-OC
=6+OD-OD
=6+2
=8
故答案为：8
【分析】根据三角形中线性质及全等三角形判定定理可得△AOB≌△COD，则AB=CD，再根据三角形周长进行边之间的转化即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理总结规律，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂的性质，负整数指数幂的性质，绝对值的性质，二次根式的性质，结合有理数的加减法即可求出答案.
18．【答案】解：原式
∵，
∴
取，则
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简括号内，再根据分式除以分式性质，完全平方公式和平方差公式进行化简，再根据分式有意义的条件可得，则将x=0代入代数式即可求出答案.
19．【答案】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再解方程即可求出答案.
20．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①得：，解不等式②得：，再根据不等式组的解集即可求出答案.
21．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）解：作于，于，如图2，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）作于，于，根据角平分线性质可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知
，解不等式得：
又因为购进A种树不能少于48棵，所以，．
因此，有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，根据“购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进A种树a棵，根据“用于购买这两种树的资金不低于45000元”列出不等式，再求解即可.
24．【答案】（1）解：不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）解：∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，
∴，
解得；
（3）解：由求得，
∵，，
∴，
解得，
∵k为整数，
∴k的值为；
不等式P：整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当时，不等式P的解集为，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当时，不等式P：的解集为，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴，且，
解得，
∴，
综上k的值为0或1．
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【分析】（1）解不等式A：得，再根据“雅含”的定义即可求出答案；
（2）解不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，再根据“子式”的定义即可求出答案；
（3）解不等式组可得，k取整数为，再根据题意分情况讨论：当时，不等式P的解集是全体实数，当时，不等式P：的解集为，再根据“雅含”的定义即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
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