2025-2026学年人教版八年级数学上册课件：13.2与三角形有关的线段（ 第1课时 ） 三角形的高线、直线与角平分线（34张PPT）

(共34张PPT)
第十三章 三角形
13.2 与三角形有关的线段
第1课时 三角形的高、中线与角平分线
情 境 导 入
1.什么叫垂线？
回顾旧知
2.什么叫线段的中点？
3.什么叫角的平分线？
当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
把一条线段分成两条相等的线段的点.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
新 课 探 究
任务一 三角形的高
你能过三角形的一个顶点，画出它的对边的垂线吗
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.如图所示.线段AD是BC边上的高.
注意：要标明垂直的记号和垂足的字母.
∵AD⊥BC于点D，
∴线段AD是△ABC的高.
∵线段AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC于点D.
新课探究
情境导入
课堂小结
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于一点.
归纳
探究
新课探究
情境导入
课堂小结
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______;
AB
直角边AB边上的高是______;
CB
(2)它们有怎样的位置关系？
斜边AC边上的高是_______.
BD
直角三角形的三条高交于直角三角形的直角顶点.
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探究
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课堂小结
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点.
直角三角形的三条高所在直线交于一点，在三角形外部.
归纳
探究
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课堂小结
叫做三角形这边上的高.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点
三角形内部
直角顶点
三角形外部
总结归纳
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课堂小结
例 如图，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，CD⊥AB于点D，则△ABC中AC边上的高是线段(　　)
A．AE B．CD C．BF D．AF
典例精析
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
C
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任务二 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AD是BC边上的中线.
三角形的“中线”
∵BD=CD，
∴线段AD是△ABC的中线.
∵线段AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
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课堂小结
在练习本上分别画一个锐角三角形、直角三角形，钝角三角形，分别画出它们的中线.
类比三角形高，你有什么发现？
三角形的三条中线都在三角形内部，并且交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
归纳
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情境导入
课堂小结
例2 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
提示：运用整体思想将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
典例精析
解：如图，∵ AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵ △ABD的周长比△ADC的周长大2cm，
∴（AB+AD+BD）-(AC+AD+CD)=AB-AC=2cm.
∵AC=5cm，
∴AB=7cm.
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课堂小结
任务三 三角形的角平分线
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
①用量角器画最简便.
②在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
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课堂小结
三角形的角平分线的定义:
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
∵∠1=∠2，
∴线段AD是△ABC的角平分线.
∵线段AD是△ABC的角平分线
∴∠1=∠2.
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情境导入
课堂小结
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的三条角平分线都在三角形内部，并且交于一点.
归纳
探究
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情境导入
课堂小结
1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
D
练习
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
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情境导入
课堂小结
B
4．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4，则S△ACD＝____，S阴影＝____.
2
1
练习
课 堂 小 结
11.1 与三角形有关的线段
第2课时 三角形的高、中线与角平分线
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
情境导入
课堂小结
新课探究
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
1．(2024河北一模)下列画△ABC的边BC上的高正确的是( )
A
课后练习
2．(2024佛山模拟)如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
C
4．(北师7下P89)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
A．5　 B．6
C．8　 D．4
B
3．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝( )
A
(1)三角形的一个　 　和对边相交，顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形的角平分线
　角的平分线　
(2)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝
　∠BAC．
A．∠1＝∠BAC　
B．∠1＝∠ABC
C．∠1＝∠BAC　
D．∠1＝∠ABC　
5．如图，AD是△ABC的角平分线，则( )
A
6．(人教8上P8、北师8上P185)如“知识点4”图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高，如果BC＝10 cm，那么BE＝　 　；如果∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∠BAC＝80°，那么∠BAD＝　 　，∠AFD＝　 ．
　90°　
　40°　
　5 cm　
小结：理解三角形的高的定义是关键，特别是钝角三角形
的高.
A．BF　 B．CF
C．BD　 D．AE
7．【例1】(北师7下P90)如图，在△ABC中，BC边上的高为( )
D
8．如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段
　 　．
　AF　
小结：分别用式子表示△ABD和△BCD的周长.
9．(2024东莞期中)如图，BD是△ABC的中线，AB＝
6 cm，BC＝4 cm，则△ABD和△BCD的周长差为　 　cm．
　2　
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
10．(2023广州期末)如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( )
D
小结：根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的定义进行判断，在较复杂的图形中要看清楚关系.
A．BA＝2BF　
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE　
D．CD⊥AB
11．(2024山东模拟)如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是( )
C
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
12．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是( )
C
解：(1)(2)(3)图略．
(4)∵BC＝4，高AM＝5，∴S△ABC＝BC·AM＝×4×5＝10．
∵BF是△ABC的中线，∴S△ABF＝S△ABC＝×10＝5．
13．(人教8上P8改编、北师7下P91改编)如图，在△ABC中，∠ABC是钝角．
(1)画出∠BAC的平分线AE；
(2)画出AC边上的中线BF；
(3)画出BC边上的高AM；
(4)若BC＝4，BC边上的高AM＝5，求△ABF的面积．
小结：（1）本题中画钝角三角形的高是一个难点，注意在画BC边上的高时，需延长CB；（2）三角形的底与底边上的高可计算面积，三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分（等底同高）
答案图
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝70°＋20°＝90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝70°－20°＝50°．
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
★14． (创新题)已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
0.50
THANK YOU