湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期数学入学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·长沙开学考）下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、 是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x是正比例函数，故此选项符合题意；
D、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数进行分析即可．
2．（2024九上·长沙开学考）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
3．（2024九上·长沙开学考）在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选D．
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．（2024九上·长沙开学考）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线，最大值是 B．对称轴是直线，最小值是
C．对称轴是直线，最大值是 D．对称轴是直线，最小值是
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对于给定的二次函数y=-(x-1)2+2：
对称轴是x=1，这是因为顶点坐标为(1，2)，其中h=1，所以对称轴为x=1。
最大值是2，这是因为a=一1<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为k=2。
故答案为：A.
【分析】对给定的二次函数为y=-(x-1)2+2，我们首先需要识别这个函数的基本特征，如开口方向、对称轴和顶点坐标，然后判断给定的选项即可.
5．（2024九上·长沙开学考）已知直线不经过第一象限，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知， 直线不经过第一象限，
可列出不等式组，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知， 直线不经过第一象限，即是经过二、四象限或是二、三，四象限，即是m-3<0，-3m+1≤0，解不等式组即可.
6．（2024九上·长沙开学考）如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果 ，那么菱形ABCD的周长是( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴CD=2PQ=4，
∴菱形ABCD的周长是4×4=16．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
7．（2024九上·长沙开学考）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题目要求，先将原抛物线向左平移2个单位长度，意味着将x替换为x+2，因此原方程变为y=-3(x+2)2+1，接下来，向下平移3个单位长度，意味着在得到的方程基础上将y减去3，即y=-3(x+2)2+1-3，简化后得到y=-3(x+2)2-2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数平移变换遵循的基本原则是：向左平移a个单位长度，则在原方程的x变量中加a；向右平移则减a；向上平移b个单位，则在原方程的y变量中加b；向下平移则减b，即可确定.
8．（2024九上·长沙开学考）设方程的两个根为，，那么的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由方程x2+x-2=0的系数，根据韦达定理可知，
根α和β的和为α+β=-1，根α和β的积为αβ=-2，
(α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4，
将已知的根的和与积代入，得：
-2-2×(-1)+4=-2+2+4=4
因此，(α-2)(β-2)的值为4，
故答案为：C.
【分析】已知方程x2+x-2=0的根为α和β，需要求解（α-2)(β-2)的值。根据根与系数的关系，我们能够得到根和的和与积，进而求解给定表达式的值.
9．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=1代入方程y=x2-3x+m，得到y=12-3×1+m=0，
解得：m=2，
所以原方程可以写作x2-3x+2=0，
解得：x1=1和x2=2，
所以该一元二次方程x2-3x+2=0的两实数根为x1=1和x2=2，
故答案为：C.
【分析】由题意知二次函数y=x2-3x+的图象与轴的一个交点为(1，0)，这意味着当x=1时，y=0。我们可以通过这一条件找到二次方程的常数项m，进而确定该二次方程的另一解，即该抛物线与轴的另一个交点.
10．（2024九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
；；；其中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图象知抛物线开口向上，即a>0，对称轴为x=1，由得到b=-2a，因为a>0，所以b<0，从而ab<0，故结论①正确；
②图象显示抛物线与x轴有两个交点，意味着函数有实根，即，已知b=-2a，代入得(2a)2-4ac=4a2-4ac>0，简化后得a(a-c)>0，由于a>0，则a-c>0或c
③当x=1时，由对称轴性质知y=a+b+c，观察图象，在x=1处，函数值小于0，即y<0，说明a+b+c<0，故结论③正确；
④当x=-1时，函数值应大于0，即y=a-b+c>0，由于b=-2a，代入得a+2a+c>0，化简得3a+c>0，与题目中的结论④3a+c<0相反，故结论④错误，
综上，正确结论为①②③。
故答案为：C.
【分析】观察图象可知，二次函数对称轴为直线x=1，开口向上，与x轴有两个交点，一个交点在-1和0之间，与y轴交于负半轴，然后对每个结论进行验证即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·长沙开学考）已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=-1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值
试题解析：依题意，得
（-1）2+3×（-1）+k=0，
解得，k=2.
【分析】由题意把x=-1代入原方程可得关于k的方程，解方程即可求解.
12．（2024九上·长沙开学考）已知，在二次函数的图象上，若，则 填“”、“”或“”．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 解：∵y＝x2-6x+4，
∴图象的对称轴为x＝3，开口方向向上，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2 ，
故答案为：＞．
【分析】根据二次函数解析式得出图象的对称轴为x=3，开口方向向上，可知在x<3时，y随的增大而减小，即可得出答案.
13．（2024九上·长沙开学考）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
【答案】50（1﹣x）2=32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
14．（2024九上·长沙开学考）若函数，则当函数值时，自变量的值等于 ．
【答案】或4
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：对每个区间分别求解，
当x≤2时，此时函数表达式为y=x2+1 ，
将 y=8 代入，得到：x2+1=8，
解得 ，
因为x≤2，
因此此时的解为，
当x>2 时，此时函数表达式为y=2x，
将y=8代入，得到：2x=8
解得：x=4
综上所述，当函数值y=8时，自变量 x 的值等于或4，
故答案为：或4.
【分析】根据给定的分段函数，对每个区间内的函数表达式分别求解，找出使得函数值为8的自变量的值即可.
15．（2024九上·长沙开学考）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ．
【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解： ∵直线l的解析式为y=x ，其斜率为1，
∵直线AB与直线l垂直，
∴斜率k= 1，
∵直线AB经过点A(-2，0)，代入直线的解析式 y= x+b中，
解得b= 2，
∴直线AB的解析式为y= x 2，
联立直线AB和直线l的解析式，即，
解得：，
所以B的坐标为( 1， 1)，
∴，
故答案为：1.
【分析】由于直线AB与直线l垂直，我们可以得到直线AB的斜率k=-1，然后利用点A的坐标，确定直线AB的解析式，接着联立直线AB和直线l的解析式，可以求出它们的交点B的坐标，最后计算三角形ABO的面积.
16．（2024九上·长沙开学考）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数 ．
【答案】150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
【分析】连接PQ，由旋转的性质可得△ABP≌△CBQ，由全等三角形的性质可得QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，结合三角形ABC是等边三角形易证△BPQ为等边三角形，所以∠BQP=60°，由勾股定理的逆定理可得∠PQC=90°，则∠BQC=∠PQC+∠BQP=∠APB可求解。
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·长沙开学考）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算的顺序，先算乘方，然后去绝对值，依次计算即可.
18．（2024九上·长沙开学考）求解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
或，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的即可；
（2）可以用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2024九上·长沙开学考）学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
13.3 0.004
李亮 13.3
0.02
（1）张明第2次的成绩为： 秒；
（2）张明成绩的平均数为： ；李亮成绩的中位数为： ；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
【答案】（1）13.4
（2）13.3秒；13.3秒
（3）解：选择张明参加比赛，因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩比李亮成绩稳定．
【知识点】利用统计图表描述数据；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可知，张明第2次的成绩为13.4秒，
故答案为：13.4；（2）张明成绩的平均数为： =13.3（秒）；
李亮的成绩是：13.2，13.4，13.1，13.5，13.3，
把这些数从小到大排列为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5，
则李亮成绩的中位数是：13.3秒；
故答案为：13.3秒，13.3秒；
【分析】（1）根据统计图给出的数据可直接得出答案；（2）利用平均数的计算公式可得出张明成绩的平均数；先将李亮的成绩按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；（3）在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差越小数据越稳定，即可得出答案．
20．（2024九上·长沙开学考）如图，直线：与轴交于点，直线：分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
（1）求两直线交点的坐标；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
【答案】（1）解：将代入得，；将代入得，
组成方程组得，解得，
故D点坐标为
（2）解：由可知，点坐标为
故
（3）解： 通过分析两直线的图像，可以发现当x<4时，直线l1位于直线l2的上方，即y1>y2，
故答案为x<4.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入，得到m的值，将代入得k的值，然后联立y1和y2，即可得到点D的坐标；
（2）由l2的解析式，得到点C的坐标，然后将，进而求解即可；
（3）通过分析两直线的图象，即可得出时自变量的取值范围．
21．（2024九上·长沙开学考）已知关于的一元二次方程为实数
（1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、，若，求正数的值．
【答案】（1）证明：，
无论取何值，该方程总有两个实数根
（2）解：，即，
解得：或，
，，
，，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）我们需要证明无论m取何值，方程x2-4mx+3m2=0总有两个实数根，这可以通过计算方程的判别式来实现，然后证明对于所有m值都成立；
（2）首先利用一元二次方程根与系数的关系，即和，来求出x1+x2和x1x2的表达式，然后，根据条件x1-x2=2，通过配方法将这个条件转化为关于的方程，最后解这个方程得到m的值.
22．（2024九上·长沙开学考）如图，在中，，点，分别为，边上的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：点是边的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
又点、分别是边、的中点，
是的中位线，
．
又，
．
．
四边形是菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
在中，，
是的中点，
，
四边形的周长
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）要证明四边形ADCF是菱形，先证明四边形ADCF为平行四边形，然后结合中位线定理，证明一对角线互相垂直；
（2）利用菱形的性质，得到四条边相等，然后利用勾股定理计算AB的长度，再通过AB的长度推导AD的长度，进而计算出四边形ADCF的周长.
23．（2024九上·长沙开学考）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：w=（x﹣30） y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）解：根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225；
（3）解：当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞42，x2=50不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这种双肩包每天的销售利润为w元．根据每天的销售利润等于每件的利润乘以每天的销售数量，即可列出W与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）所得函数解析式的性质，将其配成顶点式即可得出答案；
（3）把w=200代入（1）所求的函数关系式，求解方程并根据物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元进行检验即可得出答案。
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，，
令，则，
解得：，，
该函数的完美点为，
（2）解：令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，则．
又方程根为，
，，
该二次函数的解析式为
（3）解：，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
当时，函数的最小值为，最大值为，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 根据完美点的定义，将纵坐标等于横坐标代入二次函数求解方程的根，从而得到完美点坐标；
（2）同样根据完美点定义得到方程，再利用方程有且只有一个解时判别式以及已知的完美点坐标来求解a和c的值；
（3）根据二次函数的图象与性质，结合给定的c的取值范围0≤x≤m，来确定m的取值范围使得函数能取到给定的最大值1和最小值-3.
25．（2024九上·长沙开学考）如图，抛物线与轴交于点和点点在原点的左侧，点在原点的右侧，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，交于点，当：：时，求点的坐标．
（3）如图，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，则：，，
把、坐标代入抛物线方程，得，
解得：，
所以抛物线方程为：；
（2）解：：：，
，即：，
设：点横坐标为，则点横坐标为，
点在直线上，
而所在的直线表达式为：，则，
则：直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入，解得：或，
则点的坐标为或
（3）解：当时，
当在轴上方时，
如图，设交轴于点，
，，又，，
≌，
，点，
直线过点、，则其直线方程为：，
联立并解得：，
故点的坐标为；
当在轴下方时，
如图，过点作交于点，则，
，，，
，
直线可以看成直线平移而得，其值为，
则其直线表达式为：，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
，则，
即：，
解得：，则点，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
则点；
当时，
当在上方时，如图，点为图所求，
设交于点，
，，
，
由知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去负值，
；
当在下方时，
同理可得：舍去负值，
故点，
故点的坐标为：或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线与y轴交于点C，根据OB=OC=3，可以确定点C的坐标。利用点A和点B在x轴上的信息，结合抛物线与y轴交点的坐标，我们可以确定抛物线的解析式；
（2）首先需要确定点B和点C的坐标，然后利用面积比的条件，解出点D的坐标；
（3）我们需要理解题目的几何关系，特别是∠PBE和∠PEB与∠OBE的关系，通过分析抛物线上点P的坐标满足的条件来找到可能的点P的坐标.
1 / 1湖南省长沙一中芙蓉中学2024-2025学年九年级上学期数学入学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·长沙开学考）下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A． B． C． D．
2．（2024九上·长沙开学考）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024九上·长沙开学考）在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
4．（2024九上·长沙开学考）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线，最大值是 B．对称轴是直线，最小值是
C．对称轴是直线，最大值是 D．对称轴是直线，最小值是
5．（2024九上·长沙开学考）已知直线不经过第一象限，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2024九上·长沙开学考）如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果 ，那么菱形ABCD的周长是( )
A．16 B．8 C．4 D．2
7．（2024九上·长沙开学考）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A． B．
C． D．
8．（2024九上·长沙开学考）设方程的两个根为，，那么的值等于( )
A． B． C． D．
9．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是( )
A．， B．， C．， D．，
10．（2024九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
；；；其中正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·长沙开学考）已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=
12．（2024九上·长沙开学考）已知，在二次函数的图象上，若，则 填“”、“”或“”．
13．（2024九上·长沙开学考）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
14．（2024九上·长沙开学考）若函数，则当函数值时，自变量的值等于 ．
15．（2024九上·长沙开学考）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ．
16．（2024九上·长沙开学考）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·长沙开学考）计算：．
18．（2024九上·长沙开学考）求解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
19．（2024九上·长沙开学考）学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
13.3 0.004
李亮 13.3
0.02
（1）张明第2次的成绩为： 秒；
（2）张明成绩的平均数为： ；李亮成绩的中位数为： ；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
20．（2024九上·长沙开学考）如图，直线：与轴交于点，直线：分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
（1）求两直线交点的坐标；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
21．（2024九上·长沙开学考）已知关于的一元二次方程为实数
（1）求证：无论取何值，该方程总有两个实数根；
（2）该方程的两个实数根为、，若，求正数的值．
22．（2024九上·长沙开学考）如图，在中，，点，分别为，边上的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
23．（2024九上·长沙开学考）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数．
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
25．（2024九上·长沙开学考）如图，抛物线与轴交于点和点点在原点的左侧，点在原点的右侧，与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，交于点，当：：时，求点的坐标．
（3）如图，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，，形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、 是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x是正比例函数，故此选项符合题意；
D、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数进行分析即可．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选D．
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对于给定的二次函数y=-(x-1)2+2：
对称轴是x=1，这是因为顶点坐标为(1，2)，其中h=1，所以对称轴为x=1。
最大值是2，这是因为a=一1<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为k=2。
故答案为：A.
【分析】对给定的二次函数为y=-(x-1)2+2，我们首先需要识别这个函数的基本特征，如开口方向、对称轴和顶点坐标，然后判断给定的选项即可.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知， 直线不经过第一象限，
可列出不等式组，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知， 直线不经过第一象限，即是经过二、四象限或是二、三，四象限，即是m-3<0，-3m+1≤0，解不等式组即可.
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴CD=2PQ=4，
∴菱形ABCD的周长是4×4=16．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题目要求，先将原抛物线向左平移2个单位长度，意味着将x替换为x+2，因此原方程变为y=-3(x+2)2+1，接下来，向下平移3个单位长度，意味着在得到的方程基础上将y减去3，即y=-3(x+2)2+1-3，简化后得到y=-3(x+2)2-2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数平移变换遵循的基本原则是：向左平移a个单位长度，则在原方程的x变量中加a；向右平移则减a；向上平移b个单位，则在原方程的y变量中加b；向下平移则减b，即可确定.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由方程x2+x-2=0的系数，根据韦达定理可知，
根α和β的和为α+β=-1，根α和β的积为αβ=-2，
(α-2)(β-2)=αβ-2(α+β)+4，
将已知的根的和与积代入，得：
-2-2×(-1)+4=-2+2+4=4
因此，(α-2)(β-2)的值为4，
故答案为：C.
【分析】已知方程x2+x-2=0的根为α和β，需要求解（α-2)(β-2)的值。根据根与系数的关系，我们能够得到根和的和与积，进而求解给定表达式的值.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=1代入方程y=x2-3x+m，得到y=12-3×1+m=0，
解得：m=2，
所以原方程可以写作x2-3x+2=0，
解得：x1=1和x2=2，
所以该一元二次方程x2-3x+2=0的两实数根为x1=1和x2=2，
故答案为：C.
【分析】由题意知二次函数y=x2-3x+的图象与轴的一个交点为(1，0)，这意味着当x=1时，y=0。我们可以通过这一条件找到二次方程的常数项m，进而确定该二次方程的另一解，即该抛物线与轴的另一个交点.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图象知抛物线开口向上，即a>0，对称轴为x=1，由得到b=-2a，因为a>0，所以b<0，从而ab<0，故结论①正确；
②图象显示抛物线与x轴有两个交点，意味着函数有实根，即，已知b=-2a，代入得(2a)2-4ac=4a2-4ac>0，简化后得a(a-c)>0，由于a>0，则a-c>0或c③当x=1时，由对称轴性质知y=a+b+c，观察图象，在x=1处，函数值小于0，即y<0，说明a+b+c<0，故结论③正确；
④当x=-1时，函数值应大于0，即y=a-b+c>0，由于b=-2a，代入得a+2a+c>0，化简得3a+c>0，与题目中的结论④3a+c<0相反，故结论④错误，
综上，正确结论为①②③。
故答案为：C.
【分析】观察图象可知，二次函数对称轴为直线x=1，开口向上，与x轴有两个交点，一个交点在-1和0之间，与y轴交于负半轴，然后对每个结论进行验证即可.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=-1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值
试题解析：依题意，得
（-1）2+3×（-1）+k=0，
解得，k=2.
【分析】由题意把x=-1代入原方程可得关于k的方程，解方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 解：∵y＝x2-6x+4，
∴图象的对称轴为x＝3，开口方向向上，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜3，
∴y1＞y2 ，
故答案为：＞．
【分析】根据二次函数解析式得出图象的对称轴为x=3，开口方向向上，可知在x<3时，y随的增大而减小，即可得出答案.
13．【答案】50（1﹣x）2=32
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
14．【答案】或4
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：对每个区间分别求解，
当x≤2时，此时函数表达式为y=x2+1 ，
将 y=8 代入，得到：x2+1=8，
解得 ，
因为x≤2，
因此此时的解为，
当x>2 时，此时函数表达式为y=2x，
将y=8代入，得到：2x=8
解得：x=4
综上所述，当函数值y=8时，自变量 x 的值等于或4，
故答案为：或4.
【分析】根据给定的分段函数，对每个区间内的函数表达式分别求解，找出使得函数值为8的自变量的值即可.
15．【答案】1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解： ∵直线l的解析式为y=x ，其斜率为1，
∵直线AB与直线l垂直，
∴斜率k= 1，
∵直线AB经过点A(-2，0)，代入直线的解析式 y= x+b中，
解得b= 2，
∴直线AB的解析式为y= x 2，
联立直线AB和直线l的解析式，即，
解得：，
所以B的坐标为( 1， 1)，
∴，
故答案为：1.
【分析】由于直线AB与直线l垂直，我们可以得到直线AB的斜率k=-1，然后利用点A的坐标，确定直线AB的解析式，接着联立直线AB和直线l的解析式，可以求出它们的交点B的坐标，最后计算三角形ABO的面积.
16．【答案】150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
【分析】连接PQ，由旋转的性质可得△ABP≌△CBQ，由全等三角形的性质可得QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，结合三角形ABC是等边三角形易证△BPQ为等边三角形，所以∠BQP=60°，由勾股定理的逆定理可得∠PQC=90°，则∠BQC=∠PQC+∠BQP=∠APB可求解。
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算的顺序，先算乘方，然后去绝对值，依次计算即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
或，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的即可；
（2）可以用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）13.4
（2）13.3秒；13.3秒
（3）解：选择张明参加比赛，因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩比李亮成绩稳定．
【知识点】利用统计图表描述数据；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（1）根据统计图可知，张明第2次的成绩为13.4秒，
故答案为：13.4；（2）张明成绩的平均数为： =13.3（秒）；
李亮的成绩是：13.2，13.4，13.1，13.5，13.3，
把这些数从小到大排列为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5，
则李亮成绩的中位数是：13.3秒；
故答案为：13.3秒，13.3秒；
【分析】（1）根据统计图给出的数据可直接得出答案；（2）利用平均数的计算公式可得出张明成绩的平均数；先将李亮的成绩按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；（3）在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差越小数据越稳定，即可得出答案．
20．【答案】（1）解：将代入得，；将代入得，
组成方程组得，解得，
故D点坐标为
（2）解：由可知，点坐标为
故
（3）解： 通过分析两直线的图像，可以发现当x<4时，直线l1位于直线l2的上方，即y1>y2，
故答案为x<4.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入，得到m的值，将代入得k的值，然后联立y1和y2，即可得到点D的坐标；
（2）由l2的解析式，得到点C的坐标，然后将，进而求解即可；
（3）通过分析两直线的图象，即可得出时自变量的取值范围．
21．【答案】（1）证明：，
无论取何值，该方程总有两个实数根
（2）解：，即，
解得：或，
，，
，，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）我们需要证明无论m取何值，方程x2-4mx+3m2=0总有两个实数根，这可以通过计算方程的判别式来实现，然后证明对于所有m值都成立；
（2）首先利用一元二次方程根与系数的关系，即和，来求出x1+x2和x1x2的表达式，然后，根据条件x1-x2=2，通过配方法将这个条件转化为关于的方程，最后解这个方程得到m的值.
22．【答案】（1）证明：点是边的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
又点、分别是边、的中点，
是的中位线，
．
又，
．
．
四边形是菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
在中，，
是的中点，
，
四边形的周长
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）要证明四边形ADCF是菱形，先证明四边形ADCF为平行四边形，然后结合中位线定理，证明一对角线互相垂直；
（2）利用菱形的性质，得到四条边相等，然后利用勾股定理计算AB的长度，再通过AB的长度推导AD的长度，进而计算出四边形ADCF的周长.
23．【答案】（1）解：w=（x﹣30） y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）解：根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225；
（3）解：当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞42，x2=50不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这种双肩包每天的销售利润为w元．根据每天的销售利润等于每件的利润乘以每天的销售数量，即可列出W与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）所得函数解析式的性质，将其配成顶点式即可得出答案；
（3）把w=200代入（1）所求的函数关系式，求解方程并根据物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元进行检验即可得出答案。
24．【答案】（1）解：当，时，，
令，则，
解得：，，
该函数的完美点为，
（2）解：令，即，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，，则．
又方程根为，
，，
该二次函数的解析式为
（3）解：，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点．在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；
当时，函数的最小值为，最大值为，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 根据完美点的定义，将纵坐标等于横坐标代入二次函数求解方程的根，从而得到完美点坐标；
（2）同样根据完美点定义得到方程，再利用方程有且只有一个解时判别式以及已知的完美点坐标来求解a和c的值；
（3）根据二次函数的图象与性质，结合给定的c的取值范围0≤x≤m，来确定m的取值范围使得函数能取到给定的最大值1和最小值-3.
25．【答案】（1）解：，则：，，
把、坐标代入抛物线方程，得，
解得：，
所以抛物线方程为：；
（2）解：：：，
，即：，
设：点横坐标为，则点横坐标为，
点在直线上，
而所在的直线表达式为：，则，
则：直线所在的直线表达式为：，
则点，
把点坐标代入，解得：或，
则点的坐标为或
（3）解：当时，
当在轴上方时，
如图，设交轴于点，
，，又，，
≌，
，点，
直线过点、，则其直线方程为：，
联立并解得：，
故点的坐标为；
当在轴下方时，
如图，过点作交于点，则，
，，，
，
直线可以看成直线平移而得，其值为，
则其直线表达式为：，
设点，过点作轴交于点，作于点，
则点，，
，则，
即：，
解得：，则点，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
则点；
当时，
当在上方时，如图，点为图所求，
设交于点，
，，
，
由知，直线的表达式为：，
设点，，
由，同理可得：，
故点，则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去负值，
；
当在下方时，
同理可得：舍去负值，
故点，
故点的坐标为：或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线与y轴交于点C，根据OB=OC=3，可以确定点C的坐标。利用点A和点B在x轴上的信息，结合抛物线与y轴交点的坐标，我们可以确定抛物线的解析式；
（2）首先需要确定点B和点C的坐标，然后利用面积比的条件，解出点D的坐标；
（3）我们需要理解题目的几何关系，特别是∠PBE和∠PEB与∠OBE的关系，通过分析抛物线上点P的坐标满足的条件来找到可能的点P的坐标.
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