2025-2026学年人教版八年级数学上册13.3 第2课时 直角三角形的性质和判定 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
13.3 三角形的内角与外角
第2课时 直角三角形的性质和判定
第十三章 三角形
情 境 导 入
　1.如图1，在△ABC 中， ∠A =30°，∠B =50°，
∠C等于多少度？
　2.如图2，在△ABC 中， ∠A =30°，∠B =60°，
∠C等于多少度？
　3.如图3，在△ABC 中， ∠A =40°，∠C =90°，
∠B等于多少度？
∠C=180°-∠A-∠B=100°
∠C=180°-∠A-∠B=90°
∠B=180°-∠A-∠C=50°
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情境导入
新课探究
课堂小结
　4.三角形如果按照角分类，可以分为哪几类？
直角三角形，锐角三角形，钝角三角形
　5.通过以上练习题？你发现直角三角形的三个角有什么特点？
一个直角是确定的，另外两个都是锐角.
新 课 探 究
问题：观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
猜想：直角三角形的两个锐角互余.
任务一 直角三角形的性质
探究
新课探究
情境导入
课堂小结
直角三角形的两个锐角互余.
归纳
如图：已知△ABC中，∠C=90°，求证： ∠ A + ∠ B = 90°.
证明：在△ABC中，
∵∠A+∠B +∠C=180°，（三角形内角和定理）
又∵∠C=90°，
∴ ∠A+∠B = 180°- ∠C= 180°- 90°= 90°．
在Rt△ABC中，∵∠C=90 ，
∴∠A+∠B=90 ．　
符号语言
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角 三角形ABC可以写成Rt △ ABC.
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情境导入
课堂小结
例1 如图, ∠ C= ∠ D = 90°，AD，BC 相交于点E.∠ CAE与∠DBE有什么关系？ 为什么？
典例精析
C
D
E
A
B
解：在Rt △ ACE中， ∠ CAE=90°－∠ AEC,
在 Rt △ BDE 中，∠ DBE =90° －∠ BED.
∵ ∠ AEC = ∠ BED ，
∴ ∠ CAE= ∠ DBE.
总结归纳
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理的简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．
新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° .
求证：△ABC是直角三角形.
任务二 直角三角形的判定
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说明理由.
探究
猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形
新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° .
求证：△ABC是直角三角形.
任务二 直角三角形的判定
在△ABC中，∵ ∠A +∠B +∠C=180°，
又∵∠A +∠B=90°，
∴∠C=90°.
∴△ABC是直角三角形.
在△ABC 中，∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
符号语言
有两个角互余的三角形是直角三角形
归纳
新课探究
情境导入
课堂小结
例2 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中，∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °，
即△ADE是直角三角形.
典例精析
新课探究
情境导入
课堂小结
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，
则图中∠1+∠2的度数是________.
2.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.
52°
90°
3.在一个直角三角形中，有一个锐角等于50°，则另
一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
A
练习
新课探究
情境导入
课堂小结
4.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：1：2 D．∠A=∠B=3∠C
D
5.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
练习
C
新课探究
情境导入
课堂小结
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°.
∴△ACD是直角三角形.
练习
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
11.2. 与三角形的有关的角
第2课时 直角三角形的性质和判定
情境导入
课堂小结
新课探究
直角三角形
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形
特殊 到一般
互 逆
1．(2024肇庆期末)在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
C
课后练习
解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，∠D＋∠COD＝90°．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠D．
2．如图，∠B＝∠C＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
3．(人教8上P16)如图，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°，则∠BAC的度数为　 　．
　70°　
5．(2024苏州模拟)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
4．在△ABC中，已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
D
C
解：∠CAE与∠DBE相等．理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE．
6．(人教8上P14、北师8上P185改编)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠ACD＝∠B，理由如下：
∵在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠B＋∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
7．(人教8上P14、北师8上P180)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
小结：熟悉直角三角形中两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键.
7．(人教8上P29)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数为　 　．
　18°　
8．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠DAE＝10°，则∠C的度数为　 　．
　50°　
解：△ABD是直角三角形．理由如下：
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠D＝90°，∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
小结：区分运用直角三角形的性质和判定.
9．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°，
∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形．
10．(人教8上P14、北师8上P183改编)如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠CED＋∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝∠CED，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠DCE)＝90°．
∴△ACE是直角三角形．
11．如图，AB，ED分别垂直于BD，点B，D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证：△ACE是直角三角形．
小结：找出∠ACB+∠DCE=90°是解题的关键.
证明：∵AE，CE分别平分∠CAB，∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD．
∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠EAC＋∠ACE＝∠BAC＋∠ACD＝(∠BAC＋∠ACD)＝90°，
∴∠E＝180°－(∠EAC＋∠ACE)＝90°，
∴△ACE是直角三角形．
★12． (人教8上P17改编)如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠CAB，∠ACD．求证：△ACE是直角三角形．
0.50
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