13.3 第5课时 多边形的内角和 课件 (共37张PPT) 2025-2026学年人教版八年级数学上册

(共37张PPT)
第十三章 三角形
13.3三角形的内角与外角
第5课时 多边形的内角和
情 境 导 入
如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一共转过了多少度呢？
新 课 探 究
三角形的内角和是180°，任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？
A
B
C
D
任务一 多边形的内角和
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情境导入
课堂小结
A
B
C
D
2×180 =360
4×180 －360
=360
四边形的内角和是360
3×180 －180
=360
A
B
C
D
A
B
C
D
E
P
四边形的内角和转化为三角形解决
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情境导入
课堂小结
多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
(n－2)×180
4× 180
2× 180
3× 180
1× 180
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
填空
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课堂小结
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角
形，还有其他分法吗？由新
的分法，能得出多边 形内角
和公式吗？
归纳
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课堂小结
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典例精析
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
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课堂小结
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF，
∴∠EBF=∠CFD.
∴∠CDF+∠CFD=90°.
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
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情境导入
课堂小结
1.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
2.已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，解得n＝6.所以它是六边形．
解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15.
练一练
新课探究
情境导入
课堂小结
总结归纳
已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程求出n，即得多边形的边数；
已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据 多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解 方程求出n，即得多边形的边数．
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课堂小结
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
360°+540°=900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
多边形的外角和
任务二 多边形的外角和
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课堂小结
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°－ 540°
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
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课堂小结
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
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课堂小结
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：
(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.
六
八
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课堂小结
典例精析
例2 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
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课堂小结
变式 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意，得7x °+2x°=180°，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
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课堂小结
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得
解得n=9.
答：这个多边形是九边形.
变式 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
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课堂小结
新课探究
1.判断：
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的
每一个外角等于______．
练习
√
×
√
60°
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课堂小结
3.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
B
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情境导入
课堂小结
5.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
150
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
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情境导入
课堂小结
新课探究
多边形的内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
1．(人教8上P24、北师8下P159)填空：
(1)四边形的内角和等于　 　；
(2)五边形的内角和等于　 　；
(3)六边形的内角和等于　 　；
(4)八边形的内角和等于　 　；
(5)十边形的内角和等于　 　．
　1 440°　
　1 080°　
　720°　
　540°　
　360°　
2．若一个多边形的内角和是1 800°，则它是　 　边形．
十二
课后练习

3．(人教8上P22、北师8下P153)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
又∠A＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．
5．(2024益阳)如图，在正六边形
ABCDEF中，∠FAB＝　 　°．
4．(北师8下P154)填空：
(1)正八边形的每个内角的度数为　 　；
(2)正n边形的每个内角的度数为 　．
　120　
　135°　
6．(2024惠州模拟)已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是　 　．
7．(人教8上P25、北师8下P154)(2024徐州一模)正五边形的每个内角的度数为　 　．
　108°　
　8　
小结：利用n（n≥3）边形的内角和是（n-2）×180°求解.
8．下列度数不能成为某多边形的内角和的是( )
A．1 440° B．1 080°
C．900° D．600°
D
9．(人教8上P24)十二边形的内角和为( )
A．1 620° B．1 800° C．1 980° D．2 160°
10．(人教8上P25改编)(2023济宁)一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　 　 边形．
　五　
B
解：(4－2)×180°＝360°，
x°＋x°＋10°＋60°＋90°＝360°，
解得x＝100．
小结：先根据边数求多边形的内角和，再列方程求未知数的值.
11．【例2】(人教8上P28)如图，求出图中x的值．
解：(5－2)×180°＝540°，
x°＋x°－10°＋x°＋70°＋x°＋20°＝540°，
解得x＝115．
12．(人教8上P28)如图，求出图中x的值．
解：设这个多边形的边数为n．
依题意，得＝120°，
解得n＝6．
即这个多边形的边数为6．
13．(人教8上P24、北师8下P154改编)一个正多边形的每一个内角都等于120°，求这个多边形的边数．
解：∵五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°，
∴每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠B＝∠BAE＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－108°)÷2＝36°，
∴∠CAD＝∠BAE－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°．
14．(人教8上P25、苏教7下P35)如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠CAD的度数．
(1)解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴一个内角的大小为＝120°，
∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°．
∵∠FAB＝120°，∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°．
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，∠F＝∠E＝120°，∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝360°－72°－120°－120°＝48°．
15．(人教8上P25改编)如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．
(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；(2)求证：AB∥DE．
(2)证明：∵∠1＝120°－∠DAF，
∠2＝360°－120°－120°－∠DAF＝120°－∠DAF，
∴∠1＝∠2，∴AB∥DE．
(1)证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，
∴∠1＋∠3＝(∠ABC＋∠ADC)＝×180°＝90°，
又∠1＋∠AEB＝90°，∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF．
(1)求证：BE∥DF；
(2)若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
★16． (人教8上P29)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
0.50
(2)解：∵∠ABC＝56°，
∴∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF＝∠ADC＝62°．
THANK YOU