4.3 向心力的实例分析 学案 (1)

4.3
向心力的实例分析
学案
【学习目标】
1、知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速，它就是圆周运动的物体所受的向心力。会在具体问题中分析向心力的来源。
2、理解匀速圆周运动的规律。
3、知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。
【学习重点】
1、理解向心力是一种效果力。
2、在具体问题中能找到向心力，并结合牛顿运动定律求解有关问题。
【知识要点】
1)水平面的圆周运动
①汽车转弯
汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图6-1甲所示)，是什么力作为向心力的呢 如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图6-1乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力Ff，则静摩擦力沿圆周切线方向的分Ft(通常叫做牵引力)与阻力Ff平衡，而静摩擦力指向圆心的分力Fn就是向心力，如下图丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力Fn也就是汽车所受的合力.
②火车转弯
火车转弯时，是什么力作为向心力呢 如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F就是使火车转弯的向心力(如下左图所示).设转弯半径为r，火车质量为m，转弯时速率为v，则，F=m.由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.
实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r和规定的行驶速度v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力来提供，如上右图所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtgα=mgtgα，故mgtgα=m,
通常倾角α不太大，可近似取tgα=h/d，则hr=d.
2)竖直平面内的圆周运动
①汽车过凸桥
我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的
质量为m，过最高点时的速度为v，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如上图所示，重力G和桥对它的支持力F1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以G-F1=m，则F1=G-m.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力
故压力F1′＝F1＝G-m.
②水流星
水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如下图所示，要使水在最高点不离开杯底，则N≥0
由
N＋mg=m.则
V≥
【典型例题】
例1
长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如下图所示，则(
)
A.它们的周期相同
B.较长的绳所系小球的周期较大
C.两球的向心力与半径成正比
D.两绳张力与绳长成正比
分析
设小球作圆锥摆运动时，摆长为L，摆角为θ，小球受到拉力为T0与重力mg的作用，由于加速度a水平向右，拉力T0与重力mg的合力ma的示意图如下图所示，由图可知mgtgθ=ma
因
a=ω2R=Lsinθ得T=2π，
Lcosθ为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同
T0sinθ=mLsinθ
T0=
L
一定，T0∝L
F向＝
r，F向∝r故正确选项为A、C、D
例2
质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥的压力为
，当速度V′＝
时对桥的压力为零，以速度V通过半径为R凹型最低点时对桥的压力为
.
分析
汽车以速率V作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如下图所示.
汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为a=v2/R,由F=ma
mg-N1=mv2/R
所以，汽车对桥的压力
N1′=N1=mg-mv2/R
当N1′=N1=0时，v′=.
汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如下图所示，此时汽车的加速度方向向上，同理可得，N2′=N2=mg＋mv2/R.
小结
由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法完全相同，需要注意的是其加速度a=v2/R或a=ω2R方向指向圆心.
例3
在水平转台上放一个质量为M的木块，静摩擦因数为μ，转台以角速度ω匀速转动时，细绳一端系住木块M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为m的木块，如右图所示，求m与转台能保持相对静止时，M到转台中心的最大距离R1和最小距离R2.
分析
M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对M的摩擦力的合力提供向心力.
设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，若Mω2R＝T＝mg，此时平台对M的摩擦力为零.
若R1＞R，Mω2R1＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律
f+mg=Mω2R1，当f为最大值μMg时，R1最大.所以，M到转台的最大距离为
R1=(μMg+mg)/Mω2.
若R2＜R，Mω2R2＜mg，平台对M的摩擦力水平向右，由F=ma.
mg-f=Mω2R2
f=μMg时，R2最小，最小值为R2=(mg-μMg)/Mω2.
小结
本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的分析方法，在圆周运动中同样适用.
例4
长L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连接一个零件A，A的质量为m=2kg，它绕O点做圆周运动，如下图所示，在A通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：
(1)A的速率为1m/s，(2)A的速率为4m/s.
分析
杆对A的作用力为竖直方向，设为T，重力mg与T的合力提供向心力，由F=ma，a=v2/R，得mg+T=mv2/R
T=m(v2/R-g)
(1)当v=1m/s时，T=2(12/0.5-10)N=-16N
(2)当v=4m/s时，T=2(42/0.5-10)N=44N
(1)问中T为负值，表明T与mg的方向相反，杆对A的作用力为支持力.
讨论(1)由上式，当v=时，T＝0，当v＞时，T为正值，对A的作用力为拉力，当v＜时，T为负值，对A的作用力为支持力.
(2)如果把杆换成细绳，由于T≥0，则有v≥.
例5
如下图甲所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，物体滑至B点时的速度为v，求此时物体所受的摩擦力.
解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、
轨道对其弹力及轨道对其摩擦力的作用，物体一般
做变速圆周运动.已知物体滑到B点时的速度大小
为v，它在B点时的受力情况如图6-12乙所示.其
中轨道的弹力FN、重力G的合力提供物体做圆周运
动的向心力，方向一定指向圆心.故
甲
乙
FN-G=mFN=mg+m，
则滑动摩擦力为
F1=μFN=μ(mg+m).
【达标训练】
1.若火力按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时(
)
A.仅内轨对车轮有侧压力
B.仅外轨对车轮有侧压力
C.内、外轨对车轮都有侧压力
D.内、外轨对车轮均无侧压力
2.把盛水的水桶拴在长为l的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是(
)
A.
B.
C.
D.2
E.0
3.A、B、C三个物体放在旋转圆台上，静摩擦系数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R，则当圆台旋转时：(设A、B、C都没有滑动，如下图所示)(
)
A.C物的向心加速度最大
B.B物的静摩擦力最小
C.当圆台转速增加时，C比A先滑动
D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
4.如下图所示：在以角速度ω旋转的光滑的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接.若M＞m,则(
)
A.当两球离轴距离相等时，两球都不动
B.当两球离轴的距离之比等于质量之比时，两球都不动
C.若转速为ω时两球不动，那么转速为2ω时两球也不会动
D.若两球滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
5.如下图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球的说法中正确的是(
)
A.小球受到重力、弹力和摩擦力
B.小球受到重力、弹力
C.小球受到一个水平指向圆心的向心力
D.小球受到重力、弹力的合力是恒力
6.m为在水平传送带上被传送的物体，A为终端皮带轮.如下图所示，A轮半径为r，则m可被平抛出去时，A轮的角速度至少为
.
参考答案
1.A
2.C
3.ABC
4.CD
5.B
6.
【课后反思】
收获
疑问