5.2 万有引力定律的应用 学案 (2)

5.2
万有引力定律的应用
学案2
【学习目标】
知道卫星所受的万有引力等于卫星做圆周运动的向心力。
理解第一宇宙速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度
知道万有引力定律对航天技术发展、科学发展所起的重要作用。
【学习重点】
计算第一宇宙速度的两种方法。
计算天体的质量和密度。
【知识要点】
1．关于人造卫星问题
在这一章的学习中，“卫星”（设其质量为m）绕中心天体（设其质量为M，半径为R）的运动视为匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，则有
G
=
m
=
mω2r
=
m()2r
=
mgr
=
ma向
①
②
③
④
⑤
⑥
其中r是“卫星”和中心天体之间的距离，也是轨道半径，①是万有引力的决定式，②是涉及运行速度，③是涉及角速度，④是涉及周期，⑤是距中心天体r处的重力加速度，⑥是距中心天体r处的向心加速度。
若涉及线速度大小，则用①和②联立即
G
=
m，得υ
=
若涉及角速度大小，则用①和③联立即
G
=
mω2r，得ω
=
若涉及周期大小，则用①和④联立即
G
=
m()2r，得T
=
2π
若涉及重力加速度大小，则用①和⑤联立即
G
=
mgr，得gr
=
若涉及向心加速度大小，则用①和⑥联立即
G
=
ma向，得ar
=
在不考虑地球自转的情况下，常常遇到中心天体表面附近的重力加速度g0已知，则有
G
=
mg0，得
GM
=
R2g0──黄金替换即用R2g0替换GM
这样，可以得到地球表面h高处的重力加速度gh
=
2．宇宙速度
（1）第一宇宙速度υ1
=
7.9km/s
在不考虑地球自转的情况下，对地球表面附近的卫星来说，有
mg0
=
m
得第一宇宙速度υ1
=
=
7.9km/s
第一宇宙速度也可以从
G
=
m
得
υ1
=
要将人造卫星发射到预定的轨道上，就需要给卫星一个发射速度。发射速度随着发射高度的增加而增大。最小的发射速度υ1
=
=
=
7.9km/s，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，也是卫星的最大绕行速度。
（2）第二宇宙速度υ2
=
11.2km/s
如果人造地球卫星进入轨道的水平速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，它绕地球运行的轨迹就不是圆而是椭圆了.当卫星的速度等于或大于11.2km/s的速度时，卫星就可以挣脱地球的引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去.所以11.2km/s这个速度叫做第二宇宙速度，也叫脱离速度，是卫星挣脱地球束缚的最小发射速度
（3）第三宇宙速度υ3
=
16.7km/s
达到第二宇宙速度的卫星还受到太阳的束缚，
要想挣脱太阳的束缚，飞到太阳系以外的空间，速度必须大于16.7km/s，
这个速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度，是挣脱太阳束缚的最小发射速度。
3．离心运动和向心运动。
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由G
=
m，，得υ
=
，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小，若卫星由于某种原因，其速度υ突然变化，则当F引>
m时，卫星做向心运动；当F引<
m时，卫星做离心运动。
2.关于天体质量或密度的计算问题
（1）若已知天体表面的重力加速度g和中心天体半径R，则可求出中心天体的质量或密度。由G
=
mg得
M
=
中心天体的体积
V
=
πR3
中心天体的密度ρ
=
=
（2）若已知卫星类的周期T和半径r，由G
=
m()2r，得M
=
，
中心天体的半径为R，中心天体的体积
V
=
πR3
中心天体的密度ρ
=
=
当卫星沿天体表面附近绕天体运动时，r
=
R，则ρ
=
。
【典型例题】
例1
“嫦娥一号”卫星在近地点600km处通过发动机短时点火，实施变轨。变轨后卫星从远地点高度12万余公里的椭圆轨道进入远地点高度37万余公里的椭圆轨道，直接奔向月球。则卫星在近地点变轨后的运行速度
（
B
）
A．小于7.9km/s
B．大于7.9km/s，小于11.2
km/s
C．大于11.2
km/s
D．大于11.2
km/s，小于16.7
km/s
解析：7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星在地面附近做匀速圆周运动所具有的线速度。当卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9km/s而小于11.2
km/s时，卫星将沿椭圆轨道运行，当卫星的速度等于或大于11.2
km/s时就会脱离地球的吸引，不再绕地球运行，11.2km/s被称为第二宇宙速度。“嫦娥一号”
变轨后仍沿椭圆轨道绕地球运动，故B正确。
例2
“嫦娥一号”探月卫星发射升空，实现了中华民族千年奔月的梦想。“嫦娥一号”卫星在距月球表面200公里、周期127分钟的圆形轨道上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径约为1700km，引力常量G
=
6.67×10-11N·m2/kg2，忽略地球对“嫦娥一号”的引力作用。由以上数据可以估算出的物理量有（
ABC
）
A．月球的质量
B．月球的平均密度
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球公转的周期
解析：月球对“嫦娥一号”的万有引力提供其做圆周运动的向心力，
由G可估算出月球的质量，
由月球质量M
=
ρ
·πR3，可估算出月球的平均密度，
又月球表面万有引力等于重力，G
=
mg月，月球表面的重力加速度g月也可以确定。
故A、B、C都正确。
【达标训练】
“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。则下面说法正确的是（
BC
）
A．由于“刹车制动”，卫星在轨道Ⅲ上运动的周期将比沿轨道Ⅰ运动的周期长
B．虽然“刹车制动”，但卫星在轨道Ⅲ上运动的周期还是比沿轨道Ⅰ运动的周期短
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的速度比沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的速度更接近月球的第一宇宙速度
D．卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的加速度
“嫦娥一号”探月卫星发射升空，实现了中华民族千年奔月的梦想。若“嫦娥一号”沿圆形轨道绕月球飞行的半径为R，国际空间站沿圆形轨道绕地球匀速圆周运动的半径为4R，地球质量是月球质量的81倍，根据以上信息可以确定（
AB
）
A．国际空间站的加速度比“嫦娥一号”大
B．国际空间站的速度比“嫦娥一号”大
C．国际空间站的周期比“嫦娥一号”长
D．国际空间站的角速度比“嫦娥一号”小
宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，下列说法正确的是（
C
）
A．只能从同空间站同一高度轨道上加速
B．只能从较高轨道上加速
C．只能从较低轨道上加速
D．无论是什么轨道上，只要加速都行
【反思】
收获
疑问