2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校八年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）估计实数的值，它的所在范围是（　　）
A．在5与6之间 B．在6与7之间
C．在7与8之间 D．在8与9之间
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．450
4．（3分）如果P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则b的取值范围是（　　）
A．﹣2＜b＜2 B．﹣2＜b＜0 C．0＜b＜2 D．0＜b＜4
6．（3分）下列说法：①两边及其中一边的对角对应相等的两三角形全等；②成轴对称的两个图形全等；③的算术平方根是4；④﹣π是（﹣π）2的平方根；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）如图，已知直线MN：y＝kx+2（k≠0）交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（　　）
A．45°或135° B．30°或150° C．60°或120° D．75°或165°
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝10，BD＝6，则EF的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．5 D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）把6249000精确到十万位的近似值并用科学记数法表示为　 　 ．
10．（3分）在，3.14，，，0，π，，2.020020002中，无理数的个数是　 　 个．
11．（3分）函数y的自变量x的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（﹣2，0），则平移后的函数表达式是　 　 ．
13．（3分）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（﹣2，1），则点B的坐标为 　 　 ．
14．（3分）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的　 　 ．
15．（3分）一次函数y1＝kx+b（k≠0）与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：
①关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；②函数y＝ax+k不经过第一象限；③关于x的不等式kx+b＜x+a的解集是x＞3．其中正确的是　 　 （填序号）．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 　 　 ．
17．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　 ．
18．（3分）已知过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s＝a+3b，则s的取值范围是 　 　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（9分）（1）计算：．
（2）求式中x的值：4x2﹣3＝6．
20．（9分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）请在正方形网格中建立平面直角坐标系，使点C（﹣1，0），B（﹣2，2），并求点A的坐标；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，△A'B'C'是由△ABC绕点P旋转得到，求点P的坐标．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，求点A'的坐标．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60度，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BC为一边，且在BF下方作等边△BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
23．（9分）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图．
（1）图①中，AC的长为　 　 ．
（2）在图①中△ABC的边BC上确定一点P，使点P到边AB、AC的距离相等．
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点Q，连接AQ，使AQ平分△ABC的面积．
24．（9分）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数的图象上？说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
25．（9分）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；
（2）该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，购买两种鲜花的总费用为W，如何购买能使费用最少，并求出最少费用．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
27．（9分）【数学阅读】
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF．
小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
【推广延伸】
如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．
【解决问题】
如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数y1x+3，和y2：y＝3x+3的图象，l1，l2与x轴的交点分别为A，B．
（1）两条直线的交点C的坐标为　 　 ；
（2）说明△ABC是等腰三角形；
（3）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
28．（15分）如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地．甲、乙两车到C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．
（1）M点的坐标是 　 　 ；
（2）经过多长时间两车相遇；
（3）在图2中补全甲车到C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；
（4）两车行驶多长时间时到C地的距离相等？
2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．解：∵，
∴4+35+3，
即78，
所以实数的值在7与8之间．
故选：C．
3．解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2．
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故选：C．
4．解：∵P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，P2的坐标为（﹣2，3），
∴P1的坐标为：（﹣2，﹣3），故点P的坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
5．解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），
∴﹣2k+b＝0，
∴kb，
∴
解得，
∵直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）的交点在第一象限，
∴，
解得0＜b＜4．
故选：D．
6．解：①SSA不能判断三角形全等，说法错误，不符合题意；
②成轴对称的两个图形全等，说法正确，符合题意；
③的算术平方根是2，说法错误，不符合题意；
④﹣π是（﹣π）2的平方根，说法正确，符合题意；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意．
∴正确的有②④．
故选：C．
7．解：∵直线MN：y＝kx+2（k≠0）交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
∴当x＝0时，y＝2，
∴OB＝2，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠OBM＝30°+90°＝120°，
①如图，当点C在x轴正半轴上时，∠BOC1＝45°，
∴∠MBC1＝120°﹣45°＝75°；
②当点C在x轴负半轴上时，
∠MBC2＝120°+45°＝165°．
∴∠MBC的度数为75°或165°．
故选：D．
8．解：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
E是对角线AC的中点，
∴，
当EF⊥BD时，EF取得最小值，
∴，
在直角三角形BEF中，由勾股定理得：
，
∴EF的最小值为4；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．解：根据题意可知，∵6249000≈6200000，
∴6200000＝6.2×106．
故答案为：6.2×106．
10．解：，2，
，π是无限不循环小数，是无理数，故无理数一共有2个，
故答案为：2．
11．解：根据题意得，x+1≥0且|x|﹣2＝0，
解得x≥﹣1且x≠±2，
所以，x≥﹣1且x≠2．
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
12．解：设平移后的函数表达式是y＝3x+b，
∵它经过点（﹣2，0），
∴0＝﹣6+b，
解得：b＝6．
∴平移后的函数解析式为：y＝3x+6．
故答案为：y＝3x+6．
13．解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（﹣2，1），
∴A、B两点纵坐标都是1，
又∵AB＝3，
∴当B点在A点左边时，B的坐标为（﹣5，1），
当B点在A点右边时，B的坐标为（1，1）．
故答案为（﹣5，1）或（1，1）．
14．解：设图中小正方形的边长为1，
∵MN＝MF＝2，
∴，，
由于AF⊥MF，显然点A不可能是点Q；
∵，
∴MD＝MP，FD＝NP，
在△MNP和△MFD中，
，
∴△MNP≌△MFD（SSS），
∴点D是点Q；
∵，
∴点B不是点Q；
同理，点C不是点Q；
∴点Q可能是图中的点D；
故答案为：点D．
15．解：①当y1＝y2时，kx+b＝x+a，
则kx﹣x＝a﹣b，
由图知两个一次函数图象的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3，
故①正确；
②由图知，a＜0，k＜0，
∴函数y＝ax+k经过二、三、四象限，不经过第一象限，
故②正确；
③由图知，x＞3时，直线y1＝kx+b在直线y2＝x+a的下方，
∴关于x的不等式kx+b＜x+a的解集是x＞3，
故③正确．
综上，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
16．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，
∴，
故答案为：10．
17．解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为10，
即BC＝10，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP＝8，
∴由勾股定理可知：PC＝6，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为10，
∴AB＝BC＝10，
∴PA＝PC＝6（三线合一），
∴AC＝12，
∴△ABC的面积为：12×8＝48，
故答案为：48．
18．解：∵过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，
∴a＜0，b≤0，
将（2，﹣3）代入直线y＝ax+b，
﹣3＝2a+b，
b＝﹣3﹣2a
∴，
解得a＜0，
s＝a+3b＝a+3×（﹣3﹣2a）＝﹣9﹣5a，
a＝0时，s＝﹣9，
当a时，s
故﹣9＜s．
故答案为：﹣9＜s．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．解：．
＝42﹣1+4
＝5；
（2）移项并合并，得4x2＝9，
化系数为1，得x2，
开平方，得x．
20．解：（1）如图所示：
由平面直角坐标系得，点A的坐标为（﹣3，﹣2）；
（2）连接AA′、BB′，如图所示：
作线段AA′的垂直平分线MN，作线段BB′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心，点P的坐标为（1，﹣1）．
21．解：作A'C⊥x轴于点C，
由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，
∴OC＝OB+BC＝7，
∴点A'坐标为（7，4）．
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
23．解：（1）图①中，根据勾股定理，得
AC的长为：3；
故答案为：3；
（2）如图①，点P即为所求；
（3）如图②，点Q即为所求．
24．解：（1）把x＝1代入y＝2x中，得y＝2，
所以点B的坐标为（1，2），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把A（0，3）和B（1，2）代入，得
，
解得，
所以一次函数的解析式是y＝﹣x+3；
（2）点C（4，﹣2）不在该函数的图象上．理由：
当x＝4 时，y＝﹣1≠﹣2，
所以点C （4，﹣2）不在函数的图象上．
（3）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则0＝﹣x+3，
解得x＝3，
则D的坐标是（3，0），
所以S△BOD3×2＝3．
25．解：（1）由图可得：当0≤x＜20时，，
当x≥20时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：．
（2）设购买康乃馨的数量为a束，则购买玫瑰花的数量为（200﹣a）束，由题意得：
a≤150，且a≥200﹣a，
解得：100≤a≤150．
∴W＝45a+100+40（200﹣a）＝5a+8100，
∵5＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a＝100时，W最小，且最小值为：5×100+8100＝8600（元）．
答：购买康乃馨和玫瑰花各100束时，费用最少，最少费用为8600元．
26．解：（1）∵直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0＝3k+1，
∴k，
∴直线AB的解析式是yx+1．
当x＝0时，y＝1，
∴点A（0，1）；
（2）如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝2，
设P（2，n），
∵x＝2时，yx+1，
∴D（2，），
∵P在点D的上方，
∴PD＝n，
∴S△APDAM PD2×（n）＝n，
由点B（3，0），可知点B到直线x＝2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴S△BPD1×（n）（n），
∴S△PAB＝S△APD+S△BPDn；
∵△ABP的面积与△ABO的面积相等，
∴n1×3，
解得n，
∴P（2，）；
（3）当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠NPA＝90°﹣∠BPM＝∠PBM，
∵∠ANP＝∠BMP＝90°，
∴△APN≌△PBM（AAS），
∴BM＝PN，PM＝AN，
∵∠NOB＝∠ONM＝∠OBM＝90°，
∴四边形OBMN是矩形，
∴MN＝OB＝3，BM＝ON＝AN+1＝PN①，
∴PN+PM＝PN+AN＝3②，
由①②解得PN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA+AN＝2，
∴P（2，2）；
当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝AB，∠KAP＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
而∠PKA＝∠AOB＝90°，
∴△APK≌△BAO（AAS），
∴AK＝OB＝3，PK＝OA＝1，
∴OK＝OA+AK＝4，
∴P（1，4），
当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4：
同理可证△AOB≌△BRP（AAS），
∴BR＝OA＝1，PR＝OB＝3，
∴P（4，3），
综上所述，P坐标为：（2，2）或（1，4）或（4，3）．
27．解：【数学阅读】如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABPAB PD，S△ACPAC PE，S△ABCAB CF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC，
∴AB PDAC PEAB CF，
又∵AB＝AC，
∴PD+PE＝CF；
【推广延伸】
猜想：PD﹣PE＝CF，
证明：如图③，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABPAB PD，S△ACPAC PE，S△ABCAB CF，
∵S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC，
∴AB PDAC PEAB CF，
又∵AB＝AC，
∴PD﹣PE＝CF；
【解决问题】
（1）由题意得，
解得，
则两条直线的交点C的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）；
（2）l1：yx+3，令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0）．
l2：y＝3x+3，令y＝0，则x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∴AB＝5，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴AC2＝AO2+CO2，
∴AC＝5，
∴AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形．
（3）当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q，
∵l2上的一点M到l1的距离是1，
∴MQ＝1，
由图②的结论得：MP+MQ＝3，
∴MP＝2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y＝3x+3，
∴当y＝2时，x，
∴M坐标为（，2）；
同理，由前面结论可知当M点在线段AC外时，有|MP﹣MQ|＝OC，
可求得MP＝4，即M点的纵坐标为4，
分别代入y＝3x+3，可求得x，
∴M点的坐标为（，4）；
综上可知M点的坐标为（，2）或（，4）．
28．解：（1）由图象可知AC＝60，BC＝120，
∴AB＝60+120＝180（km）；
∵甲乙两车匀速运动，
∵AC＝60，BC＝120，
∴v甲60（千米/小时），v乙90（千米/小时），
∴乙到达C的时间为：t（小时），
∴M点坐标为（，0）；
故答案为：（，0）；
（2）180÷（60+90）＝1.2（小时），
答：经过1.2小时两车相遇；
（3）当x＞1时设y1＝ax+b，
∵甲还要走120km到B处，
∴用时t2，
∵函数过点（1，0）、（3，120），代入y1＝ax+b得：
，
解得：
∴y1＝60x﹣60，
如图：
（4）由图可知，当1＜x时，甲车经过C点，乙车还未到达C点，可得：
y＝﹣90x+120＝60x﹣60，
解得x＝1.2，
当x时，
y＝90x﹣120＝60x﹣60，
解得x＝2，
∴两车行驶1.2或2个小时到C地距离相等．
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