2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下列四幅交通标示图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各选项中，因式分解正确的是（　　）
A．（a2+b2）＝（a+b）2 B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
3．（3分）分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．（3分）“多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间（小时） 6 5 4 3 2
人数（人） 2 6 4 6 2
关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（　　）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
6．（3分）如图，在 ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件可以是（　　）
A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE
C．DF＝EF D．DE平分∠ADB
7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝62°，在平面内将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使点D落在BC边上．若DE⊥AC，则∠C的度数是（　　）
A．28° B．31° C．34° D．36°
8．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　）
A． B．3 C． D．4
10．（3分）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
11．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），连接OM，作ON⊥OM交AB于N，连接DM，CN．下列四个结论：①OM＝ON；②DM⊥CN；③AN2+CM2＝2ON2；④∠MDN＝36°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
13．（3分）如果分式值为零，那么x的值为 　 　 ．
14．（3分）已知多项式x2﹣x+m因式分解后有一个因式为x+2，则m的值为 　 　 ．
15．（3分）在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数是 　 　 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到．△DEF．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为 　 　 ．
17．（3分）一组数据的方差计算为：，则这组数据的平均数为 　 　 ．
18．（3分）已知x2﹣3x+1＝0，则代数式的值是　 　 ．
19．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°．则∠DHO的度数是 　 　 ．
20．（3分）矩形ABCD中，点E是BC的中点，DF⊥AE于点F，若CE＝3，CF＝4，则DF的长度是　 　 ．
三、解答题（共7题，满分60分）
21．（4分）解方程：1．
22．（6分）先化简，再从﹣1，1，﹣2三个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）作出△ABC以点C为对称中心的图形△A1B1C1；
（2）平移△ABC，若点A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
24．（10分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 　 　 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积．
26．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
27．（12分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，连接CF、CE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，连接GE．求证：GE＝BE+GD；
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；
②如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E、F分别在BC和CD上，且∠EAF＝60°，连接EF．若BE＝2，DF＝4，请直接写出EF的长度　 　 ．
2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
2．解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（m﹣2）2，符合题意；
D、原式＝﹣2y（y﹣3），不符合题意．
故选：C．
3．解：．
故选：D．
4．解：∵四边形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣150°＝30°，
∴n的值为．
故选：A．
5．解：A：每周在家阅读中外名著的时间为5h，3h出现的次数最多，
故众数为5和3，故A错误；
B：，故B正确；
C：中位数为：，故C错误；
D：方差为：
，
故D错误．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠C，
∴AD∥BE，
∴∠ADF＝∠BEF，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BEF中，
，
∴△ADF≌△BEF（AAS），
∴AD＝BE，
又∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
A、添加∠BAD＝∠BDA时，AB＝DB，不能判定平行四边形AEBD是菱形，故选项A不符合题意；
B、添加AB＝DE时，能判定平行四边形AEBD是矩形，不是菱形，故选项B不符合题意；
C、添加DF＝EF，不能判定平行四边形AEBD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵DE平分∠ADB，
∴∠BDC＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AD＝BC，AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴平行四边形AEBD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
7．解：如图，AC，DE交于点O．
由旋转变换的性质可知AB＝AD，∠B＝∠ADE＝62°，
∴∠B＝∠ADB＝62°，
∵AC⊥DE，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝90°﹣62°＝28°，
∴∠BAD＝180°﹣2×62°＝56°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAO＝56°+28°＝84°，
∴∠C＝180°﹣62°﹣84°＝34°．
故选：C．
8．解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
2，
故选：A．
9．解法一：
解：延长DF和AB，交于G点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG，
∴△DEC∽△GAE
∴，
∵AC＝5，CE＝1，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4，
∴，
又∵EF＝DE，，
∴，
∵，DC＝AB，
∴，
∴，
∴
∴AE∥BF，
∴△BGF∽△AGE，
∴，
∵AE＝4，
∴BF＝3．
解法二：
连接BD交AC 于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵EF＝DE，
∴OE是△BFD的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴BF＝3，
故选：B．
10．解：连接AG，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EFAG，
∴当AG最小时，EF最小，当AG⊥BC时，AG最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∴当AG⊥BC时，∠AGB＝90°，
∴sinB＝sin60°，
∴AG＝4，
∴EF的最小值42．
故选：D．
11．解：∵a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2），
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a2﹣b2＝0 或a2+b2﹣c2＝0，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∠BOC＝90°，OC＝OB，
∴∠BOM+∠MOC＝90°，
∵ON⊥OM交AB于N，
∴∠BOM+∠NOB＝90°，
∴∠MOC＝∠NOB，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON，故①正确；
∵△OCM≌△OBN（ASA），
∴BN＝CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴△CNB≌△DMC（SAS），
∴∠CMD＝∠CNB，
∵∠CNB+∠NCB＝90°，
∴∠DMC+∠NCB＝90°，
∴DM⊥CN，即②正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BC﹣CM＝AB﹣BN，即BM＝AN，
∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，
∵Rt△OMN 中，OM2+ON2＝MN2，OM＝ON，
∴MN2＝2ON2，
∴AN2+CM2＝2ON2，即③正确；
当点M接近点B时，点N接近点A，∠MDN接近∠BDA＝45°，此时∠MDN≠36°，故④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．解：根据题意得：，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：设多项式x2﹣x+m的一个因式为x+p，
∵多项式x2﹣x+m因式分解后有一个因式为x+2，
∴x2﹣x+m＝（x+2）（x+p）＝x2+xp+2x+2p＝x2+（p+2）x+2p，
则p+2＝﹣1，
∴p＝﹣3，
则m＝2p＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15．解：∵数据4，5，6，5的平均数为5，
∴添加数据5，新数据的平均数仍然是5，
故答案为：5．
16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝10，
∴ACAB＝5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于15，
∴AC BE＝15，即5BE＝15，
∴BE＝3，
即平移距离等于3．
故答案为：3．
17．解：由题意可知这组数据为5、3、6、4，
∴平均数为：（5+3+4+6）÷4＝4.5．
故答案为：4.5．
18．解：x2﹣3x+1＝0，
两边都除以x得：x﹣30，
即x3，
所以x2
＝（x）2﹣2 x
＝32﹣2
＝7．
19．解：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝56°，
∴AC⊥BC，OD＝OB，∠BAO∠BAD＝28°，
在Rt△AOB中，∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣28°＝62°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△BDH中，OD是斜边BD上的中线，
∴OH＝OB＝OD，
∴∠OHB＝∠ABO＝62°，
∴∠DHO＝∠DHB﹣∠OHB＝90°﹣62°＝28°．
故答案为：28°．
20．解：延长AE、DC交于点H，
∵点E是BC的中点，CE＝3，CF＝4，
∴BE＝CE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC＝2CE＝6，∠ADH＝90°，
∴∠BAE＝∠H，
在△ABE和△HCE中，
，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB＝HC，
∴DC＝HC，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠AFD＝∠DFH＝90°，
∴HD＝2CF＝8，
∴AH10，
∵∠AFD＝∠ADH，∠FAD＝∠DAH，
∴△AFD∽△ADH，
∴，
∴DFHD8，
故答案为：．
三、解答题（共7题，满分60分）
21．解：方程去分母得：﹣（x﹣1）2+3＝1﹣x2，
解得：x，
经检验x是原方程的解．
22．解：原式
．
当a＝﹣2时，原式．
23．解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，点P即为对称中心，
∵A1（3，2），A2（0，﹣4），，
∴p的坐标为（，
故答案为：．
24．解：（1）∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
补全图形如下：
（2）∵5+15＝20，
而80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83；
中位数为：，
故答案为：83；
（3）全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）
答：估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数约600人；
（4）甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴甲的综合成绩比乙高．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N，
由（1）可知，四边形ABFE是菱形，
∴BF＝AB＝5，BM＝EMBE＝4，AM＝FM，AF⊥BE，
∴∠AMB＝90°，
∴AM3，
∴AF＝2AM＝6，
∵AN⊥BF，
∴S菱形ABFE＝BF ANAF BE，
即5AN6×8，
解得：AN，
∵BC＝BF+CF＝5，
∴S平行四边形ABCD＝BC AN36．
26．解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
27．（1）证明：在正方形ABCD中 CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，
∴∠CDF＝∠B＝90°．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE＝CF；
（2）证明：GE＝BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠GCF＝∠GCD+∠DCF＝∠GCD+∠BCE＝45°．
∴∠ECG＝∠FCG＝45°．
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝FG．
∵FG＝GD+DF，
∴GE＝BE+GD；
（3）①如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由（2）和题设知：DE＝DG+BE，
设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
∴DE＝2+3＝5；
②把△ABE旋转120°得到△ADE′，则DE′＝BE＝2，DF＝4，EF＝E′F，∠ADE′＝∠B＝60°，
∴∠E′DF＝120°，
过E′作E′H⊥FD于H，∠E′DH＝60°，
∴DHDE′＝1，HE′DE′，
∴EF2．
故答案为：2．
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