模拟演练(二)
选择题部分
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足 UM={1,3},则( )
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
2.若复数z满足(1+i)z=2(i为虚数单位),则|z|等于( )
A.1 B.2
C. D.
3.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( )
A.y=-2x+1 B.y=x2+1
C.y= D.y=2x
4.“a>b”是“a-b>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ等于( )
A.- B.
C.- D.
6.已知幂函数f(x)的图象过点(4,),则( )
A.f(x)=x B.f(x)=
C.f(x)=x- D.f(x)=x2
7.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,则下列命题正确的是( )
A.若m∥α,n α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m α,α⊥β,则m⊥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
8.已知点E为平行四边形ABCD对角线BD上一点,且DE=2BE,则等于( )
A.+ B.-
C.+ D.-
9.函数f(x)=的大致图象为( )
10.已知函数f(x)=若f(a)=4,则实数a的值是( )
A.-2 B.5 C.-2或5 D.2
11.在正三棱锥ABCD中,二面角ABCD的平面角为60°,则AC与平面BCD所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.1
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=a-cosx,若函数y=f(x+1)是偶函数,则下列结论不正确的是( )
A.a=1
B.f(x)的最小正周期T=4
C.y=f(x)-|log6x|有4个零点
D.f(2 026)>f(2 025)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得部分分,不选、错选得0分.)
13.已知函数f(x)=sin(2x-)(0≤<π),g(x)=cos(2x+),定义域均为R,下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的最小正周期
B.若函数f(x)在(0,)上单调递增,则的最小值为
C.当=0时,y=g(x)的图象可以由函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到
D.当=时,若方程f(x)=在区间(0,)内的解为x1,x2(x114.如图,点A,B在☉C上,则根据下列所给条件可以求出数量积·的是( )
A.||=2,||=2,∠CAB=30°
B.||=2,∠CAB=30°
C.||=2
D.||=2
15.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,f(x+1)为奇函数,当x∈[1,2]时,f(x)=a·2x+b,若f(0)=-1,则( )
A.f(1)=0 B.a+b=-
C.f(log224)=- D.f(x+2)为偶函数
非选择题部分
三、填空题(本大题共4小题,每空3分,共12分.)
16.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的半径为 .
17.甲、乙两人打靶,已知甲的命中率为,乙的命中率为,若甲、乙分别向同一靶子射击一次,则该靶子被击中的概率为 .
18.已知x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+3y2的最小值是 .
19.如图,在正方形ABCD中,点M是边CD的中点,将△ADM沿AM翻折到△PAM,连接PB,PC,在△ADM翻折到△PAM的过程中,下列说法正确的是 .(填序号)
①点P的轨迹为圆弧;
②存在某一翻折位置,使得AM⊥PB;
③棱PB的中点为E,则CE的长为定值.
四、解答题(本大题共3小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
20.(本小题满分11分)
为了迎接新高考,某校举行物理和化学等选科考试,其中,600名学生化学成绩(满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95).已知图中前三个组的频率依次构成等差数列,第一组和第五组的频率相同.
(1)求a,b的值;
(2)估算高分(大于等于80分)人数;
(3)估计这600名学生化学成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和中位数.(中位数精确到0.1)
21.(本小题满分11分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A+asin B=c+a.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为2,且b=2,求a,c.
22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=|x2-x|,g(x)=kx,f(x)与g(x)的图象恰有三个交点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)用max{α,β}表示α,β中的最大值,设函数(x)=max{f(x),g(x)}(1≤x≤6),用M,m分别表示(x)的最大值与最小值,求M,m,并求出M-m的取值范围.
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1.A 由题意知M={2,4,5}.故选A.
2.D 由(1+i)z=2,得z===1-i,所以|z|==.
故选D.
3.A y=-2x+1在R上是减函数,故A正确;
y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
y=在[0,+∞)上是增函数,故C错误;
y=2x在R上是增函数,故D错误.
故选A.
4.B 由a>b不一定能推出a-b>1,如当a=2,b=1时,
a>b,但是a-b=1,
由a-b>1>0,可推出a>b,所以“a>b”是“a-b>1”的必要不充分条件.故选B.
5.A 因为θ∈(0,),则sin θ>0,cos θ>0,
又因为tan θ==,则cos θ=2sin θ,
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,
解得sin θ=或sin θ=-(舍去),
所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-.故选A.
6.B 设幂函数f(x)=xa,将点(4,)代入y=xa得4a=,所以a=-,
所以幂函数的解析式为f(x)=.
故选B.
7.D 若m∥α,n α,则m与n可能平行也可能异面,A选项错误;
若m∥α,m∥β,则α与β可能平行也可能相交,B选项错误;
若m α,α⊥β,则m可能与β平行,可能与β相交,也可能在β内,C选项错误;
垂直于同一平面的两条直线互相平行,D选项正确.
故选D.
8.A
因为=+,
又DE=2BE,所以=+
=+(-)=+.故选A.
9.D 由f(x)=可得定义域为R,
且f(-x)===f(x),
所以f(x)是偶函数,故A,C错误;
因为f()==-<0,
故B选项错误.故选D.
10.C 若f(a)=4,则或
解得a=-2或a=5.故选C.
11.C 如图,取BC的中点E,△BCD的中心G,连接AE,DE,CG,AG,
因为AB=AC,BD=CD,
则AE⊥BC,DE⊥BC,
可得二面角ABCD的平面角为∠AED,
即∠AED=60°,
因为三棱锥ABCD为正三棱锥,则AG⊥平面BCD,且DE,CG 平面BCD,则AG⊥DE,AG⊥CG,
可得AG=EG,CG=DG=2EG,
由AG⊥平面BCD,可知AC与平面BCD所成的角为∠ACG,
所以tan∠ACG===.故选C.
12.D 对于A,由题意可得,f(0)=a-1=0,解得a=1,故A正确;
对于B,因为y=f(x+1)是偶函数,
则f(x+1)=f(-x+1),则f(2+x)=f(-x),
又因为f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),
可得f(2+x)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),则f(x)的最小正周期T=4,故B正确;
对于C,令f(x)-|log6x|=0,
则f(x)=|log6x|,
此时x>0,分别作出y=f(x),y=|log6x|的图象,
由图象可知,y=f(x),y=|log6x|有4个交点,
故y=f(x)-|log6x|有4个零点,
故C正确;
对于D,f(1)=1,
f(2)=-f(-2)=-f(2),即f(2)=0,
则f(2 025)=f(1)=1,f(2 026)=f(2)=0,
可得f(2 026)13.ABD f(x),g(x)的最小正周期均为T==π,故A正确;x∈(0,)时,-π<-<2x-<-≤,
由f(x)在(0,)上单调递增,
所以-≤-<2x-<-≤,
解得≤≤,故B正确;
当=0时,f(x)=sin 2x,函数y=f(x)的图象向右平移个单位得到f(x-)=sin(2x-)=-cos(2x-+)=-cos(2x+)≠g(x),故C错误;
当=时,f(x)=sin(2x-)=,即sin(2x1-)=sin(2x2-)=,
由x∈(0,)可知t=2x-∈(-,),
因为sin t1=sin t2,且t1,t2∈(-,),所以由正弦函数性质可知t1+t2=π,
即2x1-+2x2-=π,
所以x1+x2=,即x1=-x2,
所以cos(x1-x2)=cos(-2x2)=sin[-(-2x2)]=sin(2x2-)=,故D正确.
故选ABD.
14.ABD 对于A,由向量数量积的定义式,
·=||·||cos<,>=2×2cos 30°=6,故A正确;
对于B,如图,过点C作CD⊥AB于点D,
因为||=2,∠CAB=30°,
则||=2||=2×2cos 30°=2,由A项分析易得·=6,故B正确;
对于C,因为·=||·||cos<,>,仅知道||=2,不能求出·,故C错误;
对于D,与B项同法作辅助线,因=+,
而·=0,且||=||,
故·=(+)·=·=||2=6,即D正确.
故选ABD.
15.ABD 选项A,因为f(x+1)为奇函数,
所以f(x+1)+f(-x+1)=0,
即f(x)的图象关于(1,0)对称,又f(x)是定义在R上的函数,则f(1)=0,故A正确;
选项B,由f(0)=-1可得f(2)=1,
则有
解得
所以a+b=-,
故B正确;
选项C,因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4;
因为4所以0所以f(log224)=f(log2);
因为f(x)的图象关于(1,0)对称,
所以f(x)=-f(2-x),
则f(log2)=-f(2-log2)=-f(log2)=-,故C错误;
选项D,由f(x+2)=-f(x),f(2-x)=-f(x)得
f(x+2)=f(2-x),
即f(x+2)为偶函数,故D正确.故选ABD.
16.解析:设扇形的弧长为l,半径为r,
所以l=,S=rl=r·=,
解得r=2.
答案:2
17.解析:记事件A为甲、乙分别向同一靶子射击一次,该靶子被击中,则事件为甲、乙分别向同一靶子射击一次,两人均未中靶,故P(A)=1-P()=1-(1-)×(1-)=.
答案:
18.解析:因为x2y2+y4=1,y≠0且x2=,
所以x2+3y2=+3y2=+2y2≥2=2,
当且仅当=2y2,即x2=,y2=时等号成立,所以x2+3y2的最小值为2.
答案:2
19.解析:设正方形ABCD的边长为a,
①在正方形ABCD中,过点D作DH⊥AM于H,则DH=a.
在△ADM翻折到△PAM的过程中,PH⊥AM,PH=a 均不变,
则点P的轨迹为以H为圆心,以a为半径的圆弧.判断正确.
②
假设存在某一翻折位置,使得AM⊥PB.
在△PAM内,过点P作PN⊥AM于N,连接BN,
由AM⊥PB,PN⊥AM,PN∩PB=P,
可得AM⊥平面PBN.
又BN 平面PBN,
则AM⊥BN,
则cos∠MAB==.
又在正方形ABCD中,
cos∠MAB=cos∠AMD=.
两者互相矛盾,故假设不成立,即不存在某一翻折位置,使得AM⊥PB.判断错误.
③设
棱PB的中点为E,取PA中点K,连接EK,CE,MK,
则MK=a,
则有EK∥AB,EK=AB,
则EK∥MC,EK=MC,
则四边形EKMC为平行四边形,则CE=MK,
又MK=a,则CE=a,即CE的长为定值.判断正确.
答案:①③
20.解:(1)由题意可知,
解得
(2)高分的频率约为(+0.005)×10=(+0.005)×10=0.15.
故估计高分人数为600×0.15=90.
(3)估计平均值为50×0.005×10+60×0.025×10+70×0.045×10+80×0.020×10+90×0.005×10=69.5.
设中位数为x,则0.005×10+0.025×10+0.045×(x-65)=0.5,x≈69.4.故估计中位数为69.4.
21.解:(1)由bcos A+asin B=c+a,根据正弦定理得
sin Bcos A+sin Asin B=sin C+sin A,
sin Bcos A+sin Asin B=sin(B+A)+sin A=
sin Acos B+sin Bcos A+sin A,
sin Asin B=sin Acos B+sin A,又sin A≠0,
所以sin B-cos B=1,解得2sin(B-)=1,
所以sin(B-)=,
因为B为三角形的内角,所以B=.
(2)由B=,S△ABC=2=ac,解得ac=8,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=12,
解得a2+c2=20,
所以a=2,c=4或a=4,c=2.
22.解:(1)由题意得f(x)=显然f(x)≥0,且(0,0)是函数f(x)与g(x)的图象的一个交点,当k<0时,g(x)<0在(0,+∞)上恒成立,与f(x)的图象无交点,在(-∞,0)上,g(x)与f(x)的图象至多有1个交点,不符合要求,舍去;
当k=0时,g(x)与f(x)的图象有且仅有2个交点(0,0),(4,0),不符合要求,舍去;
当k>0时,若函数f(x)与g(x)的图象有3个交点,则方程-x2+x=kx,x2-x=kx均有正根,解得x1=4-4k,x2=4k+4,由可得0所以实数k的取值范围是(0,1).
(2)由(1)可知,当k∈(0,1)时,f(x)与g(x)的图象有 3个交点,两个非零交点的横坐标分别为x1=4-4k,
x2=4k+4,
当x∈(0,x1)时,f(x)>g(x),
max{f(x),g(x)}=f(x),
当x∈[x1,x2]时,f(x)≤g(x),
max{f(x),g(x)}=g(x),
当x∈(x2,+∞)时,f(x)>g(x),
max{f(x),g(x)}=f(x).
当≤k<1时,x1≤1,x2≥7,
(x)=g(x)(1≤x≤6),
M=(6)=6k,m=(1)=k,M-m=5k∈[,5).
当≤k<时,1(x)=
f(x)在[1,x1)上单调递增,且g(x)单调递增,故(x)在[1,6]上单调递增,M=(6)=6k,m=f(1)=,M-m=6k-∈[,).
当(x)=
且(x)在[1,2]上单调递增,在(2,x1)上单调递减,在[x1,6]上单调递增,
(1)=f(1)=,(x1)=f(x1)>f(1),(2)=f(2)=1,(6)=f(6)=3>(2),
故M=(6)=3,m=f(1)=,M-m=.
当0(x)=
且(x)在[1,2]上单调递增,在(2,x1)上单调递减,在[x1,6]上单调递增,
(1)=f(1)=,(x1)=f(x1)≤f(1),(2)=f(2)=1,(6)=f(6)=3>(2),
故M=(6)=3,m=f(x1)=f(4-4k)=-4k2+4k,
M-m=4k2-4k+3∈[,3);
综上,当≤k<1时,M=6k,m=k;
当≤k<时,M=6k,m=;
当当0M-m的取值范围为[,5).
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