模拟演练(三)
1.D 因为M={1,2,3},N={1},则N M.故选D.
2.D z=(1-3i)(2+i)=2+i-6i+3=5-5i,故对应的点为(5,-5),位于第四象限.故选D.
3.D 由诱导公式sin(π+α)=-sin α,且sin(π+α)=,可得-sin α=,即sin α=-.故选D.
4.A 在△ABC中,D为BC边的中点,E为AD的中点,
则=-=-=×(+)-=-+.
故选A.
5.C 小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4种可能的结果,所以小明恰好选中“烹饪”的概率为.
故选C.
6.B 连接AO1,A1O2,作A1E⊥AO1,垂足为E.∠AA1E即直线O1O2与直线AA1所成的角.tan∠AA1E=
==.故选B.
7.C 由于-=,则>成立等价于>0成立,
充分性:若a>b,且a,b,m∈(0,+∞),
则a+m>0,a-b>0,则>0,
所以>成立,满足充分性;
必要性:若>,则>0成立,
其中a,b,m∈(0,+∞),且a+m>0,
则可得a-b>0成立,即a>b成立,满足必要性.
故选C.
8.C 依题意m==2sin 18°,
所以=
=
=====2.
故选C.
9.A
设球O的半径为R,
则4πR2=16π,得R2=4,
设△ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r,圆心为O1,
则r为△ABC外接圆的半径,
因为等边△ABC的边长为3,
所以r=×(×3)=,
所以球心O到△ABC所在平面的距离为
OO1====1,
所以三棱锥OABC的体积S△ABC·OO1=××32×1=.
故选A.
10.D 因为y=0.2x在R上单调递减,
且0<0.5<0.6<1,
所以0.20>0.20.5>0.20.6>0.21,
即1>0.20.5>0.20.6>0.2,
所以1>a>b>0.2,
因为y=logπx在(0,+∞)上单调递增,且0.2<1,
所以logπ0.2
所以c11.B 首先分别作出a=0,a>0,a<0的函数f(x)的图象,如下:
结合图象进行分析:
当a=0时,f(x)=此时如图(1)所示,
函数f(x)的图象关于原点对称,其为奇函数,
所以存在a=0,使得函数f(x)为奇函数,故A正确;
由图可知,无论a取何值,
当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,
所以函数f(x)既无最大值也无最小值,故C正确;
作一条直线y=-k,当a>0时,存在实数k使得函数y=f(x)的图象与y=-k没有交点(图略),
即此时y=f(x)+k没有零点,
因此对于任意实数a和k,函数y=f(x)+k总存在零点不正确,故B不正确;
如图(2),当a>0时,对于任意给定的正实数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,m)上单调递减,故D正确.故选B.
12.A 因为f(x)=x3-3x2,
对于A选项,f(x+1)+2=(x+1)3-3(x+1)2+2=x3+3x2+3x+1-3x2-6x-3+2=x3-3x,
令f1(x)=x3-3x,该函数的定义域为R,
f1(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-f1(x),
则f(x+1)+2为奇函数,A满足要求;
对于B选项,f(x-1)+2=(x-1)3-3(x-1)2+2=x3-3x2+3x-1-3x2+6x-3+2
=x3-6x2+9x-2,
令f2(x)=x3-6x2+9x-2,该函数的定义域为R,则f2(0)=-2≠0,
所以函数f(x-1)+2不是奇函数,B不满足要求;
对于C选项,f(x-1)-2=(x-1)3-3(x-1)2-2=x3-3x2+3x-1-3x2+6x-3-2
=x3-6x2+9x-6,
令f3(x)=x3-6x2+9x-6,该函数的定义域为R,则f3(0)=-6≠0,
所以函数f(x-1)-2不是奇函数,C不满足要求;
对于D选项,f(x+1)-2=(x+1)3-3(x+1)2-2=x3+3x2+3x+1-3x2-6x-3-2=x3-3x-4,
令f4(x)=x3-3x-4,该函数的定义域为R,
则f4(0)=-4≠0,
所以函数f(x+1)-2不是奇函数,D不满足要求.
故选A.
13.ABC 由幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),
则2=4α,得α=,所以幂函数f(x)==,所以A正确;
又f(1)==1,即f(x)的图象经过点(1,1),B正确;
f(x)在[0,+∞)上单调递增,C正确;
不等式f(x)≥x,即≥x,解得0≤x≤1,D错误.
故选ABC.
14.BD 对于A,根据已知条件,可得如图所示的反例,
故A错误;
对于B,若m⊥α,则m垂直于平面α内的任意一条直线,又n∥α,由等角定理可知,m⊥n,故B正确;
对于C,根据已知条件,可得如图所示的反例,n在平面α内,
故C错误;
对于D,若m∥n,α∥β,根据等角定理以及线面角的定义可知,m与α所成的角和n与β所成的角相等,故D正确.故选BD.
15.ABC 将几何体1与几何体2合并在一起,连接BB1,FG,PQ,EH,AC,BD,记FG∩PQ=K,易得K∈BB1,
对于A,因为在正四棱台ABCDEPHQ中,
AB∥EP,F是EP的中点,所以AB∥EF,
又N是EQ的中点,EN=2,所以EQ=4,
则EP=4,EF=2,又AB=2,所以AB=EF,
所以四边形ABFE是平行四边形,则BF=AE=2,同理B1F=B1G=BG=2,所以四边形B1FBG是边长为2的菱形,在边长为4的正方形EPHQ中,HE=4,因为F,G分别是EP,PH的中点,所以FG∥EH,FG=EH=2,所以BB1=2=2,故A正确;
对于B,因为在正四棱台ABCDEPHQ中,平面ABCD∥平面EPHQ,又平面AEHC∩平面ABCD=AC,平面AEHC∩平面EPHQ=EH,所以AC∥EH,又FG∥EH,所以FG∥AC,故B正确;
对于C,在四边形EPHQ中,由比例易得PK=PQ=,由对称性知BK=B1B=,而PB=2,所以PK2+BK2=PB2,则PK⊥BK,即PQ⊥BK,而由选项B同理可证BD∥PQ,所以BD⊥BK,因为在正方形ABCD中,BD⊥AC,而FG∥AC,所以BD⊥FG,因为BK∩FG=K,BK,FG 平面BFB1G,所以BD⊥平面BFB1G,故C正确;
对于D,由选项A易知四边形BGB1F是边长为2的正方形,上下底面也是边长为2的正方形,四边形ABFE是边长为2的菱形,其高为,所以几何体2是由4个边长为2的正方形和8个上述菱形组合而成,其表面积为4×22+8×2×=16+16,故D错误.故选ABC.
16.解析:由存在量词命题的否定是全称量词命题,可得命题“ x∈(0,+∞),ax>x2+4”的否定为“ x∈(0,+∞),ax≤x2+4”.
答案: x∈(0,+∞),ax≤x2+4
17.解析:由a⊥(λa+b),得a·(λa+b)=0,即λa2+a·b=0,而|a|=2,a·b=1,
则4λ+1=0,所以λ=-.
答案:-
18.解析:由已知,得12=4x+3y≥2,
即12≥2,
解得xy≤3(当且仅当4x=3y,即x=,y=2时,等号成立).
答案:3
19.解析:函数的定义域为R,令t=|x-1|,
则g(t)=t2-1-a(-a)只有一个零点,
且该零点为正数,g(t)=0 t2=-a2+1,
根据函数h1(t)=t2(t≥0)和h2(t)=-a2+1(t≥0)的图象及凹凸性可知,
只需满足h1(0)所以a2-a-1<0,
所以又因为a>0,
所以实数a的取值范围是(0,).
答案:(0,)
20.解:(1)样本中的女生人数为100-55=45,
高三年级中女生人数估计值为400×=180.
(2)由频率分布直方图知,样本中及格的频率为(0.02+0.04+0.02+0.01)×10=0.9,
样本中不及格的频率为1-0.9=0.1,
所以从高三年级学生中随机地抽取一人,该学生不及格的概率约为0.1.
21.(1)证明:在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,
则AA1⊥AC,AA1⊥AB,
所以点A的曲率为2π-2×-∠BAC=,
所以∠BAC=.
因为AB=AC,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB的中点,所以CN⊥AB.
又AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,
所以AA1⊥CN,
因为AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.
(2)证明:取AB1的中点D,连接DM,DN(图略).
因为N为AB的中点,所以DN∥BB1且DN=BB1.
又CM∥BB1且CM=BB1,
所以DN∥CM,且DN=CM,
所以四边形CNDM为平行四边形,则DM∥CN.
由(1)知CN⊥平面ABB1A1,则DM⊥平面ABB1A1.
又DM 平面AMB1,所以平面AMB1⊥平面ABB1A1.
(3)解:取BC的中点F,连接AF(图略),则AF⊥BC.
因为BB1⊥平面ABC,AF 平面ABC,所以BB1⊥AF,
因为BB1∩BC=B,BB1,BC 平面BB1C1C,所以AF⊥平面BB1C1C.
又B1M 平面BB1C1C,所以AF⊥B1M,过F作B1M的垂线,垂足为H,连接AH(图略),
则B1M⊥FH,又AF∩FH=F,AF,FH 平面AFH,所以B1M⊥平面AFH,
又AH 平面AFH,AH⊥B1M,
所以∠AHF为二面角AMB1C1的平面角的补角.
设B1M∩BC=E,AB=2,
则AF=,EF=1+2=3,ME=2.
由等面积法可得ME·FH=EF·CM,
则FH===,
则tan∠AHF==,故二面角AMB1C1的正切值为-.
22.解:(1)函数F(x)=ln(+a)-ln[(2-a)x+3a-3]有唯一零点,
即+a=(2-a)x+3a-3>0①有唯一实根,
即(2-a)x2+(2a-3)x-2=0有唯一实根,
当a=2时,x-2=0,解得x=2,符合题意.
当a≠2时,方程为一元二次方程,
Δ=(2a-3)2+8(2-a)=(2a-5)2,
当a=时,Δ=0,方程有两个相等的实数根x=2,符合题意;
当a≠时,Δ>0,方程有两个不等的实数根x1=2,x2=,
若x1=2为①的解,则+a=(2-a)×2+3a-3>0,解得a>-1,
若x2=为①的解,则+a=(2-a)×+3a-3>0,解得a>,
要使①有唯一实数解,则-1综上,实数a的取值范围为(-1,]∪{2,}.
(2)函数f(x)=ln(+a),其中内部函数y=+a在x∈[m,4m-1]上为减函数,外部函数y=ln x为增函数,
由复合函数性质知f(x)=ln(+a)为[m,4m-1]上的减函数,
f(x)max=f(m)=ln(+a),
f(x)min=f(4m-1)=ln(+a),
不等式|f(x1)-f(x2)|≤ln 2转化为
|f(x1)-f(x2)|max≤ln 2,
即转化为ln(+a)-ln(+a)≤ln 2,
即ln()≤ln 2 ≤2 4am2-(a+4)m+2≥0,
令g(m)=4am2-(a+4)m+2,m∈[,1],
即g(m)min≥0.
二次函数对称轴方程为m==+,
由a>0,得抛物线开口向上.
①当0解得a≥,不符合题意,舍去;
②当g(m)min=g(+)≥0,
即a2-24a+16≤0,解得12-8≤a≤12+8,
即12-8≤a<;
③当a≥时,+≤,函数g(m)在[,1]上单调递增,g(m)min=g()=4a·-(a+4)×+2≥0,解得a≥,即a≥.
综上可知,正实数a的取值范围为{a|a≥12-8}.
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选择题部分
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是( )
A.N∈M B.N M C.N M D.N M
2.已知复数z=(1-3i)(2+i),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知sin(π+α)=,则sin α等于( )
A. B.
C.- D.-
4.如图,在△ABC中,D为BC边的中点,E为AD的中点,则等于( )
A.-+ B.-
C.+ D.+
第4题图
5.某校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
A. B.
C. D.
6.如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2,O1O2⊥平面ABCD,O1O2=3,AB=5,A1B1=4,则直线O1O2与直线AA1所成角的正切值为( )
第6题图
A. B.
C. D.
7.已知a,b,m∈(0,+∞),则“a>b”是“>”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则等于( )
A.4 B.+1
C.2 D.-1
9.已知球O的表面积为16π,边长为3的等边△ABC的三个顶点都在球O的球面上,则三棱锥OABC的体积等于( )
A. B. C. D.
10.已知a=0.20.5,b=0.20.6,c=logπ0.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a11.已知函数f(x)=则下列结论错误的是( )
A.存在实数a,使函数f(x)为奇函数
B.对任意实数a和k,函数y=f(x)+k总存在零点
C.对任意实数a,函数f(x)既无最大值也无最小值
D.对于任意给定的正实数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,m)上单调递减
12.设函数f(x)=x3-3x2,则下列函数是奇函数的是( )
A.f(x+1)+2 B.f(x-1)+2 C.f(x-1)-2 D.f(x+1)-2
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得部分分,不选、错选得0分.)
13.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则( )
A.α= B.f(x)的图象经过点(1,1)
C.f(x)在[0,+∞)上单调递增 D.不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}
14.已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是( )
A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若m∥α,m∥n,则n∥α
D.若m∥n,α∥β,则m与α所成的角和n与β所成的角相等
15.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图(1),沿着BB1和DD1分别作上底面的垂面,垂面经过棱EP,PH,HQ,QE的中点F,G,M,N,则两个垂面之间的几何体2如图(2)所示,若EN=AB=EA=2,则( )
A.BB1=2
B.FG∥AC
C.BD⊥平面BFB1G
D.几何体2的表面积为16+8
非选择题部分
三、填空题(本大题共4小题,每空3分,共12分.)
16.命题“ x∈(0,+∞),ax>x2+4”的否定为 .
17.已知向量a,b满足|a|=2,a·b=1,若a⊥(λa+b),则实数λ= .
18.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为 .
19.若函数f(x)=x2-2x-a(-a)(a>0)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
20.(本小题满分11分)
某学校高三年级400名学生参加某项体育测试,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组[30,40),[40,50),…,[90,100],整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该样本中男生有55人,试估计该学校高三年级女生总人数;
(2)若规定小于60分为“不及格”,从该学校高三年级学生中随机抽取一人,估计该学生不及格的概率.
21.(本小题满分11分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为2π-3×=π.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点A的曲率为,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC.
(1)证明:CN⊥平面ABB1A1.
(2)证明:平面AMB1⊥平面ABB1A1.
(3)若AA1=2AB,求二面角AMB1C1的正切值.
22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=ln(+a)(a∈R).
(1)若函数F(x)=f(x)-ln[(2-a)x+3a-3]有唯一零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意实数m∈[,1],对任意x1,x2∈[m,4m-1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤ln 2成立,求正实数a的取值范围.
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