模拟演练(四)
1.A 集合A={x|x≥-1}表示所有不小于-1的实数组成的集合,1是集合中的元素,故1∈A.故选A.
2.C x>1,x2-1>0的否定形式是 x>1,x2-1≤0.故选C.
3.A 因为z-i=,
所以z=+i=+i=1+2i.
故选A.
4.B 因为点M(-,1)在角α的终边上,
所以tan α==-.故选B.
5.C 对于A,二次函数对称轴方程为x=1,所以y=x2-2x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故A错误;
对于B,由对数函数的单调性得,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
对于C,当x>0时,y=()x,由指数函数单调性得,y=()x在(0,+∞)上单调递减,故C正确;
对于D,因为y=x和y=-在(0,+∞)上单调递增,故y=x-在(0,+∞)上单调递增,故D错误.
故选C.
6.C 由题意得f(0)=9-02=9,f(f(0))=f(9)=log39=2.故选C.
7.C
如图,延长AG交BC于点D,因点G是△ABC的重心,
则==×(+)=+,①
因为M,G,N三点共线,则 t>0,
使=t+(1-t),
因为=x,=y,代入得,
=tx+(1-t)y,②
由①②联立,可得
消去t得(+)=1,
则x+9y=(x+9y)·(+)=(10++)≥+×2=,
当且仅当x=3y时,等号成立,
即x=,y=时,x+9y取得最小值,为.
故选C.
8.A 对于p:log2(a-1)<1=log22,
则0
对于q:3a-1<9,则a-1<2,解得a<3;
因为{a|1所以p是q的充分不必要条件.故选A.
9.A 将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中,
每个盒子中至少放入1个球,则有(红1,白红2),(白,红1红2),(红2,白红1),(白红2,红1),(白红1,红2),(红1红2,白),共6种结果,
则2个红球分别放入不同盒子中包含了(红1,白红2),(红2,白红1),(白红2,红1),(白红1,红2)4种情形,
所以由古典概型的概率计算公式得概率为.
故选A.
10.A
如图,三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱,
则设A1C1=a,BB1=h,
所以正三棱柱的侧面积为3a·h=9,
所以a·h=3,
又外接球半径R=≥=,
当且仅当=时,等号成立,
此时h=,a=,
所以外接球表面积S=4πR2≥12π.故选A.
11.B 对于①,若a∥β,a∥α,则α∥β或者α,β相交,故①错误;
对于②,由于m,n未必相交,所以不一定得到a⊥α,故②错误;
对于③,由于m⊥α,m⊥β,故α∥β,③正确;
对于④,由面面垂直的判定定理可知④正确;
对于⑤,若m α,n β,α∥β,则m∥n或者m,n异面,故⑤错误;
对于⑥,若n⊥β,m∥α,α⊥β,m∥n或m,n相交或者异面,故⑥错误.
故选B.
12.C 由h(x)=f(x)-g(x)=0,
得a(x-1)2-1=cos-2ax,
依题意,ax2+a-1=cos在(-1,1)上有解,
记F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos,
因此函数F(x),G(x)在(-1,1)上的图象有公共点,0当a≤0时,F(x)=ax2+a-1≤-1,显然函数F(x),G(x)在(-1,1)上的图象无公共点;
当a>0时,函数F(x),G(x)图象都关于y轴对称,
得即解得所以实数a的取值范围是(,2].故选C.
13.ABC 对于A,sin(α-)=-sin(-α)=-cos α,故A正确;
对于B,cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α,故B正确;
对于C,tan(-α-π)=-tan(α+π)=-tan α,故C正确;
对于D,cos(+α)=cos(2π++α)=cos(+α)=-sin α,故D错误.故选ABC.
14.AC 因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又f(-x)=log2=log2=f(x),所以f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;
因为f(2)=log2,f()=log2=log2,
又<,所以f(2)因为f(x)是偶函数,所以f(x)的最大值即为f(x)在(0,+∞)上的最大值.
当x∈(0,+∞)时,==≤==,当且仅当x=时,等号成立,所以f(x)max=log2=-,故C正确,D错误.故选AC.
15.ABC
由题意可知,当a⊥b,且c在a,b之间时,满足++=π,
如图所示,不妨令=a,=b,=c,则易知a+b=,a+b-c=-=,结合图象可知当点C在OD上时,||min=-1,当点C与点A或点B重合时,||max=1,此时,-1≤|a+b-c|≤1;
当a⊥c,且b在a,c之间时,满足++=π,如图所示,不妨令=a,=b,=c,过点O作OD∥AC,且|OD|=|AC|,连接DC,则易知四边形ODCA为平行四边形,
又易知a-c=-==,则a+b-c=a-c+b=+=,
结合图象可知当点B与点C重合时,=1,当点B与点A重合时,||max=,
此时1≤|a+b-c|≤;
当b⊥c,且a在b,c之间时,
满足++=π,
同理,有1≤|a+b-c|≤.
综上可知,-1≤|a+b-c|≤.故选ABC.
16.解析:由函数f(x)=ln(+a)是奇函数,得对于该函数定义域内实数x,恒有f(x)+f(-x)=0,
即ln+ln=0,
所以ln=0恒成立,
因此=1,则
解得a=-1.
答案:-1
17.解析:由(3a-b)⊥b,得3a·b=b2=1,
则cos==.
答案:
18.解析:令x-2=t,则t≥,x=t+2,
所以原函数可化为y===
t+≥2=2,
当且仅当t=,即t=1时,等号成立,此时x=3,
所以函数f(x)的最小值为2.
答案:2
19.解析:对于①,当M为线段BD的中点时,连接AC,CD1,如图所示,
则M为线段AC的中点,△ACD1是边长为2的正三角形,M,N两点之间距离的最小值为M到AD1的垂线段长度,此时MN=AC·sin 60°=×2×=,故①错误;
对于②,当N为线段AD1的中点时,连接MD1,B1D1,MB1,如图所示,
显然,点N到平面DD1B1B的距离为定值,△MB1D1面积为定值,
结合三棱锥体积公式可知,三棱锥NMB1D1的体积为定值,故②正确;
对于③,当N与D1重合,M与B重合时,连接AB1,B1C,AC,如图所示,
由正方体ABCDA1B1C1D1可知DD1⊥平面ABCD,AC⊥BD,因为AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,又因为BD,DD1 平面BDD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,
因为BD1 平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理,B1C⊥BD1,又因为AC,B1C 平面AB1C,AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C,即MN⊥平面AB1C,所以存在点M,N,使得MN⊥平面AB1C,故③正确;
对于④,当M为靠近点B的三等分点时,连接AM并延长交BC于点P,取CC1的中点Q,连接PQ,BC1,D1Q,如图所示,
由AB∥C1D1,AB=C1D1得四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1,AD1=BC1,
由△ADM∽△PBM可知==,
即BP=AD=BC,
所以P是BC的中点,又因为Q是CC1的中点,所以PQ=BC1=,PQ∥BC1∥AD1,所以平面D1AM截该正方体所得截面为等腰梯形APQD1,
在直角△ABP中,AP===,同理D1Q=,
所以截面的周长为AD1+D1Q+PQ+AP=2+++=2+3,
即当M为靠近点B的三等分点时,平面D1AM截该正方体所得截面的周长为2+3,故④错误.
答案:②③
20.解:(1)根据频率分布直方图得,
(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020.
由众数概念可知,众数是出现次数最多的数,
所以众数约为=75.
(2)前5个小组的频率之和是(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024)×10=0.84,
所以第90百分位数在第6小组[90,100]内,
设其为x,
则0.84+(x-90)×0.016=0.90,
解得x=93.75,
则可以估计此样本数据的第90百分位数为93.75.
21.解:(1)由(2a-c)cos B=bcos C,
根据正弦定理得,
(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
可得2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,
因为0又0(2)由(1)知,B=,且a=4,b=2,
①cos B=,即=,
解得c=-2(舍去)或c=6.故c=6.
②由(2a-c)cos B=bcos C,
得(2×4-6)×=2cos C,解得cos C=,
则sin C==,
则sin 2C=2sin C·cos C=,
cos 2C=2cos2C-1=-,
则sin(2C+B)=sin 2Ccos B+cos 2Csin B=×+(-)×=-.
22.解:(1)因为f(x)+2f(-x)=3x2+2x+3,①
则f(-x)+2f(x)=3x2-2x+3,②
故联立上述方程,解得f(x)=x2-2x+1.
(2)由(1)知f(x)=x2-2x+1,
g(x)==x+-2,
因为不等式g(log2x)-klog2x≤0在x∈[4,8]上恒成立,
所以log2x+-2-klog2x≤0在x∈[4,8]上恒成立,
设t=log2x,则t∈[2,3],
所以t+-2-kt≤0,在t∈[2,3]上恒成立,
所以k≥1+-=(-1)2,在t∈[2,3]上恒成立,
因为t∈[2,3],所以∈[,],当=时,
(-1)2取得最大值,最大值为(-1)2=,
所以若k≥1+-=(-1)2,在t∈[2,3]上恒成立,则k≥,
所以k的取值范围是[,+∞).
(3)方程2g(|ln x|)+-4m-2=0等价于
2|ln x|+-4+-4m-2=0,
即2|ln x|2-(4m+6)|ln x|+6m-5=0,
|ln x|>0,
令|ln x|=p,则方程化为2p2-(4m+6)p+(6m-5)=0(p>0),
因为方程2g(|ln x|)+-4m-2=0有四个不同的实数解,
所以2p2-(4m+6)p+(6m-5)=0(p>0),有两个不同的正根p1,p2,
记h(p)=2p2-(4m+6)p+(6m-5),
所以此时m>.
综上,m>.
故实数m的取值范围为(,+∞).
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选择题部分
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.设集合A={x|x≥-1},则下列四个关系中正确的是( )
A.1∈A B.1 A
C.{1}∈A D.1 A
2.命题“ x>1,x2-1>0”的否定形式是( )
A. x>1,x2-1≤0 B. x≤1,x2-1≤0
C. x>1,x2-1≤0 D. x≤1,x2-1≤0
3.已知复数z满足z-i=,则z等于( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
4.若点M(-,1)在角α的终边上,则tan α等于( )
A. B.- C. D.-
5.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x2-2x B.y=log2x C.y=()|x| D.y=x-
6.已知函数f(x)=则f(f(0))等于( )
A.3 B.1
C.2 D.-2
7.如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x,=y,则x+9y的最小值为( )
A. B.4
C. D.3
8.若p:log2(a-1)<1,q:3a-1<9,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中,每个盒子中至少放入1个球,则2个红球分别放入不同盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积为9,若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上,则球O的表面积的最小值为( )
A.12π B.16π
C.36π D.64π
11.设a,m,n是三条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列命题:①
α∥β;② a⊥α;③ α∥β;④ α⊥β;⑤ m∥n;⑥ m⊥n.其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.设函数f(x)=a(x-1)2-1,g(x)=cos-2ax,若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(,1]
C.(,2] D.(1,2]
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得部分分,不选、错选得0分.)
13.下列结论正确的是( )
A.sin(α-)=-cos α B.cos(α-π)=-cos α
C.tan(-α-π)=-tan α D.cos(+α)=sin α
14.已知函数f(x)=log2,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
C.f(x)的最大值为- D.f(x)无最大值
15.一般地,向量a,b的夹角可记为,已知同一个平面上的单位向量a,b,c满足++=π,则|a+b-c|的取值可以是( )
A.-1 B.1 C.2 D.+1
非选择题部分
三、填空题(本大题共4小题,每空3分,共12分.)
16.奇函数f(x)=ln(+a),则a= .
17.已知a,b是两个单位向量,若(3a-b)⊥b,则向量a,b夹角的余弦值为 .
18.函数f(x)=(x≥)的最小值为 .
19.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为线段BD,AD1上的动点,给出下列
四个
结论:
①当M为线段BD的中点时,M,N两点之间距离的最小值为;
②当N为线段AD1的中点时,三棱锥NMB1D1的体积为定值;
③存在点M,N,使得MN⊥平面AB1C;
④当M为靠近点B的三等分点时,平面D1AM截该正方体所得截面的周长为2+2+2.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题(本大题共3小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
20.(本小题满分11分)
某学校组织开展历史知识竞赛活动,以班级为单位参加比赛.现把50名学生的成绩绘制成频率分布直方图,根据图中数据回答下列问题:
(1)求a的值及这50名学生成绩的众数的估计值(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)试估计此样本数据的第90百分位数.
21.(本小题满分11分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足(2a-c)cos B=bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)设a=4,b=2.
①求c的值;
②求sin(2C+B)的值.
22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x2+2x+3,函数g(x)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若不等式g(log2x)-klog2x≤0在x∈[4,8]上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若关于x的方程2g(|ln x|)+-4m-2=0有四个不同的实数解,求实数m的取值范围.
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