模拟演练(一)
选择题部分
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},则A∩B等于( )
A.{-2,-1,0,1,3} B.{-1,1,3}
C.{1,3} D.{-2,1}
2.复数1-2i的共轭复数是( )
A.1-2i B.1+2i
C.-1+2i D.-1-2i
3.已知tan α=2,且α为第三象限角,则sin α等于( )
A.- B.- C. D.
4.函数f(x)=+lg(3x-2)的定义域为( )
A.(0,) B.(0,2] C.(,2] D.(1,2]
5.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
6.在△ABC中,b=,A=45°,C=75°,则a等于( )
A.2 B.2 C. D.1
7.抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知a=(),b=log23,c=log34,则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
9.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( )
A. B.2 C.4 D.12
10.已知在三棱锥PABC中,AC=,BC=1,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC,则其外接球体积为( )
A. B.4π
C. D.4π
11.已知定义域是R的函数f(x)满足 x∈R,f(4+x)+f(-x)=0,f(1+x)为偶函数,f(1)=1,则f(2 026)等于( )
A.1 B.-1
C.2 D.0
12.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=.面积为的平行四边形ACEF绕AC旋转,且E 平面ABCD,则( )
A.平面EFB⊥平面EFD B.平面ABF⊥平面ABC
C.平面ABF⊥平面BCF D.平面ABF⊥平面ADF
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得部分分,不选、错选得 0分.)
13.下列说法正确的是( )
A.命题“ x∈R,x2≥0”的否定是“ x∈R,x2≤0”
B.若x∈R,则“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件
C.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
D.若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B相互独立
14.已知函数f(x)=sin(2x+),则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最大值为1 D.f(x)在(-,)上单调递减
15.设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)为偶函数
B.当x∈[1,+∞)时,f(x-2)≤f(x)
C.当x∈R时,f(f(x))≤f(x)
D.当x∈[-4,4]时,≥f(x)
非选择题部分
三、填空题(本大题共4小题,每空3分,共12分.)
16.已知函数f(x)=则f(f(-1))= .
17.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=|b|=1,则向量a在向量a+b上的投影向量的模为 .
18.若函数f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点(1,3),则a= .
19.已知正数x,y满足x+y=4,若a≤+恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共37分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
20.(本小题满分11分)
某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测,统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图.
根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60 cm”的频率为0.70.
(1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值;
(2)求乙工厂频率分布直方图中a,b的值,并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数);
(3)现采用分层随机抽样的方法,从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40,50)和[70,80)内的零件3个,从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40,50)和[80,90)内的零件5个,再从抽得的8个零件中任取两个,求这两个零件的尺寸都在[40,50)内的概率.
21.(本小题满分11分)
如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,AB⊥BC,且PA=6,AB=BC=8,DF=5.
(1)求证:平面DEF⊥平面ABC;
(2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.
22.(本小题满分15分)
对于函数f(x)=ln(+a).
(1)若g(x)=f(1-x),且g(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)若方程f(x)=ln[(a-6)x+2a-8]恰有一个实根,求实数a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意b∈[,1],当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|f(x1)-f(x2)|≤ln 2,求实数a的取值范围.
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1.C
2.B 由共轭复数的定义可得,复数 1-2i的共轭复数为1+2i.故选B.
3.A 因为tan α=2,α为第三象限角,
所以解得
故选A.
4.C 要使函数有意义,需得
5.D 若01,函数f(x)为上凹的增函数,函数g(x)为增函数,故排除A项;图象可能为D.故选D.
6.B 因为A=45°,C=75°,所以B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理=,得a===2.故选B.
7.A 记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件A,抛掷两枚质地均匀的骰子,所有可能结果有6×6=36(个),其中事件A包含的结果有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)共9个,所以P(A)==.
故选A.
8.A 因为0<()<()0=1,所以0因为=log2=log2所以因为1=log33所以1所以b>c>a.故选A.
9.B 因为a=(2,0),|b|=1,所以|a|=2,因为向量a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos 60°=2×1×=1,
所以|a+2b|===2.故选B.
10.A AB==,
设PB=h,则由PA=2PB,
可得=2h,解得h=1,
可将三棱锥PABC还原成如图所示的长方体,
则三棱锥PABC的外接球即为长方体的外接球,
设外接球的半径为R,
则2R==2,R=1,
所以其外接球的体积V=R3=.故选A.
11.D 因为f(1+x)为偶函数,
所以f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(2-x)=f(x),
又因为f(4+x)+f(-x)=0,
所以f(2+x)=-f(2-x),
所以f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
故f(x)的一个周期为4,
所以f(2 026)=f(2).
由f(2+x)=-f(2-x)可得,f(2)=0,
所以f(2 026)=0.故选D.
12.A 如图,过D作直线DM∥AC,
因为在矩形ABCD中,AB=1,BC=,所以AC=2.
又平行四边形ACEF的面积为,所以平行四边形ACEF的高为,
又在△ADC中,设D到AC高为h,
所以AC·h=AD·DC,
所以×2×h=×1×,
解得h=,
所以平行四边形ACEF绕AC旋转时,会经过点B,D,形成如图所示半圆,
由旋转体的性质可知,AC⊥平面BNM,
所以EF⊥平面BNM,
又BN 平面BNM,所以EF⊥BN.
又在半圆中,BM为直径,
所以BN⊥NM,
又EF∩NM=N,EF 平面EFD,NM 平面EFD,所以BN⊥平面DEF,
又BN 平面EFB,所以平面EFB⊥平面EFD,
故选A.
13.BD 对于A,命题“ x∈R,x2≥0”的否定是“ x∈R,x2<0”,A错误;
对于B,由x2=1,可得x=±1,
所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,B正确;
对于C,若事件A,B不互斥,但恰好P(A)=P(B)=0.5,满足P(A)+P(B)=1,但不对立,C错误;
对于D,满足独立事件的判断公式,D正确.故选BD.
14.BC 对于A,由于f(0)=sin=≠0,
f(x)不为奇函数,故A错误;
对于B,f(x)的最小正周期为=π,故B正确;
对于C,显然f(x)的最大值为1,故C正确;
对于D,当x∈(-,)时,2x+∈(-,),
由复合函数单调性、正弦函数单调性可知f(x)在(-,)上单调递增,故D错误.
故选BC.
15.ABC 由题设,f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|}=
所以其函数图象如图所示.
由图知,f(x)为偶函数,A正确;
当x=1时,f(-1)=f(1);
当x∈(1,2)时,f(x-2)当x=2时,f(0)=f(2);
当x∈(2,3)时,f(x-2)当x=3时,f(1)=f(3);
当x∈(3,+∞)时,f(x-2)当x∈{0,1,2,3}时,f(f(x))=f(x);
当x∈(0,1)时,0易知f(f(x))=f2(x)当x∈(1,2)时,0当x∈(2,3)时,0均有0<|x-2|<1,
则f(f(x))=(x-2)2当x∈(3,+∞)时,1则f(f(x))=||x-2|-2|所以f(f(x))≤f(x)在x∈[0,+∞)上恒成立,根据偶函数的对称性,在(-∞,0)上f(f(x))≤f(x)也成立,故C正确;
在x∈[-4,4]上,当x=4时,|f(4)-2|=|2-2|=016.解析:因为f(-1)=2-(-1)=2,
所以f(f(-1))=f(2)=.
答案:
17.解析:a·b=|a|·|b|cos 60°=1×1×=,
(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,
故|a+b|=,
向量a在向量a+b上的投影向量的模为===.
答案:
18.解析:因为函数f(x)=log a(x+1)(a>0,a≠1)的反函数图象经过点(1,3),由函数与其反函数的图象关于直线y=x对称可知,设点(1,3)关于直线y=x对称的点为(x0,y0),即得则函数f(x)的图象经过点(3,1),即1=loga4,解得a=4.
答案:4
19.解析:已知正数x,y满足x+y=4,
所以(x+1)+(y+2)=7,所以+=1,
则+=+=+=x+1-2++y+2-4+=++1=
(+)·(+)+1=++++1≥+2=,当且仅当=时,等号成立;要使a≤+恒成立,只需满足a≤(+)min即可,
故a≤.
答案:(-∞,]
20.解:(1)由频率分布直方图可知,甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.1+85×0.05=55.5(cm).
(2)因为“乙工厂生产的零件尺寸不低于60 cm”的频率为0.70,
即(a+0.02+0.015)×10=0.7,解得a=0.035,
再由频率分布直方图的性质可知
(0.005+b+0.015+0.035+0.02+0.015)×10=1,
解得b=0.01,
因为(0.005+0.01+0.015)×10=0.3<0.5,
(0.005+0.01+0.015+0.035)×10=0.65>0.5,
所以中位数位于[60,70)之间,
设中位数为x,则(0.005+0.01+0.015)×10+(x-60)×0.035=0.5,
解得x≈65.71.
即乙工厂被测零件尺寸的中位数为65.71.
(3)由分层随机抽样可知,从甲工厂抽取尺寸在[40,50)内的零件为×3=2(个),
则从甲工厂抽取尺寸在[70,80)内的零件为3-2=1(个),
从乙工厂抽取尺寸在[40,50)内的零件为×5=2(个),则从乙工厂抽取尺寸在[80,90)内的零件为5-2=3(个),
所以抽得的8个零件中[40,50)的个数为4,记为A,B,C,D,另外4个零件记为a,b,c,d,
设事件E为抽取的两个零件的尺寸都在[40,50)内,
所有情况为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),
(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),(D,a),(D,b),(D,c),(D,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),
(c,d),共28种,其中满足条件的为(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种,则P(E)==.
所以抽取的两个零件的尺寸都在[40,50)内的概率为.
21.(1)证明:因为D,E分别为PC,AC的中点,
所以DE为△PAC的中位线,
所以DE∥PA,且DE=PA=3,
因为PA⊥AC,所以DE⊥AC,
又F为AB的中点,
所以EF为△ABC的中位线,
所以EF=BC=4,又DF=5,
所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,
又EF∩AC=E,EF,AC 平面ABC,所以DE⊥平面ABC,
又DE 平面DEF,
所以平面DEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知DE⊥平面ABC,
又DE 平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
又PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC.
因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.
又平面PAC∩平面ABC=AC,
所以BE⊥平面PAC,
连接PE,
所以∠BPE为直线PB与平面PAC所成角,
在Rt△BEP中,PB==10,
BE=AB·sin 45°=4,
所以sin∠BPE==.
22.解:(1)因为f(x)=ln(+a),所以g(x)=f(1-x)=ln(+a)=ln,又g(x)为奇函数,
所以g(x)+g(-x)=ln+ln=ln=0,
所以(2+a)2-1+(1-a2)x2=0,对定义域内任意x恒成立,所以解得a=-1,
此时g(x)=ln,定义域为(-1,1)符合奇函数的条件,所以a=-1.
(2)方程ln(+a)=ln[(a-6)x+2a-8],
所以
由①可得,(a-6)x2+(a-8)x-2=0,
即[(a-6)x-2](x+1)=0,
当a=6时,方程有唯一解x=-1,
满足②+a=-2+6>0,
所以a=6符合条件;
当a=4时,方程有两相等解x==-1,
满足②+a=-2+4>0,
所以a=4符合条件;
当a≠4且a≠6时,方程有两不等解
x1=,x2=-1,
若x1=满足②+a=2a-6>0,则a>3,
若x2=-1满足②+a=a-2>0,
则a>2,
所以当a∈(2,3]时,方程恰有一个实根.
综上,实数a的取值范围为(2,3]∪{4,6}.
(3)令t=+a,则t=+a在(0,+∞)上为减函数,y=ln t在(a,+∞)上为增函数,
所以函数f(x)=ln(+a)在[b,b+1]上为减函数,
当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|f(x1)-f(x2)|≤ln 2,
则f(x)max-f(x)min=f(b)-f(b+1)=ln(+a)-ln(+a)≤ln 2,
所以+a≤2(+a),
即ab2+(a+2)b-2≥0对任意的b∈[,1]恒成立,
设h(b)=ab2+(a+2)b-2,
又a>0,
所以函数h(b)=ab2+(a+2)b-2在[,1]上单调递增,所以h(b)min=h()=+-2≥0,
所以a≥.
所以实数a的取值范围为[,+∞).
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