第6讲 指数与指数函数
一、单选题
1.不等式3x>9的解集为( )
A.(-∞,2) B.(-∞,3)
C.(2,+∞) D.(3,+∞)
2.函数f(x)=2x-2的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知a=31.2,b=1.20,c=()-0.9,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
C.c4.函数f(x)=5-x在区间[-3,-2]上的最大值是( )
A.125 B.25 C. D.
5.已知函数f(x)=3x(x∈R),g(x)=()x(x∈R),则函数f(x)的图象和g(x)的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
6.函数y=2x-1-2(x≤2)的值域为( )
A.(-,+∞) B.(-∞,0]
C.(-2,0] D.(-∞,-)
7.已知+=3,则x2+x-2的值是( )
A.47 B.45 C.50 D.35
8.设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也称取整函数,例如:[-1.3]=-2,[3.4]=3.已知f(x)=-,则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
10.f(x)=2x-2-x+1,若f(a2)+f(a-2)>2,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
11.已知函数f(x)=x2+2x+1-2x,则y=f(x)的图象大致为( )
12.若函数f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x-2,则不等式f(x-1)≥2f(x)的解集为( )
A.(-∞,0] B.(-∞,log2]
C.(-∞,log2] D.[0,1)
二、多选题
13.下列各式中成立的是( )
A.=-
B.()=
C.()7=b7(其中a>0,b>0)
D.=1+
14.已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(-3)>f(2)
C.f(2x)=2f(x)g(x)
D.[g(x)]2-[f(x)]2=1
15.已知函数f(x)=x2-2x+2|x-1|+a(a∈R),则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在(1,+∞)上单调递减
B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C.存在实数a,使得函数f(x)有三个不同的零点
D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞)
三、填空题
16.函数y=ax+2-2(a>0,且a≠1)恒过的定点坐标为 ,值域为 .
17.已知定义在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件:
① x1,x2∈R,f(x1+x2)=f(x1)f(x2);② x1,x2∈R,<0.
试给出函数f(x)的一个解析式:f(x)= .
18.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=为奇函数,则a= .
19.已知f(x)=x2-2x,g(x)=2x-a, x1∈[-1,2], x2∈[0,1],使得f(x1)≤g(x2),则a的取值范围是 .
四、解答题
20.计算:(1)()-2+(-1)0-+02;
(2)1.×(-)0+×+(×)6-.
21.已知定义在R上的函数f(x)=m·4x-2x+1+1-m(m∈R).
(1)当m=1时,求f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的定义域内存在x0,使得 g(a+x0)+g(a-x0)=2b成立,则称g(x)为局部对称函数,其中(a,b)为函数g(x)的局部对称点.若(1,0)是f(x)的局部对称点,求实数m的取值范围.
22.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)判断f(x)的单调性.
(3)若存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,求实数k的取值范围.
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第6讲 指数与指数
函数
1.指数及指数运算
(1)根式的定义
(2)根式的性质
当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.
(3)指数的概念
指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘.
②零指数幂a0=1(a≠0);
④0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.
(5)有理数指数幂的性质
①aman=am+n(a>0,m,n∈Q);
②(am)n=amn(a>0,m,n∈Q);
③(ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q);
注意
③负数没有偶次方根.
④零的任何次方根都是零.
⑤遇到多重根号问题,需要先写成指数形式:
2.指数函数的定义及图象
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量.
定义域 R
值域 (0,+∞)
性质 a0=1,即x=0时,y=1,图象都经过定点(0,1)
a1=a,即x=1时,y等于底数a
在定义域上是减函数 在定义域上是增函数
当x<0时,ax>1;
当x>0时,0当x>0时,ax>1
既不是奇函数,也不是偶函数
(1)当底数大小不确定时,必须分“a>1”和“0(2)当0当a>1时,x→-∞,y→0,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度
越快.
(5)指数式大小比较方法
①单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.
②中间量法:当指数式的底数和指数各不相同时,需要借助中间量“0”和“1”作比较.
③分类讨论法:指数式的底数不定时,需要分类讨论底数的情况,再利用指数函数的单调性进行比较.
④比较法:有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:
a.若A-B>0 A>B;若A-B<0 A考点一 指数幂的运算
[例1] (1)已知2m=3,2n=5,则2m+n的值为( )
√
解析:(1)2m+n=2m·2n=3×5=15.故选D.
√
(2)(多选题)下列计算正确的是( )
√
(3)已知2x+y=2,则4x+2y的最小值为 .
4
总结提醒
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负数指数幂化成正数指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象与性质
[例2] (1)(2024·浙江7月学考)函数f(x)=2x+1的值域是( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
√
解析:(1)由题意可得,y=2x的值域是(0,+∞),
即2x>0,可得f(x)=2x+1>1,
所以f(x)=2x+1的值域是(1,+∞).
故选C.
√
√
(4)“a+1>b”是“3a+2a>3b+2b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:(4)当a=b=0时,a+1>b,3a+2a=3b+2b,
故充分性不成立,
因为y=3x,y=2x都是增函数,所以函数y=3x+2x为增函数,
因为3a+2a>3b+2b,所以a>b,此时a+1>b,故必要性成立,
所以“a+1>b”是“3a+2a>3b+2b”的必要不充分条件.故选B.
(5)已知函数f(x)=e|x-1|+x2-2x,则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是 .
总结提醒
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
考点三 指数函数的综合问题
解:(1)①由指数函数单调性可知y=3x-1单调递增,
对b分类讨论如下:
当b=0时,f(x)为常函数;
当b>0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递减;
当b<0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递增.
②若函数f(x)在其定义域内为奇函数,求a与b的关系式;
③在②的条件下,当a=1时,不等式f(x)≥k·3-x在x∈(0,+∞)时恒成立,求k的取值范围.
(2)设函数f(x)=kax-2a-x(a>0,a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R的奇函数.
①确定k的值;
解:(2)①因为f(x)=kax-2a-x是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=ka0-2a0=k-2=0,解得 k=2.经检验,满足题意.
②若f(1)=3,函数g(x)=a2x+a-2x-2f(x),x∈[0,2],求g(x)的最小值;
③若a=3,是否存在正整数λ,使得2f(2x)≤(λ+1)f(x)对x∈
[-2,-1]恒成立 若存在,请求出所有的正整数λ;若不存在,请说明理由.
解:③由题意2f(2x)≤(λ+1)f(x),
又a=3,所以 λ∈N+,使得4(32x-3-2x)≤2(λ+1)(3x-3-x)在x∈
[-2,-1]上恒成立,
所以4(3x+3-x)(3x-3-x)≤2(λ+1)(3x-3-x),
当x∈[-2,-1]时,3x<3-x,
总结提醒
不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化
一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d].
(1)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],总有f(x1)g(x2)min.
(2)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)(3)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)(4)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2),则f(x1)的值域是g(x2)值域的子集 .第6讲 指数与指数函数
1.C 因为3x>9=32,又函数y=3x是R上的增函数,
所以x>2,
所以不等式3x>9的解集为(2,+∞).
故选C.
2.A 函数f(x)=2x-2是R上的增函数,
且f(1)=2-2=0,
所以函数f(x)=2x-2只有一个零点.
故选A.
3.D 因为b=1.20=1,c=()-0.9=30.9,
且y=3x为增函数,1.2>0.9>0,
所以31.2>30.9>30=1,即a>c>b.故选D.
4.A 函数f(x)=5-x=()x是R上的减函数,
所以当x∈[-3,-2]时,
f(x)max=f(-3)=()-3=125.故选A.
5.B 在f(x)=3x(x∈R)的图象上任取一点(a,b),
则3a=b,
因为g(-a)=()-a=3-1×(-a)=3a=b,
所以点(-a,b)在g(x)=()x(x∈R)的图象上,
则函数f(x)的图象和g(x)的图象关于y轴对称.
故选B.
6.C 因为x≤2,可知x-1≤1,
而函数y=2x在R上是增函数,故有0<2x-1≤21=2,
所以-2故选C.
7.A 因为+=3,所以(+)2=x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,
所以(x+x-1)2=x2+x-2+2=49,
所以x2+x-2=47.故选A.
8.D 函数y=2x在R上是增函数,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,
则函数y=x(x-a)=(x-)2-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,
所以a的取值范围是[2,+∞).故选D.
9.B 因为3x+1>1,所以0<<1,则-<-<,所以函数f(x)的值域为(-,),故y=[f(x)]的值域为{-1,0}.故选B.
10.C 令g(x)=2x-2-x,定义域为R,且g(-x)=-g(x),
所以函数g(x)是奇函数,且是增函数,
因为f(x)=g(x)+1,f(a2)+f(a-2)>2,
则g(a2)+g(a-2)>0,即g(a2)>-g(a-2),
又因为g(x)是奇函数,
所以g(a2)>g(2-a),
又因为g(x)是增函数,所以a2>2-a,
解得a<-2或a>1,
故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).故选C.
11.C 因为f(x)=(x+1)2-2x,
所以f(0)=0,f(2)=32-22=5>0,排除A选项,
f(6)=72-26<0,排除D选项,f(-)=-=-<0,排除B选项.故选C.
12.B 因为函数f(x)为定义在R上的偶函数,令x<0,
则-x>0,则f(-x)=2-x-2=f(x),
所以当x<0时,f(x)=2-x-2,
所以f(x)=2|x|-2,
所以不等式f(x-1)≥2f(x) 2|x-1|-2≥2(2|x|-2),
即2|x-1|-2|x|+1+2≥0,
当0令t=2x,t∈(1,2),
则t-1-≤0,即t2-t-1≤0,
解得1当x≥1时,2|x-1|-2|x|+1+2≥0 2x-1-2x+1+2≥0,
即2x≤,不成立.
当x≤0时,2|x-1|-2|x|+1+2≥0 2-x+1-2-x+1+2≥0,即2≥0,恒成立.
综上,不等式f(x-1)≥2f(x)的解集为(-∞,log2].故选B.
13.BD 对于A,====,故错误;
对于B,()=()=[()3]=,故正确;
对于C,()7==b7a-7,故错误;
对于D,==1+,故正确.故选BD.
14.ACD f(x)=,定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)==-f(x),故A正确;
f(x)=在R上单调递增,所以f(-3)f(2x)==2··=2f(x)g(x),故C正确;
[g(x)]2-[f(x)]2=()2-()2=1,故D正确.故选ACD.
15.BD a∈R,函数f(x)=(x-1)2+2|x-1|+a-1的定义域为R,对于A,当x>1时,f(x)=(x-1)2+2x-1+a-1,而y=(x-1)2+a-1,y=2x-1在(1,+∞)上都单调递增,因此函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,A错误;对于B,因为f(2-x)=(1-x)2+2|1-x|+a-1=f(x),因此函数f(x)的图象关于直线x=1对称,B正确;对于C,对任意实数a,由选项A的分析知,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则函数f(x)在(1,+∞)上最多有一个零点,由对称性知,函数f(x)在(-∞,1]上最多一个零点,因此函数f(x)在R上最多两个零点,C错误;
对于D,当a=-2时,f(x)=(x-1)2+2|x-1|-3≥5,而f(-1)=f(3)=5,由对称性及选项A的分析知,f(x)在(-∞,1]上单调递减,当x≤1时,得x≤-1,当x>1时,得x≥3,即f(x)≥5的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞),所以存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞),D正确.故选BD.
16.解析:令x+2=0,解得x=-2,此时y=1-2=-1,故函数y=ax+2-2(a>0,且a≠1)恒过定点(-2,-1).指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),将指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,便得到函数y=ax+2-2(a>0,且a≠1)的图象,所以函数y=ax+2-2(a>0,且a≠1)的值域为(-2,+∞).
答案:(-2,-1) (-2,+∞)
17.解析:根据指数函数的性质=,可知指数函数满足①;
由②可知,函数为R上的减函数.
所以可取f(x)=ax(0答案:0.5x(答案不唯一)
18.解析:已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=为奇函数,则有f(-x)=-f(x),
即=-,化简得=2x,
所以a=4.
答案:4
19.解析:由题意, x1∈[-1,2], x2∈[0,1],
使得f(x1)≤g(x2),可转化为f(x1)min≤g(x2)max,
当x1∈[-1,2]时,f(x)=x2-2x为对称轴为直线x=1的开口方向向上的二次函数,因此f(x1)min=f(1)=-1;
当x2∈[0,1]时,g(x)=2x-a单调递增,
因此=g(1)=2-a.
所以f(x1)min≤g(x2)max -1≤2-a,所以a≤3.
答案:(-∞,3]
20.解:(1)原式=4+1-(-5)+0=5+5=10.
(2)1.×(-)0+×+(×)6-=()×1+×+22×33-()=()+2+108-()=110.
21.解:(1)当m=1时,f(x)=4x-2x+1=(2x)2-2·2x=(2x-1)2-1,
由于2x>0,所以f(x)=(2x-1)2-1≥-1,
当2x=1,x=0时,等号成立,
所以f(x)的值域为[-1,+∞).
(2)依题意,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
f(x)=m·4x-2x+1+1-m=m·(2x)2-2·2x+1-m,
当x>1时,令t=2x>2,
则y=mt2-2t+1-m,①
当m=0时,y=-2t+1在(2,+∞)上单调递减,
即f(x)在(1,+∞)上单调递减,不符合题意.
当m>0时,①式的对称轴为直线t=-=>0,
要使f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则y=mt2-2t+1-m在(2,+∞)上单调递增,
所以解得m≥.
当m<0时,①式的对称轴为直线t=-=<0,
函数y=mt2-2t+1-m的开口向下,在区间(2,+∞)上单调递减,不符合题意.
综上所述,m的取值范围是[,+∞).
(3)根据局部对称函数的定义可知, x∈R,
f(1+x)+f(1-x)=0,
即m·41+x-21+x+1+1-m+m·41-x-21-x+1+1-m=0,
4m·4x+4m·4-x-2m-4·2x-4·2-x+2=0,
2m·4x+2m·4-x-m-2·2x-2·2-x+1=0,
m=,令s=2·2x+2·2-x-1≥
2-1=3,
当且仅当2·2x=2·2-x,即x=0时,等号成立,
则s2=4·4x+4·4-x+1+2(4-2·2x-2·2-x)=4·4x+4·4-x+9-4·2x-4·2-x
=4·4x+4·4-x-2·(2·2x+2·2-x-1)+7
=4·4x+4·4-x-2s+7,
所以2·4x+2·4-x-1=,
则m===,
函数y=s-+2在区间[3,+∞)上单调递增,
所以y=s-+2≥3-+2=2,
所以m=∈(0,1],
所以m的取值范围是(0,1].
22.解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,即=0,所以a=1,
又因为f(-x)=-f(x),
所以=-,
将a=1代入,整理得=,
当x≠0时,有b·2x+1=b+2x,
即(b-1)(2x-1)=0,
又因为当x≠0时,有2x-1≠0,
所以b-1=0,所以b=1.
经检验符合题意,所以a=1,b=1.
(2)由(1)知,函数f(x)===-1+,
因为y=1+2x为增函数,且1+2x>0,
所以函数f(x)是减函数.
(3)因为存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,且函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以不等式可转化为f(k+t2)又因为函数f(x)是减函数,
所以k+t2>2t2-4t,
所以k>t2-4t,
令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,
由题意可知,问题等价转化为k>g(t)min,t∈[0,4],
又因为g(t)min=g(2)=-4,
所以k>-4,
即实数k的取值范围为(-4,+∞).