主题二 函 数
第4讲 函数概念及其表示
一、单选题
1.已知y与x成反比例函数,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数解析式为( )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
2.已知函数f(x)=x2-3x,则f(1)等于( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
3.函数f(x)=的定义域为( )
A.[,+∞)
B.(-∞,]
C.(-∞,3)∪(3,+∞)
D.(3,+∞)
4.已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},则A∩B等于( )
A.[0,+∞) B.
C.R D.(0,+∞)
5.已知函数f(x)=则f(f(-1))等于( )
A.0 B. C.4 D.
6.已知f(+1)=x+2,则f(x)等于( )
A.x2-1(x≥0) B.+1(x≥1)
C.x2-1(x≥1) D.-1(x≥0)
7.函数f(x)=的值域是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,+∞)
D.(-∞,1)∪(1,+∞)
8.已知函数f(x)=+1,g(x)=f(x-2)+1,则不等式f(x)
A.(-∞,1) B.(1,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
9.函数y=的图象如图所示,可以判断a,b,c分别满足( )
A.a<0,b>0,c=0
B.a>0,b>0,c=0
C.a<0,b=0,c>0
D.a<0,b=0,c=0
10.已知函数f(x)=若f(x+a)≥f(x)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-,+∞) B.(-∞,-]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
11.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称.现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
12.取整函数:[x]=不超过x的最大整数,如[-2.6]=-3,[3.5]=3,已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]的值域是( )
A.{-1,0,1} B.{0,1,2}
C.{0,1} D.{-1,0,1,2}
二、多选题
13.下列各组函数不能表示同一个函数的是( )
A.f(x)=与g(x)=x
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
D.f(x)=·与g(x)=
14.已知函数f(x)=则( )
A.f(f())=3
B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3
C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)
D.若 x∈R,a>f(x),则a≥3
15.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
A.y=
B.y=(x∈(0,+∞))
C.y=
D.y=
三、填空题
16.设函数f(x)=,g(x)=,则函数 f(x)·g(x)= .
17.若函数f(x)满足f(x)+2f()=3x,则f(3)= .
18.已知函数f(x)的定义域为(1,3),则函数g(x)=的定义域为 .
19.已知函数f(x)=则f(3)+f(4)= .
四、解答题
20.已知函数f(x)=+ .
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求f(-2)+f()的值;
(3)当a>6时,求f(a+1)的值.
21.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.
(1)请在以下网格中画出函数f(x)的图象;
(2)求不等式f(x)≥-1的解集.
22.已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)=·[f2(x)-2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最大值g(a);
(3)对(2)中g(a),若-m2+2tm+≤g(a)对任意a<0及t∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值
范围.
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1.C
2.A 因为函数f(x)=x2-3x,
所以f(1)=12-3×1=1-3=-2.故选A.
3.A 由2x-3≥0,得x≥,所以函数f(x)的定义域为[,+∞).故选A.
4.A A={x|y=x2}=(-∞,+∞),B={y|y=x2}=[0,+∞),A∩B=[0,+∞).故选A.
5.A 因为f(x)=f(-1)=2,
所以f(f(-1))=f(2)=2-2=0.故选A.
6.C 令t=+1,则x=(t-1)2, 且t≥1,
可得f(t)=(t-1)2+2=t2-1,t≥1,
所以f(x)=x2-1,x≥1.故选C.
7.D 解析f(x)===1-,
因为≠0,所以1-≠1,
从而可知函数f(x)=的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).故选D.
8.A 由题知f(x)=+1=
g(x)=f(x-2)+1=在同一直角坐标系下画出f(x),g(x)的图象.
由图可知f(x)9.A 函数y=的定义域为{x|x≠b,x≠c}.
①当b=0,c>0时,y=,当x∈(0,c)时,y与 a同号,当x∈(c,+∞)时,y与a同号,与图中信息矛盾;
②当b>0,c=0时,y=,由图可得,
当x∈(b,+∞)时,y<0,所以a<0,
然后可验证当b>0,c=0,a<0时,图中信息都满足.故选A.
10.B 在同一坐标系内作出y=f(x)与y=f(x+a)的图象,当射线y=-x-a+1与曲线y=-x2+4x-3(x>2)相切时,即方程x2-5x+4-a=0时,由Δ=25-4(4-a)=0,解得a=-,结合图象可得a≤-时,f(x+a)≥f(x)恒成立,所以a的取值范围是(-∞,-].故选B.
11.A 设经过两次平移后所得图象对应的函数为h(x),
由图象可知,当-2≤x≤0时,函数图象过(-2,0),(0,1),可得h(x)=+1,
当0≤x≤1时,函数图象过(0,1),(1,3),
可得h(x)=2x+1,所以h(x)=
因为y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度得h(x)的图象,
所以把h(x)右移2个单位长度,下移1个单位长度可得g(x),
即g(x)=h(x-2)-1==
又因为函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x对称,所以当-1≤x≤0时,x=-1得y=2x+2,即f(x)=2x+2,当012.A f(x)=-=-=+,
当x=0时,f(x)=,则[f(x)]=0,
当x≠0时,f(x)=+=+,
当x>0时,x+≥2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,则0<≤1,所以当x<0时,x+=-(-x+)≤-2·=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,则-1≤<0,
所以-≤f(x)<,
此时函数y=[f(x)]的值域为{-1,0}.
综上所述,函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.故选A.
13.ABD A中f(x)=|x|=-x(注意到x≤0),所以与g(x)不是同一个函数,而B,D选项中函数定义域均不同,对于C,定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数.故选ABD.
14.BCD 对于A,因为f()=-()2+3=0,
所以f(f())=f(0)=2,所以A错误;对于B,
当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3,当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,x2=4,解得x=2或x=-2(舍去),综上,x=2或x=-3,所以B正确;对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,解得x<0,当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1,综上,f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正确;对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3),因为 x∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确.故选BCD.
15.CD 对于A,因为y===|x-1|≥0,值域为[0,+∞),所以A不正确;
对于B,因为y==1+,值域为(1,2),所以B不正确;
对于C,因为y==>0,值域为(0,+∞),所以C正确;
对于D,因为y=>0,值域为(0,+∞),所以D正确.故选CD.
16.,x∈(1,2)∪(2,+∞)
17.解析:因为f(x)+2f()=3x,①
所以f()+2f(x)=,②
②×2-①,得f(x)=-x,
所以f(3)=-3=-.
答案:-
18.解析:依题意,解得1所以函数g(x)的定义域为(1,2).
答案:(1,2)
19.解析:因为f(3)=f(9)=27+1=28,f(4)=3×4+1=13,所以f(3)+f(4)=41.
答案:41
20.解:(1)若使函数有意义,需解得x≤-2或x≥2,且x≠7,故函数f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[2,7)∪(7,+∞).
(2)因为f(-2)=-,f()=-=,
所以f(-2)+f()=-+=.
(3)因为a>6,所以f(a+1)有意义,所以f(a+1)=+.
21.解:(1)用分段函数表示得,f(x)=|x+1|-2|x|=画出图象如图所示.
(2)令f(x)=-1,解得x1=-,x2=2,根据图象可得f(x)≥-1 的解集为{x|-≤x≤2}.
22.解:(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为[-1,1],
又f2(x)=2+2,1-x2∈[0,1],2∈[0,2],所以f2(x)=2+2∈[2,4],由f(x)≥0得值域为[,2].
(2)因为F(x)=·[f2(x)-2]+f(x)=a++,
令t=f(x)=+,
则=t2-1,
所以F(x)=m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,
t∈[,2],
由题意知F(x)在a<0时的最大值即为函数m(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.
①若-∈(0,],即a≤-,
则g(a)=m()=;
②若-∈(,2],即-则g(a)=m(-)=-a-;
③若-∈(2,+∞),即-则g(a)=m(2)=a+2.
综上,g(a)=
(3)易得g(a)min=,由-m2+2tm+≤g(a)对a<0恒成立,即要使-m2+2tm+≤g(a)min=恒成立,
令h(t)=-2tm+m2,对任意的t∈[-1,1],h(t)≥0成立,
只需则m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(共44张PPT)
主题二 函 数
【学业要求】
能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度,理解函数的意义与数学表达;理解函数符号表达与抽象定义之间的关联,知道函数抽象概念的意义.
能够理解函数的单调性、最大(小)值,了解函数的奇偶性、周期性;掌握一些基本函数类(一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的背景、概念和性质.
能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题;能够从函数观点认识方程,并运用函数的性质求方程的近似解;能够从函数观点认识不等式,并运用函数的性质解不等式.
重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.
第4讲 函数概念
及其表示
1.函数的概念
(1)一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域,记为D,集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数的值域,记为C.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法:函数书写方式为y=f(x),x∈D.
(4)函数三要素:定义域、值域、对应关系.
(5)同一个函数:两个函数只有在定义域和对应关系都相同时,两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
(1)分式中的分母不为0;
(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于0;
(3)零指数幂的底数不为0;
(4)指数式的底数大于0且不等于1;
(5)对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0;
定义域需用区间或集合的形式写出.
注意
3.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.
4.函数值域的常规求法
(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);
5.分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论,根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同,然后分别解决,即分段函数问题,分段解决.
考点一 函数的概念
[例1] (1)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
√
√
总结提醒
抓住函数的概念中“非空数集”“任意”“唯一”这些关键词.
考点二 函数的定义域与值域
√
(2)(2020·浙江7月学考)函数f(x)=2x的值域是( )
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,+∞)
√
解析:(2)B 函数f(x)=2x的值域是(0,+∞).故选B.
√
(4)(多选题)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
√
√
√
总结提醒
(1)求函数定义域的类型及方法
①已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
②对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)
求解.
③若已知f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义域可由a≤
g(x)≤b求出;若已知f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(2)求函数值域的几种方法
函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样,因此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适当,能起到事半功倍的作用.求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法、判别式法、数形结合法等.
考点三 函数的解析式
[例3] (1)已知f(x-1)=2x2,若f(a)=2,则a= .
解析:(1)由已知f(x-1)=2(x-1)2+4(x-1)+2,所以f(x)=2x2+4x+2,
此时f(a)=2a2+4a+2=2,
解得a=0或a=-2.
0或-2
(2)已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为
.
3x2-6x+5,x∈[1,+∞)
(4)若f(x)+2f(-x)=3x+2,则f(x)= .
总结提醒
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(4)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.
考点四 分段函数
[例4] (1)(2024·浙江7月学考)甲某全年交税额为5 617.19元,则他的交税等级为( )
级数 全年应纳税所得额 税率% 速算扣除数
1 不超过36 000元的 3 0
2 超过36 000元至144 000 元的部分 10 2 520
3 超过144 000元至300 000 元的部分 20 16 920
4 超过300 000元至420 000 元的部分 25 31 920
5 超过420 000元至660 000 元的部分 30 52 920
6 超过660 000元至960 000 元的部分 35 85 920
7 超过960 000元的部分 45 181 920
A.1 B.2 C.3 D.4
√
√
√
√
4
2
(4)解析:f(-1)=-1+5=4,
f(f(-1))=f(4)=log24=2.
(6)已知[x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x].请画出函数f(x)的图象,并求出函数的定义域和值域.
(6)解:由题意知,对任意的实数x,若存在整数k,满足k≤x由图可知,函数的图象在每个单位区间[k,k+1)内是一条射线,由图可知,y∈[0,1),故函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1).
总结提醒
(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
(3)当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.
(4)分段函数问题常先利用图象观察,数形结合解题.
考点五 抽象函数
[例5] (1)(2024·浙江7月学考)若f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,
f(1)=1,则f(-20)等于( )
A.55 B.190
C.210 D.231
√
(2)在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时.f(x)=
x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)= .
总结提醒
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的函数.
抽象函数问题综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其变现形式抽象性和多变性,有一定的难度.
常用解题策略:(1)赋值、迭代是求解抽象函数的基本方法.(2)提炼性质,对抽象函数进行具体模型的匹配.