第5讲 函数基本性质
一、单选题
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.[a,b]是函数f(x)的单调递增区间
B.[b,c]是函数f(x)的单调递减区间
C.函数f(x)在[a,b]∪[c,d]上单调递增
D.函数f(x)在[b,0)∪(0,c]上单调递减
2.函数y=-2x的值域为( )
A.(-∞,0) B.(-∞,0]
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
3.已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
A. B.3 C.4 D.5
4.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= B.y=x3
C.y= D.y=x2
5.已知函数f(x)=则f(99)等于( )
A. B.9 C.3 D.
6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则f(-1)等于( )
A.e-1-1 B.1-e-1
C.1-e D.e-1
7.已知函数f(x)=则函数y=-f(1-x)的大致图象是( )
8.已知函数f(x)=2x+(x∈R),则f(x)的图象( )
A.关于直线x=1对称
B.关于点(1,0)对称
C.关于直线x=0对称
D.关于原点对称
9.若f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x2-m,则f()等于( )
A. B.-
C. D.-
10.已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f(),c=f(-),则a,b,c的大小关系为( )
A.c
C.c11.若2a+log2a=22b+log2b,则( )
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a12.设函数f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2,不等式f(ax)≤f(x+3)在x∈(1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,] B.(-∞,2]
C.[-1,] D.[-,]
二、多选题
13.下列说法正确的是( )
A.f(x)=-是奇函数
B.g(x)=既不是奇函数又不是偶函数
C.F(x)=f(x)·f(-x)(x∈R)是偶函数
D.h(x)=+既是奇函数又是偶函数
14.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)·g(x)是偶函数
B.|f(x)|·g(x)是奇函数
C.f(x)·|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是偶函数
15.已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且对于y=f(x)(x∈R),当x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时,<0恒成立,若 f(2ax)A.(-,-1) B.(-,1]
C.[0,) D.(,+∞)
三、填空题
16.函数f(x)=的定义域为 ,单调递增区间为 .
17.若f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+)为偶函数,则a= .
18.函数y=-的最大值为M,最小值为N,则的值为 .
19.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(1-x).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤,则m的取值范围是 .
四、解答题
20.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求证:y=f(x)在[-1,1]上为单调递增函数;
(3)求y=f(x)的值域.
21.设f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-1≤x≤3时,求f(x)的解析式;
(3)当-4≤x≤4时,求方程f(x)=m(-1≤m<0)的所有实根之和.
22.已知函数f(x)=x2+(x-2)|x-a|,其中a∈R.
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,都有>1成立,求实数a的取值范围.
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第5讲 函数基本性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
项目 增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,
x2∈I
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
(3)函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D,都有f(x)≤M;
(2) x0∈D,使得f(x0)=M (1) x∈D,都有f(x)≥M;
(2) x0∈D,使得f(x0)=M
结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值
(2)在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数.
(4)复合函数的单调性:同增异减.
2.函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈
D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈
D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个x,-x也在定义域内(即定义域关于原点对称).
注意
3.函数的对称性
(1)若函数y=f(x+a)为偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)的对称.
(3)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
4.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
(3)函数周期性常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量x的值:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
5.图象变换
(1)描点法作图流程
①化简.确定函数的定义域,化简函数解析式,讨论函数的性质
(单调性、奇偶性、周期性、对称性);
②列表.除考虑点的一般性外,尤其要注意特殊点,如:与坐标轴的交点、顶点、端点、最(极)值点、对称点等;
③描点.画出直角坐标系,准确描出表中点;
④连线.用光滑的曲线连接所描点.
(2)平移变换
y=f(x)→y=f(x-a):当a>0时,向右平移a个单位长度;当a<0时,向左平移|a|个单位长度.
y=f(x)→y=f(x)+b:当b>0时,向上平移b个单位长度;当b<0时,向下平移|b|个单位长度.
(4)对称变换
y=f(x)→y=-f(x):关于x轴对称;
y=f(x)→y=f(-x):关于y轴对称;
y=f(x)→y=-f(-x):关于原点对称.
(5)翻折变换
y=f(x)→y=f(|x|):去掉y轴左边图象,保留y轴及其右边图象,将y轴右边图象翻折到左边;
y=f(x)→y=|f(x)|:留下x轴及其上方图象,将x轴下方图象翻折上去.
(6)函数对称结论
①若f(m+x)=f(m-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=m对称.
②设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-m)与y=f(m-x)
(m>0)的图象关于直线x=m对称.
⑤函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
⑥函数y=f(x)与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
⑦函数平移遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”.
考点一 函数的单调性
[例1] (1)下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是( )
√
(2)(2022·浙江1月学考)已知函数f(x)=x2-2ax+b在区间(-∞,1]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]
√
√
√
(4)已知函数f(x)=x+ln x-1,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(e,+∞)
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.(0,+∞)
√
解析:(4)C 函数f(x)=x+ln x-1的定义域为(0,+∞).
因为y=x-1在(0,+∞)上单调递增,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=1+ln 1-1=0,
所以不等式f(x)<0的解集为(0,1).故选C.
(-∞,-1]
(6)函数f(x)=ax|2x+a|在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围
为 .
{a|a>0或a=-4}
(0,3]
①求证:函数f(x)在R上是减函数.
(8)①证明:设x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).
又因为当x>0时,f(x)<0,
而x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)②求函数f(x)在[-3,3]上的最值.
②解:因为f(x)在R上是减函数.
所以f(x)在[-3,3]上单调递减,
所以f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).
而f(3)=3f(1)=-2,又函数f(x)对于任意x,y∈R,
总有f(x)+f(y)=f(x+y),所以令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,
得f(-x)=-f(x),
所以f(-3)=-f(3)=2.
所以f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
总结提醒
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断方法有:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
(4)比较函数值的大小时,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性去比较大小.
考点二 函数的奇偶性
[例2] (1)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025,2 025]上的最大值是M,最小值为m,则M+m等于( )
A.0 B.2
C.1 D.3
√
解析:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x,
则函数g(x)为奇函数,
所以g(x)在区间[-2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0,
即M-1+m-1=0,
所以M+m=2.故选B.
(2)(多选题)下列函数为偶函数的是( )
√
√
(3)(2021·浙江7月学考)已知函数f(x)=2|x|+ax2,a∈R,则f(x)的图象不可能是( )
√
解析:(3)f(x)=2|x|+ax2的定义域为R.
因为f(-x)=2|-x|+a(-x)2=2|x|+ax2=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,对照四个选项的图象,只能选D.故选D.
解析:(4)由题意可知,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-
2(-x)]=-x2-2x=mx2+nx,解得m=-1,n=-2,所以f(m)=f(-1)=1,
f(n)=f(-2)=0,所以f(m)>f(n).故选A.
√
(5)(2024·浙江7月学考)奇函数f(x)=x3+x+a,则a= .
0
(6)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2,则函数f(x)+2为 函数.(选填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
解析:(6)由题意得函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)+2,故f(0)=-2.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+2,
故f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2].
故f(x)+2为奇函数.
奇
总结提醒
判断函数奇偶性的三种常用方法
(1)定义法:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式,验证f(-x)=±f(x)或其等价形式f(-x)±f(x)=0是否成立.
(2)图象法:
(3)性质法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
考点三 函数的单调性、奇偶性
[例3] (1)(多选题)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
√
√
(2)(2022·浙江1月学考)已知函数y=2ax3(a>0),则此函数是
( )
A.偶函数且在(-∞,+∞)上单调递减
B.偶函数且在(-∞,+∞)上单调递增
C.奇函数且在(-∞,+∞)上单调递减
D.奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增
解析:(2)D 函数y=f(x)=2ax3的定义域为R,
且f(-x)=2a(-x)3=-2ax3=-f(x),
所以函数y=f(x)=2ax3是奇函数,又因为a>0,
所以函数y=f(x)=2ax3在(-∞,+∞)上单调递增.故选D.
√
(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减,函数g(x)=x-f(x),则( )
A.g(x)是R上的奇函数且单调递减
B.g(x)是R上的奇函数且单调递增
C.g(x)是非奇非偶函数且在R上单调递减
D.g(x)是非奇非偶函数且在R上单调递增
√
总结提醒
对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性,脱去法则“f”变成常规不等式,如x1x2)求解.
考点四 函数的周期性、对称性
[例4] (1)函数y=|x+1|的图象大致为( )
√
解析:(1)A 由于函数y=x+1的图象过点(-1,0),且当x<-1时,
y<0,当x>-1时,y>0.
所以将函数y=x+1在x轴下方的图象翻到上方即可得函数y=|x+1|的图象.故选A.
(2)函数f(x)=ln|x|+1的图象大致为( )
√
解析:(2)A 当x>0时,f(x)=ln|x|+1的图象由 y=ln x的图象向上平移一个单位长度得到,f(-x)=ln|-x|+1=ln|x|+1=f(x),所以f(x)为偶函数.故选A.
(3)(2022·浙江1月学考)函数y=2-x的图象大致是( )
√
√
√
(5)(2023·浙江7月学考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)+f(2-x)=4,则f(2 023)= .
(5)解析:由题意得f(x)是定义域为R的偶函数,
且f(x)+f(2-x)=4,
故f(x-2)=f(2-x)=4-f(x),
可得f(x-4)=4-f(x-2)=f(x),
故得函数的周期T=4,而令x=1,可得2f(1)=4,
解得f(1)=2,
则f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2.
2
(6)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,证明:存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心.
(6)证明:f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心,
则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上,
f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+
(12a-24)x+18-12a,
于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,
总结提醒
对称性与周期性之间的常用结论第5讲 函数基本性质
1.C 2.A
3.C 因为f(x)==2+在[2,6]上单调递减,所以f(x)max=f(2)=4.故选C.
4.B 对于A,y=的定义域为[0,+∞),因为定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数,所以A错误;
对于B,y=x3的定义域为R,因为f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以此函数为奇函数,
因为y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以B正确;
对于C,y=在(0,+∞)上单调递减,所以C错误;
对于D,y=x2的定义域为R,因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以此函数为偶函数,所以D错误.故选B.
5.C 当x≥0时,f(x)=f(x-4),所以f(x)=f(x+4),所以当x≥0时,函数f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(99)=f(4×24+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1).
又f(-1)=3,所以f(99)=3.故选C.
6.C 由于f(1)=e-1,f(x)为奇函数,故f(-1)=-f(1)=1-e.故选C.
7.D 令x=0,则y=-f(1)=-1,排除A,C选项;
当0所以y=-f(1-x)在(0,1)上为减函数,排除B选项.故选D.
8.A 由已知可得,f(2-x)=+=+4·=+2x=f(x),所以f(x)的图象关于直线 x=1对称,故A项正确;
因为f(2-x)=2x+,则f(2-x)≠-f(x),故B项错误;
f(-x)=2-x+=4·2x+,则f(-x)≠f(x),故C项错误;
因为f(-x)=4·2x+,则f(-x)≠-f(x),故D项错误.故选A.
9.A 因为f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),则f(1)=-f(1),
所以f(1)=2-m=0,解得m=2,
所以f()=2×()2-2=-,
又f(x)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x-1),
故f(x+1)=-f(x-1)=f(x-3),则f(x)是以4为周期的周期函数,因此,f()=f()=-f()=.故选A.
10.C 因为当2≤x1f(x2),所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,
因为函数f(x+2)是偶函数,即f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以a=f(1)=f(3),c=f(-)=f(),又函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以f(2)>f()>f(3)>f(),
即f()>f(1)>f(-),所以b>a>c.故选C.
11.B 因为b>0,则b<2b,且y=log2x在定义域(0,+∞)内单调递增,可得log2b可知g(x)=22x+log2x在定义域(0,+∞)内单调递增,取a=1,则2a+log2a=2,
因为2=g(b)b2,故D错误;
取b=4,则22b+log2b=28+2,因为f(16)=216+4>f(a)=28+2,可得012.D 设g(x)=f(x+1),即g(x-1)=f(x),
因为f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2,
所以f(x)=2|x-1|+2log3|x-1|,
所以g(x)=2|x|+2log3|x|,
由g(-x)=2|-x|+2log3|-x|=g(x),
所以函数y=g(x)为偶函数,
当x>0时,g(x)=2x+2log3x为单调递增函数,当x<0时,y=g(x)为单调递减函数,
因为f(ax)≤f(x+3)在x∈(1,2]上恒成立,
所以g(ax-1)≤g(x+2),
根据函数g(x)的奇偶性与单调性得,
|ax-1|≤|x+2|,又因为x∈(1,2],
所以-x-2≤ax-1≤x+2,即-1-≤a≤1+,
即(-1-)max≤a≤(1+)min,
又因为函数y=-1-在x∈(1,2]上单调递增,所以当x=2时,(-1-)max=-,
又因为函数y=1+在x∈(1,2]上单调递减,
所以当x=2时,(1+)min=,
所以-≤a≤.故选D.
13.ACD 对于A项,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),所以是奇函数,正确;
对于B项,由1-x2≥0,|x+2|-2≠0得-1≤x≤1,
且x≠0,关于原点对称,
所以g(x)===,满足g(-x)=-g(x),故是奇函数,B项错误;
对于C项,因为F(-x)=f(-x)·f(x)=F(x),所以正确;
对于D项,解得定义域为{-1,1},且h(x)=0,所以既是奇函数,又是偶函数.故选ACD.
14.CD 因为函数f(x),g(x)的定义域都为R,所以各选项中函数的定义域也为R,关于原点对称,因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
对于A,因为f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),所以函数f(x)·g(x)是奇函数,故A错误;
对于B,因为|f(-x)|·g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|·g(x),所以函数|f(x)|·g(x)是偶函数,故B错误;对于C,因为f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,所以函数f(x)·|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,因为|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|,所以函数|f(x)·g(x)|是偶函数,故D正确.故选CD.
15.ABC 由题意得y=f(x)为偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,
故y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(2ax)故f(|2ax|)所以|2ax|<2x2+1,
当x=0时,|0|<1恒成立,满足要求,
当x≠0时,|2a|<=2|x|+在x∈(-∞,0)∪(0,+∞)上恒成立,
其中2|x|+≥2=2,
当且仅当2|x|=,即|x|=时,等号成立,
故|2a|<2,解得-综上,a的取值范围为(-,),
A选项,由于(-,-1) (-,),A正确;B选项,(-,1] (-,),B正确;C选项,[0,) (-,),C正确;D选项,(,+∞)显然不是(-,)的子集,D错误.故选ABC.
16.解析:由x2+x-6≥0,得x≥2或x≤-3,即函数的定义域为(-∞,-3]∪[2,+∞).
又函数y=x2+x-6在[2,+∞)上单调递增,所以函数的单调递增区间为[2,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[2,+∞) [2,+∞)
17.解析:因为f(x)=(x-1)2+ax+sin(x+)=(x-1)2+ax+cos x=x2+(a-2)x+1+cos x,
且函数为偶函数,
所以a-2=0,解得a=2.
经验证,当a=2时满足题意.
答案:2
18.解析:因为y=-在x∈[-3,1]上单调递减,所以M=2,N=-2,=-1.
答案:-1
19.解析:因为f(x+1)=2f(x),则f(x)=2f(x-1),
又当x∈(0,1]时,f(x)=-(x-)2+∈[0,],
当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(2-x)=-2(x-)2+∈[0,],
当x∈(1,2]时,由f(x)=,解得x=或x=,
当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],
f(x)=f(x+1)=-x(x+1)=-(x+)2+
∈[0,],
显然,当x≤0时,f(x)≤<,如图,
对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤,必有m≤,
所以m的取值范围是(-∞,].
答案:(-∞,]
20.(1)解:由于x2+1>0,所以函数的定义域为R,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(0)=0-a=0,
即a=0,此时f(x)=.
检验得f(-x)=-f(x),满足奇函数性质.
故实数a的值为0.
(2)证明:设x1,x2∈[-1,1],且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=
=
=.
因为x1,x2∈[-1,1],且x1所以x1x2<1,x2-x1>0,+1>0,+1>0,
所以<0,
所以f(x1)(3)解:由(1)知函数y=,
所以关于x的方程yx2-2x+y=0有解,
当y=0时,显然x=0,满足,
当y≠0时,Δ=4-4y2≥0,解得-1≤y≤1且 y≠0.
综上,关于x的方程yx2-2x+y=0有解,则y∈[-1,1].
所以函数y=f(x)的值域为[-1,1].
21.解:(1)由f(x+2)=-f(x),
得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)若-1≤x≤0,则0≤-x≤1,
则f(-x)=-x,
因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-x=-f(x),
即f(x)=x,-1≤x≤0,
即当-1≤x≤1时,f(x)=x;
若1因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x)=-f(x-2)=-(x-2)=2-x,
即当-1≤x≤3时,f(x)的解析式为
f(x)=
(3)作出函数f(x)在[-4,4]上的图象,如图,
则函数的最小值为-1,
若m=-1,则方程f(x)=m在[-4,4]上的解为x=-1或x=3,则-1+3=2;
若-1则它们分别关于直线x=-1和直线x=3对称,
设它们从小到大依次为a,b,c,d,
则a+b=-2,c+d=6,即a+b+c+d=-2+6=4.即所有实根之和为4.
22.解:(1)当a=0时,f(x)=x2+(x-2)|x|=
当x≥0时f(x)=2x2-2x=2(x-)2-,所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
当x<0时f(x)=2x,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
综上可得f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(-∞,0),(,+∞).
(2)因为对任意的x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,都有>1成立,
不妨令x1即f(x1)-x1令g(x)=f(x)-x,
则当x1即g(x)=f(x)-x在[0,3]上单调递增,
又g(x)=x2+(x-2)|x-a|-x=
当x≥a时,g(x)=2x2-(a+3)x+2a,
对称轴为直线x=,
若≤0,即a≤-3时,g(x)在[0,3]上单调递增,
若≥3,即a≥9时,a+1≥10,此时g(x)在[0,3]上单调递增,
若-3若-1令a=,解得a=1,当a<1时,a<,
当 a>1时,a>,
若0当a=1时,g(x)=此时 g(x)在[0,1)上单调递增,在(1,3]上单调递增,且函数连续,
所以g(x)在[0,3]上单调递增,符合题意;
当1,此时g(x)在[0,a)上单调递增,在(a,3]上单调递增,且函数连续,
所以g(x)在[0,3]上单调递增,符合题意;
当3≤a<9时,4≤a+1<10,此时g(x)在[0,3]上单调递增,符合题意;
综上可得a≥1或a≤-3,
即实数a的取值范围为a∈(-∞,-3]∪[1,+∞).