第7讲 对数与对数函数
一、单选题
1.已知log3a=3,则a的值为( )
A.1 B.6 C.9 D.27
2.下列算式正确的是( )
A.lg 10+lg 2=lg 12 B.lg 5+lg 2=10
C.lg 50-lg 2=lg 48 D.lg 60-lg 5=lg 12
3.+log2等于( )
A. B.3 C. D.3+
4.设a=31.4,b=log0.52,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
5.函数y=ln(2-x)的定义域为( )
A.(0,2) B.[0,2)
C.(0,1] D.[0,2]
6.函数f(x)=log2(x2+8)的值域为( )
A.R B.[0,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,3]
7.17世纪,法国数学家马林·梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上,对2p-1(p为素数)型的数做了大量的研究,他在著作《物理数学随感》中断言:在p≤257的素数中,当p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时,2p-1是素数,其他都是合数.人们为了纪念梅森在2p-1型素数研究中所做的开创性工作,就把2p-1型的素数称为“梅森素数”,记为Mp=2p-1.几年来,人类仅发现51个梅森素数,由于这种素数珍奇而迷人,因此被人们称为“数海明珠”.已知第7个梅森素数M19=219-1,第8个梅森素数M31=231-1,则lg 约等于(参考数据:lg 5≈0.7)( )
A.17.1 B.8.4
C.6.6 D.3.6
8.当a>2时,则有( )
A.loga0.2>loga0.3
B.loga2>loga+13
C.2a+1<3a
D.()a+1<()a
9.已知函数f(x)=log2(x2-2x)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,0]
10.已知函数f(x)=|log3x|,若a
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.[5,+∞) D.(5,+∞)
11.函数f(x)=的图象大致为( )
12.已知实数a,b∈(1,+∞),且log3a+logb3=log3b+loga4,则( )
A.C.二、多选题
13.下列式子中正确的是( )
A.lg(lg 10)=0
B.=80
C.若10=lg x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5
14.若函数f(x)=loga(x-1)+b(a>0,a≠1),则下列选项正确的是( )
A.定义域为(1,+∞)
B.值域为R
C.图象过定点(2,b)
D.在定义域上单调递增
15.已知实数a,b,c满足ln a=2b=,则下列关系式中可能成立的是( )
A.c>b>a B.a>c>b
C.c>a>b D.a>b>c
三、填空题
16.函数f(x)=log3(x-2)的定义域是 ,该函数图象必过定点 .
17.已知f(x)=则f(f(5))= .
18.已知函数f(x)=logax与g(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数.若f(x)=ln x的反函数为g(x),则g(2)= .
19.已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是 .
四、解答题
20.(1)已知18a=9,18b=5,试用a,b表示log3645;
(2)计算:2log32-log3+log38-.
21.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2(x+).求:
(1)x<0时,f(x)的解析式;
(2)不等式f(x)≤1的解集.
22.已知函数f(x)=log2(2x+t)-x.
(1)若f(2)<0,求t的取值范围.
(2)若f(x)=x有两个不相等的实根x1,x2,且 x1①求t的取值范围.
②证明:f(x1+1)+f(x2-1)<-1.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第7讲 对数与对数函数
1.D 由log3a=3可得a=33=27.故选D.
2.D 对于A,lg 10+lg 2=lg 20,故A错误;对于B,lg 5+lg 2=lg 10=1,故B错误;对于C,lg 50-lg 2=lg 25,故C错误;对于D,lg 60-lg 5=lg 12,故D正确.
故选D.
3.C 原式=3+log2=3+=.
故选C.
4.B 因为函数y=3x在R上单调递增,且1.4>0,
所以31.4>30=1,即a>1;
因为函数y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减,且 2>1,
所以log0.52因为函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且1<2<3,
所以log31所以a>c>b.故选B.
5.B 由题意知x≥0且2-x>0,
解得0≤x<2,故定义域为[0,2).
故选B.
6.C 设t=x2+8,则t≥8,又函数y=log2t在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)≥log28=3.故选C.
7.D 由已知可得lg =lg =lg 212=12lg 2=12×(1-lg 5)≈3.6.故选D.
8.C 对于A,当a>2时,loga0.2对于B,令a=4,
log42=log4=,log53=log5>log5=,
则loga2对于C,==2·()a,因为a>2,
所以2·()a<2·()2=<1,
即<1,所以2a+1<3a,故C正确;
对于D,令a=3,()4=>()3=,故D错误.
故选C.
9.A 由题意得,x2-2x>0 x∈(-∞,0)∪(2,+∞),
而函数y=x2-2x的对称轴为直线x=1,
所以函数y=x2-2x在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
根据复合函数单调性“同增异减”的原则,函数 f(x)的单调递增区间为(2,+∞),
又因为函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,
所以a∈[2,+∞).故选A.
10.D 画出f(x)=|log3x|的图象如图所示,
因为a所以-log3a=log3b,
故=b,且0令y=a+4b,所以y=a+,
由对勾函数的性质可知y=a+在(0,1)上单调递减,
故y=a+>1+=5,
故a+4b的取值范围是(5,+∞).故选D.
11.C 由已知得函数的定义域为{x|x≠±1},
因为f(-x)===-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,令x=,
则f()=,
其中0<-==<1,
故f()<0,排除A,D,
令x=,
f()===,
其中0<<1,
故f()<0,排除B.故选C.
12.A 由log3a-loga4=log3b-logb3,
得log3b-=log3a-因为y=x-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,且log3a,log3b∈(0,+∞),log3blog3b->log4a-,所以log3b>log4a,
又log4a=log2>log3,且y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以由log3b>log3可知b>.
综上,13.AB 因为lg 10=1,所以lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;因为=24×=16×5=80,故B正确;若10=lg x,则x=1010,故C不正确;若log25x=,则x==5,故D不正确.故选AB.
14.ABC 由题意,x-1>0,则x>1,
所以函数f(x)的定义域为(1,+∞),故A正确;
根据对数函数的值域可得函数f(x)的值域为R,故B正确;
令x-1=1,则x=2,f(2)=b,
所以函数f(x)的图象过定点(2,b),故C正确;
当015.BCD
根据题意,设ln a=2b==t,其中t>0,则a=et,b=log2t,c=,
在同一坐标系中分别画出函数y=ex,y=log2x,y=的部分图象,如图,当t=x1时,c>a>b;当t=x2时,a>c>b;当t=x3时,a>b>c,由此可以看出,不可能出现c>b>a这种情况.故选BCD.
16.解析:由x-2>0解得x>2,
所以f(x)的定义域为(2,+∞),
令x-2=1,
解得x=3,
所以f(x)的图象过定点(3,0).
答案:(2,+∞) (3,0)
17.解析:因为f(x)=
所以f(5)=log33=1,
所以f(f(5))=f(1)=21-2=.
答案:
18.解析:由函数f(x)=logax与g(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数,
若f(x)=ln x的反函数为g(x)=ex,则g(2)=e2.
答案:e2
19.解析:因为f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,
所以x+m>0在[-2,2]上恒成立,
所以m-2>0,即m>2,
由局部奇函数的定义,存在x∈[-2,2],
使得log3(-x+m)=-log3(x+m),
即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0,所以存在x∈[-2,2],
使得m2-x2=1,即m2=x2+1,
又因为x∈[-2,2],所以x2+1∈[1,5],
所以m2∈[1,5],
即m∈[-,-1]∪[1,],
综上,m∈(2,].
答案:(2,]
20.解:(1)因为18a=9,18b=5,所以a=log189,b=log185,
所以log3645======.
(2)2log32-log3+log38-=log34-log3+log38-3=log3(4××8)-3=log39-3=2-3=-1.
21.解:(1)令x<0,则-x>0,
即f(-x)=log2(-x+).
又f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x+),x<0.
(2)因为f(x)在R上是奇函数,
所以f(0)=0,
所以f(x)≤1等价于不等式组
或
或
解得0故不等式的解集为[0,]∪(-∞,-].
22.(1)解:由f(2)<0可得log2(4+t)-2<0,
所以log2(4+t)即
解得-4故t的取值范围为(-4,0).
(2)①解:如图,因为f(x)=x有两个不相等的实根,
即log2(2x+t)=2x有两个不相等的实根,
log2(2x+t)=2x log2(2x+t)=log222x,
即(2x)2-2x=t,设m=2x∈(0,+∞),
即y=t与y=m2-m有两个不同的交点,
其中当m∈(0,)时,y=m2-m单调递减,
当m∈(,+∞)时,y=m2-m单调递增,
其中ymin=-,
结合图象可知t∈(-,0).
②证明:由①可知(2x)2-2x-t=0,
所以+=1,·==-t,
且满足t∈(-,0),0<<<<1,
即x1<-1f(x1+1)+f(x2-1)=log2[+t]-(x1+1)+
log2[+t]-(x2-1)
=log2[(2·+t)(·+t)]-(x1+x2)
=log2[·+t(2·+·)+t2]-log2(-t)
=log2[t2+(1-·)t]-log2(-t)
=log2(·-1-t),
又()2-=t,
所以f(x1+1)+f(x2-1)=log2(·-1+-)=log2(-+·-1)=
log2[-(-)2+],
因为<<1,
所以-<-<-,<(-)2<,
故log2[-(-)2+]即f(x1+1)+f(x2-1)<-1.(共50张PPT)
第7讲 对数与对数
函数
1.对数式的运算
(1)对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常见对数
①一般对数:以a(a>0,且a≠1)为底,记为logaN,读作以a为底N的对数;
②常用对数:以10为底,记为lg N;
③自然对数:以e为底,记为ln N.
(3)对数的性质和运算法则
①特殊对数:loga1=0,logaa=1,其中a>0,且a≠1;
③当a>0,a≠1时,ax=N x=logaN;
④负数和0没有对数.
(4)对数的运算法则
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①外和内乘原理:loga(MN)=logaM+logaN;
(5)换底公式和对数运算的一些方法
如果a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1,那么
③约分法则:logab·logbc=logac,如log23·log34=log24=2,
log315·log57·log155·log73=1;
④归一法则:lg 2+lg 5=1 lg 2·lg 5+(lg 2)2+lg 5=
lg 2(lg 5+lg 2)+lg 5=lg 2+lg 5=1.
2.对数函数的定义及图象
(1)对数函数的定义
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,它是指数函数y=ax
(a>0,且a≠1)的反函数.
(2)对数函数的图象
由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象作关于直线y=x的对称图形,即可获得.同样也分a>1与0性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
当0当x≥1时,y≥0 当00,
当x≥1时,y≤0
(3)底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象越靠近x轴;当0注意
并不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如y=x2.一般来说,单调函数有反函数.
*(5)反函数的性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
②若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数图象上;反之,若(b,a)在反函数图象上,则(a,b)必在原函数图象上.
考点一 对数运算
√
[例1] (1)已知a>0,则下列计算正确的是( )
√
总结提醒
(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
考点二 对数函数的图象与性质
[例2] (1)函数f(x)=loga(4-x)(a>0,a≠1)的定义域是( )
A.(0,4)
B.(4,+∞)
C.(-∞,4)
D.(-∞,4)∪(4,+∞)
√
解析:(1)要使函数f(x)=loga(4-x)(a>0,a≠1)有意义,则4-x>0,得x<4,所以函数的定义域为(-∞,4).故选C.
√
√
√
√
√
√
√
(7)已知对于任意的x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且f(x)在
(-∞,1)上单调递增,则不等式f(log2x)>f(-2)的解集为( )
√
√
解析:(9)设y=log2x,则x=2y,
所以函数f(x)=log2x的反函数为y=2x.
(9)(2023·浙江7月学考)函数f(x)=log2x的反函数为 .
y=2x
总结提醒
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合求解.
考点三 对数函数的综合
总结提醒
(1)应用函数奇偶性求参数的值:①一般用f(-x)=-f(x)或f(x)=
f(-x);②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值:f(-1)=-f(1)或f(1)=f(-1).
(2)恒(能)成立问题一般利用分离参数法求解.
总结提醒
考查对数函数的性质,与对数函数的最值、值域有关的问题涉及对数函数的单调性,一般需要按底数a分类讨论,即按01分类,确定函数的单调性,然后求解.