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第8讲 幂函数与
二次函数
1.幂函数及其性质
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的特征
同时满足以下三个条件才是幂函数:
①xα的系数为1;②xα的底数x是自变量;③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在R上单调递增 在(-∞,0)上
单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在R上单调
递增 在[0,+∞)上单调
递增 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点 (1,1)
①幂函数的形式是y=xα(α为常数),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
②在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
③在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
④认识幂函数的图象重点在于掌握其特征.对于y=xα(α为常数),当α<0时,在第一象限内为双曲线的一支;当0<α<1时,在第一象限内为“抛物线”形,且开口向右;当 α>1时,在第一象限内为“抛物线”形,且开口向上.
⑤在判断幂函数的单调性和奇偶性时,可根据相应幂函数的图象进行分析.
2.二次函数表达式的三种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(其中a≠0,顶点坐标为(h,k)).
(3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1,x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
4.二次函数的最值问题
二次函数的最值问题主要有三种类型:“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系,要结合函数图象,依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则二次函数f(x)在闭区间[m,n]上的最大值、最小值有如下的分布情况:
5.一元二次方程根的分布
设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两不等根为x1,x2,且x1
表一:(两根与k的大小比较)
表二:(根在区间上的分布)
若两根有且仅有一根在(m,n)内,则需分三种情况讨论:
a.当Δ=0时,由Δ=0可以求出参数的值,然后再将参数的值代入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去;
b.当f(m)=0或f(n)=0时,方程有一根为m或n,可以求出另外一根,从而检验另一根是否在区间(m,n)内;
c.当f(m)·f(n)<0时,两根有且仅有一根在(m,n)内.
6.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
(3)相关结论
①若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
②图象连续不断的函数f(x),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③图象连续不断的函数f(x)通过零点时,函数值不一定变号.
④图象连续不断的函数f(x)在闭区间[a,b]上有零点,不一定能推出f(a)f(b)<0.
7.二分法
(1)对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
①确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0.
②求区间(a,b)的中点c.
③计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
a.若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
b.若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
c.若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
④判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤②③④.
常用结论与易错提醒:
不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件
考点一 幂函数的概念、图象、性质
√
[例1] (1)(多选题)(2022·浙江7月学考)图象经过第三象限的函数是( )
√
解析:(1)由于选项A,B,C,D都是幂函数,结合幂函数的图象,选项A和选项C的函数图象不经过第三象限,选项B和选项D的函数图象经过第三象限.故选BD.
√
√
2
总结提醒
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二 二分法与函数零点
√
(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=4x-3
B.f(x)=ln x+2x-8
C.f(x)=sin x+1
D.f(x)=x2-3x+1
√
解析:(2)选项C,y=sin x+1≥0恒成立,不存在区间[a,b]使f(a)·
f(b)<0,所以y=sin x+1不能用二分法求零点.故选C.
√
√
(4)为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如表所示:
x 1.25 1.312 5 1.375
f(x) -0.871 6 -0.578 8 -0.281 3
x 1.437 5 1.5 1.562 5
f(x) 0.021 0 0.328 4 0.641 2
则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为 .
1.4(答案不唯一)
解析:(4)由题表知f(1.375)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.375=
0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解可取1.4.
总结提醒
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点.
(2)函数零点存在定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲
线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
√
√
√
1,-2
总结提醒
已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法
(1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后观察求解.
考点三 二次函数的图象与性质
[例4] (1)(多选题)函数f(x)=x2-ax+2在(-2,4)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[8,+∞)
B.(-∞,8]
C.[-4,+∞)
D.(-∞,-4]
√
√
(2)(多选题)方程(x-2 021)(x+2 022)-1=0的两根为x1,x2
(x1A.x1<-2 022
B.x2>2 021
C.x1+x2=101
D.x1+x2=1
√
√
(3)(多选题)函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一坐标系中的图象可能为( )
√
√
√
(4)已知函数f(x)=x2-4x在[0,m]上的值域为[-4,0],则实数m的取值范围是( )
A.(0,2] B.(2,4]
C.(0,4] D.[2,4]
√
解析:(4)函数f(x)=x2-4x在[0,2]上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增,f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=0,
当x>4时,f(x)>0;
当0函数f(x)=x2-4x的部分图象及在[0,m]上的图象如图所示.所以为使函数f(x)=x2-4x在[0,m]上的值域为[-4,0],实数m的取值范围是[2,4].故选D.
(5)(多选题)关于x的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有( )
A.存在实数k,使得方程无实根
B.存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根
C.存在实数k,使得方程恰有3个不同的实根
D.存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根
√
√
解析:(5)设t=x2-2x,
方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0.(*)
当k>1时,方程(*)无实根,故原方程无实根;
当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原方程有两个相等的实根x=1;
当k<1时,方程(*)有两个实根t1,t2(t1由t1+t2=-2可知,t1<-1,t2>-1.
因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以x2-2x=t1无实根,x2-2x=t2有两个不同的实根.
综上可知,A,B项正确,C,D项错误.故选AB.
(6)(2020·浙江1月学考)已知函数f(x)=|x2+ax-2|-6,若存在a∈R,使得f(x)在[2,b]上恰有两个零点,则实数b的最小值是
.
解析:(6)因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6,f(x)在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2与x=b时恰好取到零点,若x=2时,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解方程求得a=2或a=-4.
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,
满足f(x)在[2,b]上恰有两个零点,则f(b)=|b2+2b-2|-6=0,
且b>2,解方程可得b=2(舍去)或b=-4(舍去);
总结提醒
解决二次函数图象与性质问题时要注意
(1)抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论.
(2)研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.第8讲 幂函数与二次函数
1.D 幂函数是形如y=xα的函数,故A,B,C不符合,D符合.故选D.
2.D f(x)=ax2+2ax-3(a>0)的对称轴为直线x=-1,则f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,+∞)上单调递增,
A项,f(0)B项,f(-2)=f(0)C项,f(1)=f(-3),故C错误;
D项,f(1)=f(-3)3.B 由题意,可得f(8)=8α=23α=2,解得α=,
所以f(x)=,所以f(-1)=(-1=-1.故选B.
4.A 根据幂函数的特点知选项A的图象为函数y=x3的大致图象.
故选A.
5.A 二次函数y=x2-2ax+1的对称轴为直线x=a,欲使得x∈(2,3)时函数是单调的,
则对称轴x=a必须在(2,3)区间之外,即a≤2或者a≥3.故选A.
6.C 因为函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,
所以解得0又a∈{-2,-1,,3},
所以a=.
故选C.
7.D 因为函数f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,
所以f(a)=a2≥0,则a2与9没法比较大小,
因为函数y=x3在R上单调递增,且a<3,
所以 a3<27.
故选D.
8.D 由于幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
又a=()0.3,b=()0.3,c=()-0.3=30.3,
<<3,所以()0.3<()0.3<30.3,
则b故选D.
9.D ax2+bx+2>0的解集为{x|-2所以a=-1,b=-1,则二次函数y=2bx2+4x+a=-2x2+4x-1开口方向向下,对称轴为直线x=1,在区间[0,3]上,当x=1时,函数取得最大值1,
当x=3时,函数取得最小值-7.故选D.
10.D
f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,
f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,画出f(x)的图象如图所示,
由于f(x)在区间[0,m]上的值域为[5,6],由图可知,m的取值范围是[1,2].故选D.
11.D 由y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交,得a-3>0,即a>3,
所以a>3是a>m的必要不充分条件,则m>3.故选D.
12.B 由题可得f(x)=(x-x1)(x-x2),则
f(1)·f(3)=(x1-1)(3-x1)(x2-1)(3-x2)<()2·()2=1,
即 f(1)·f(3)<1.
故f(1)与f(3)两个函数值中至少有一个小于1.故选B.
13.ABD 因为f(x)为幂函数,设f(x)=xa,
所以3a=,故a=,
故f(x)=,
所以函数的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),单调递增区间为[0,+∞),且f(x)不是偶函数.故选ABD.
14.AB A中,a<0,b<0,c<0,所以abc<0,符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,所以abc<0,符合题意;C中,a>0,b>0,c>0,所以abc>0,不符合题意;D中,a>0,b<0,c<0,所以abc>0,不符合题意.故选AB.
15.AB 根据题意,抛物线f(x)=x2+2x经过平移后在直线x=1的右侧的某个区间内在直线y=3x下方.因此当抛物线平移到y=(x-4)2+2(x-4)时,m取得最大值8,因此m的取值范围是(1,8],选项A,B符合题意.故选AB.
16.解析:由幂函数的性质知,在第一象限恒过点(1,1),设幂函数f(x)=xn,则2n=4,即n=2,
故f(x)=x2.
答案:(1,1) f(x)=x2
17.解析:因为y=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,x∈[1,3],所以当a≤2时,函数在x=3处有最大值,ymax=9-6a+3=6,解得a=1;当a>2时,函数在x=1处有最大值,ymax=1-2a+3=6,解得a=-1,又a>2,故不成立.综上,a=1.
答案:1
18.解析:因为关于x的不等式-x2+6ax-3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2],所以x1,x2是方程-x2+6ax-3a2=0(a>0)的两个不同的实数根,所以x1+x2=6a,x1x2=3a2,因为a>0,所以x1+x2+=6a+≥2,当且仅当6a=,即a=时,等号成立,所以x1+x2+的最小值是2.
答案:2
19.解析:若a所以
得(a2-b2)=b-a=(a-b)(a+b),
所以a+b=-2,b=-2-a,
则m=-a2-a-2=-(a+1)2-,
又因为a则有a∈[-2,-1),所以m∈[-2,-).
若0≤a所以
则关于x的方程x2-x+m=0有两个不同的非负根,所以得m∈[0,).
综上可知m∈[-2,-)∪[0,).
答案:[-2,-)∪[0,)
20.解:(1)因为f(x)是幂函数,则3m2-2m+1=1,解得 m=0或m=,又f(x)是偶函数,所以3k-k2+4是偶数,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以3k-k2+4>0,
解得-1(2)由偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(3x+2)>f(1-2x)可化为f(|3x+2|)>f(|1-2x|),即|3x+2|>|1-2x|,
所以x>-或x<-3.
所以x的取值范围是(-∞,-3)∪(-,+∞).
21.解:(1)F(x)=x2+-2a(x-)=-2a(x-)+2,x∈[1,2],
令m=x-,x∈[1,2],
故m∈[0,],
则H(m)=m2-2am+2,m∈[0,],
对称轴为直线m=a.
①当a≤0时,H(m)=m2-2am+2在m∈[0,]上单调递增,故H(m)min=H(0)=2;
②当a∈(0,)时,H(m)=m2-2am+2在m∈[0,a)上单调递减,在[a,]上单调递增,
故H(m)min=H(a)=2-a2;
③当a≥时,H(m)=m2-2am+2在m∈[0,]上单调递减,故H(m)min=H()=-3a,
故函数F(x)的最小值
g(a)=
(2)由(1)知,当a∈(1,)时,g(a)=2-a2,
则G(a)=log2+2a+tg(a)=log2+2a+2t-ta2,
令G(a)=0,
则ta2-2a-2t=log2,
令1(x)=tx2-2x-2t,
2(x)=log2,x∈(1,),
问题等价于两个函数1(x)与2(x)的图象在x∈(1,)上有且只有一个交点.
由t<0知,函数1(x)=tx2-2x-2t的图象开口方向向下,对称轴为直线x=<0,
1(x)在x∈(1,)上单调递减,2(x)在x∈(1,)上单调递增,
t所以t的取值范围为(-∞,log23-2).
22.解:(1)当m=1时,函数f(x)=x2-x,g(x)=-ln x,
当0g(x)=-ln x>0,此时方程f(x)=g(x)无解,
当x≥1时,f(x)=x2-x单调递增,g(x)=-ln x单调递减,且f(1)=0,g(1)=0,
所以此时方程f(x)=g(x)有唯一的解x=1.
综上,方程f(x)=g(x)的解为x=1.
(2)|f(x1)-f(x2)|≤2等价于f(x)max-f(x)min≤2,
f(x)的对称轴为直线x=,
当m≤-2,即≤-1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=1-m,f(x)min=f(-1)=1+m,所以1-m-(1+m)≤2,得m≥-1,与m≤-2矛盾,舍去;
当-2故f(x)min=f()=-,
f(x)max=max{f(-1),f(1)},
当-2则1-m+≤2,解得2-2≤m≤2+2,
所以2-2≤m≤0,
当0则1+m+≤2,解得-2-2≤m≤-2+2,
则0当m≥2,即≥1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递减,
f(x)max=f(-1)=1+m,f(x)min=f(1)=1-m,
所以1+m-(1-m)≤2,得m≤1,与m≥2矛盾,舍去.
综上,m的取值范围为[2-2,-2+2].
(3)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,
则h(x)≤g(x)<0,
故h(x)=0在(1,+∞)上没有实数解;
当x=1时,f(1)+=-m,g(1)=0,
若m>,则f(1)+<0,h(1)<0,
则x=1不是h(x)=0的实数解,
若m≤,则f(1)+≥0,
所以h(1)=min{f(1)+,g(1)}=g(1)=0,
则x=1是h(x)=0的实数解;
当00,故只需讨论f(x)+=0在(0,1)的实数解的个数,
则x2-mx+=0,
得m=x+,
即问题等价于直线y=m与函数y=x+,x∈(0,1)图象的交点个数.
由于y=x+在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增,
结合y=x+在(0,1)上的图象可知,
当m<1时,直线y=m与函数y=x+,x∈(0,1)图象没有交点,即h(x)=0没有实数解;
当m=1或m≥时,h(x)=0在(0,1)上有1个实数解;
当1综上,当m<1或m>时,h(x)=0有1个实数解;
当m=1或m=时,h(x)=0有2个实数解;
当1一、单选题
1.下列函数为幂函数的是( )
A.y=x2+1 B.y=ax
C.y=2x-2 D.y=
2.已知函数f(x)=ax2+2ax-3(a>0),则( )
A.f(0)>f(1) B.f(-2)>f(4)
C.f(-3)>f(1) D.f(-4)>f(1)
3.幂函数f(x)=xα的图象经过点(8,2),则f(-1)的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
4.函数y=x3的大致图象是( )
5.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]∪[3,+∞)
B.[2,3]
C.(-∞,-3]∪[-2,+∞)
D.[-3,-2]
6.已知a∈(-2,-1,,3),且函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则a等于( )
A.-2 B.-1 C. D.3
7.若a<3,则( )
A.a2>9 B.a2<9
C.a3>27 D.a3<27
8.已知a=()0.3,b=()0.3,c=()-0.3,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b9.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
10.已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上的值域为[5,6],则实数m的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,3]
C.(0,2] D.[1,2]
11.若“函数y=x2-2x+a-3的图象与y轴正半轴相交”是“a>m”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(3,+∞)
12.若f(x)=x2+ax+b有两个零点x1,x2,且1A.只有一个小于1
B.至少有一个小于1
C.都小于1
D.可能都大于1
二、多选题
13.已知幂函数f(x)的图象经过点(3,),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为[0,+∞)
B.f(x)的值域为[0,+∞)
C.f(x)是偶函数
D.f(x)的单调递增区间为[0,+∞)
14.设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
15.已知函数f(x)=x2+2x,若存在实数t,当x∈[1,m] 时,有f(x+t)≤3x恒成立,则实数m可以等于( )
A.3 B.6 C.9 D.12
三、填空题
16.幂函数y=f(x)的图象恒过点 ,若幂函数y=f(x)的图象过点(2,4),则此函数的解析式是 .
17.若函数y=x2-2ax+3在x∈[1,3]上的最大值为6,则实数a= .
18.已知关于x的不等式-x2+6ax-3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2],则x1+x2+的最小值是 .
19.当x∈[a,b](a四、解答题
20.已知幂函数f(x)=(3m2-2m+1)(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数m,k的值;
(2)解不等式f(3x+2)>f(1-2x).
21.设F(x)=x2+-2a(x-),x∈[1,2].
(1)求函数F(x)的最小值g(a);
(2)设t<0,对于(1)中的g(a),是否存在实数t,使得函数G(a)=log2+2a+tg(a)在a∈(1,)时有且只有一个零点 若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
22.已知函数f(x)=x2-mx(m∈R),g(x)=-ln x.
(1)当m=1时,解方程f(x)=g(x);
(2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,试求m的取值范围;
(3)用min{a,b}表示a,b中的最小者,设函数h(x)=min{f(x)+,g(x)}(x>0),讨论关于x的方程h(x)=0的实数解的个数.
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