第10讲 三角恒等变换
一、单选题
1.cos 79°cos 34°+sin 79°sin 34°等于( )
A. B.1 C. D.
2.sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°的值为( )
A. B.- C. D.-
3.等于( )
A.- B. C. D.-
4.1-2sin260°等于( )
A.- B.- C. D.
5.cos2-sin2等于( )
A. B. C. D.
6.已知tan α=,则tan 2α等于( )
A.1 B.2 C. D.
7.若cos(+θ)=,则sin 2θ等于( )
A.- B.- C. D.
8.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于( )
A. B.± C. D.-
9.已知α为锐角,cos α=,则sin 等于( )
A. B.
C. D.
10.已知cos(α-)+sin α=,则cos(+α)的值是( )
A.- B.
C.- D.
11.已知α,β,γ∈(0,),sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,则β-α等于( )
A.- B. C.- D.
12.已知函数f(x)=asin x+bcos x(ab≠0)的图象关于直线x=对称,且f(x0)=a,则sin(2x0+)的值是( )
A.- B.-
C. D.
二、多选题
13.计算下列各式,结果为 的是( )
A.sin 15°+cos 15°
B.cos215°-sin 15°cos 75°
C.
D.
14.若α∈[0,2π],sin sin +cos cos =0,则α的值是( )
A. B. C. D.
15.已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3(cos(α-β),sin(α-β)),A(1,0),则( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
三、填空题
16.若α∈(0,),cos α=,则sin α= ,tan 2α= .
17.函数y=2cos x-sin x的最小值为 .
18.= .
19.已知α,β为一个斜三角形的两个内角,若=cos 2β,则tan α+tan β的最小值为 .
四、解答题
20.已知tan α=-3,cos β=,且<α<π,<β<2π.
(1)求tan 2α的值;
(2)求α+β的值.
21.已知x∈(,),且cos x=-.
(1)求sin x,tan x的值;
(2)求sin(2x+)的值.
22.求证:
(1)=tan+;
(2)tan-tan=.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第10讲 三角恒等变换
1.C cos 79°cos 34°+sin 79°sin 34°=cos(79°-34°)=cos 45°=.故选C.
2.A sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°=sin(56°-26°)=sin 30°=.故选A.
3.B =tan(10°+20°)=tan 30°=.故选B.
4.B 1-2sin260°=cos(2×60°)=cos 120°=-.
故选B.
5.D cos2-sin2=cos(2×)=cos =.故选D.
6.C 由二倍角公式得tan 2α===.故选C.
7.C 由题得cos θ-sin θ=,
所以cos θ-sin θ=,
两边平方得1-sin 2θ=,
所以sin 2θ=.故选C.
8.B 因为α为第一象限角,且tan α=,
则cos α=,且是第一或第三象限角.
当是第一象限角时,sin ==;
当是第三象限角时,sin =-=-.
故sin =±.故选B.
9.D 因为α为锐角,
所以sin ====.故选D.
10.A 由cos(α-)+sin α=得,
cos αcos+sin αsin+sin α=cos α+sin α=
cos(-α)=,
所以cos(-α)=,所以cos(+α)=cos=-cos(-α)=-.故选A.
11.C 由sin β+sin γ=sin α,cos α+cos γ=cos β,得sin α-sin β=sin γ,cos β-cos α=cos γ,等号两边平方并相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,即cos(β-α)=,
由α,β,γ∈(0,),知-<β-α<,
又sin α-sin β=sin γ>0,即sin α>sin β,
即有0<β<α<,因此-<β-α<0,
所以β-α=-.故选C.
12.C 因为f(x)=asin x+bcos x=sin(x+),
ab≠0,
其中sin =,cos =,由于函数的图象关于直线x=对称,所以=,
即|a+b|=,化简得b=a,
所以f(x0)=asin x0+acos x0=2asin(x0+)=a,即sin(x0+)=,
所以sin(2x0+)=sin(2x0+-)=-cos(2x0+)=2sin2(x0+)-1=.故选C.
13.AD 对于选项A,sin 15°+cos 15°=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,故选项A正确;对于选项B,cos215°-sin 15°cos 75°=sin 75°·cos 15°-sin 15°cos 75°=sin(75°-15°)=sin 60°=,故选项B错误;对于选项C,==,故选项C错误;对于选项D,==tan(45°+15°)=tan 60°=,故选项D正确.故选AD.
14.CD 因为α∈[0,2π],sin sin +cos cos =cos α=0,则α=或.
故选CD.
15.ABD 对选项A,||==1,||==1,所以该选项正确;对选项B,=(cos(α-β)-1,sin(α-β)),所以||=,=(cos β-cos α,sin β-sin α),
所以||==,所以||=||,所以该选项正确;对选项C,·=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,·=(cos β,sin β)·(cos(α-β),sin(α-β))=cos β·cos(α-β)+sin β·sin(α-β)=cos(2β-α),取α=,β=,则·≠·,所以该选项不正确;对选项D,
·=(1,0)·(cos(α-β),sin(α-β))=cos(α-β),·=(cos α,sin α)·
(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),所以该选项正确.故选ABD.
16.解析:由于α∈(0,),所以sin α==,
tan α==,因此tan 2α==4.
答案: 4
17.解析:y=2cos x-sin x=cos(x+),其中tan =,∈(0,),所以函数y=2cos x-sin x的最小值为-,当x+=π+2kπ,k∈Z,即x=π-+2kπ,k∈Z时取到最小值.
答案:-
18.解析:====2.
答案:2
19.解析:由题意可知,=cos 2β == tan α=tan2β,
所以tan α+tan β=tan2β+tan β=(tan β+)2-≥-,由tan β=-<0,得tan α=tan2β=(-)2=>0,所以tan(α+β)===-<0,
因为α,β为一个斜三角形的两个内角,
即0<α<,<β<π,<α+β<,
因此<α+β<π,显然有α+β+[π-(α+β)]=π,
即角α,β,π-(α+β)为一斜三角形的内角,
所以当tan β=-时,tan α+tan β取最小值-.
答案:-
20.解:(1)因为tan α=-3,
所以tan 2α===.
(2)因为cos β=,<β<2π,
所以sin β=-=-=-,
所以tan β===-2,
所以tan(α+β)==
=1,
因为<α<π,<β<2π,所以2π<α+β<3π,
所以α+β=.
21.解:(1)因为x∈(,),cos x=-,
所以sin x==,
tan x==-.
(2)sin(2x+)=sin 2xcos +cos 2xsin
=(2sin xcos x)·+(cos2x-sin2x)·
=2××(-)×+[(-)2-()2]×
=-.
22.证明:(1)因为左边
=
=
=
==(tan+1)=tan+=右边,所以原等式成立.
(2)因为左边=-=
=
==
==右边.
所以原等式成立.(共41张PPT)
第10讲 三角恒等
变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β.
(4)sin 2α=2sin αcos α.
(5)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
考点一 两角和、差公式的应用
√
√
√
√
√
√
-11
总结提醒
(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征.
(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角或已知角表示.
(3)对asin α±bcos α的式子注意化为一个角的一种三角函数
(辅助角公式).
(4)注意切化弦技巧.
考点二 二倍角公式的应用
√
√
解析:(2)2sin 45°cos 45°=sin 90°=1.
故选D.
√
√
√
-cos θ
总结提醒
二倍角公式与其他公式应用时注意:“化异为同”,即“化异次为同次,化异角为同角”.利用二倍角公式可对形如
cos αcos 2α·cos 4α…cos2nα(n∈N)的式子进行化简和
计算.
√
考点三 三角恒等式的变形与求值
[例4] 某中学高一数学组在一次探究性学习活动中,将参加活动的同学分成6个小组,每一组按照下列序号完成一个三角函数式的求值,然后由组长分别汇报本组的答案.汇报后发现各组的运算结果是同一个常数,于是老师引导大家进一步探究发现一般的规律……
①sin245°+cos275°+sin 45°cos 75°;
②sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°;
③sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°;
④sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°;
⑤sin2(-15°)+cos215°+sin(-15°)·cos 15°;
⑥sin2(-45°)+cos2(-15°)+sin(-45°)·cos(-15°).
(1)请你从上面6个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的运算结果,将同学们的探究发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
总结提醒
要寻找已知函数值的角与欲求函数值的角之间的关系,需要对已知关系式灵活变形、化简;注意求角的范围,然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值.
