第9讲 三角函数的概念、诱导公式
一、单选题
1.与600°角终边相同的角可表示为( )
A.k·360°+220°(k∈Z)
B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z)
D.k·360°+260°(k∈Z)
2.将化为角度是( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
3.若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.sin 210°等于( )
A.- B.- C.- D.-1
5.“sin x=0”是“cos x=1”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知θ为第三象限角,且|sin |=-sin ,则角的终边在( )
A.第一或第三象限 B.第二或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
7.已知sin α=,α∈(,π),则cos α等于( )
A.- B.
C.- D.
8.sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
9.若角α的终边在第三象限,则+等于( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
10.若△ABC的内角A,B,C满足sin A=cos B=tan C,则A与B的关系为( )
A.A-B= B.A+B=
C.B-A= D.A+B=
11.已知cos α=,α是第一象限角,且角α,β的终边关于y轴对称,则tan β等于( )
A. B.- C. D.-
12.已知tan α=,则-等于( )
A.-1 B. C.3 D.7
二、多选题
13.已知θ∈(-,),且sin θ=,则关于θ表述正确的是( )
A.θ= B.cos θ=
C.tan θ= D.tan θ=
14.下列说法正确的有( )
A.经过30分钟,钟表的分针转过π弧度
B.1°= rad
C.若sin θ>0,cos θ<0,则θ为第二象限角
D.若θ为第二象限角,则为第一或第三象限角
15.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.θ∈(0,) B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
三、填空题
16.某次考试时间为120分钟,则从开始到结束,墙上时钟的分针旋转了 弧度.
17.已知扇形的半径为6 cm,扇形的弧长为18 cm,则该扇形的圆心角为 rad,扇形的面积为 cm2.
18.已知cos(-α)=,则cos(+α)= ,sin(-α)= .
19.化简为 .
四、解答题
20.已知tan α=log23·log34-+0.12.
(1)若α是第一象限角,求sin α的值;
(2)求的值.
21.已知α是第四象限角,f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos(α-)=,求f(α)的值.
22.如图,已知单位圆O与x轴正半轴交于点M,点A,B在单位圆上,其中点A在第一象限,且∠AOB=,记∠MOA=α,∠MOB=β.
(1)若α=,求点A,B的坐标;
(2)若点A的坐标为(,m),求sin α-sin β的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第9讲 三角函数的概念、诱导公式
1.B 因为600°=360°+240°,所以600°角与240°角的终边相同,所以与600°角终边相同的角可表示为k·360°+240°(k∈Z).故选B.
2.B 因为π=180°,所以=×180°=60°.故选B.
3.B 设该扇形半径为r,又因为圆心角α=,弧长l=,由扇形弧长公式l=|α|r,可得=·r,解得r=2.故选B.
4.B sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-.故选B.
5.C 因为sin x=0,根据三角函数的基本关系式,可得cos x=±=±1,反之,若cos x=1,根据三角函数的基本关系式,可得sin x=±=0,所以“sin x=0”是“cos x=1”的必要不充分条件.故选C.
6.D 因为θ为第三象限角,所以为第二或第四象限角,又|sin |=-sin ,所以sin <0,所以角的终边在第四象限.故选D.
7.A 因为α∈(,π)位于第二象限,且sin α=,
所以cos α=-=-.故选A.
8.A 因为<2<3<π<4<,所以2 rad和3 rad的角是第二象限角,4 rad的角是第三象限角,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2·cos 3·tan 4<0.故选A.
9.B 由角α的终边在第三象限,
得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.故选B.
10.A 因为sin A=cos B,且A,B,C为△ABC的内角,所以sin A=cos B>0,所以011.D 因为α是第一象限角,且角α,β的终边关于 y轴对称,
所以β=π-α+2kπ,k∈Z,
所以tan β=tan(π-α+2kπ)
=tan(π-α)=-tan α=-
=-=-.故选D.
12.C 因为tan α=,
所以-=-=-=-2=-2=3.
故选C.
13.ABC 对于A,因为θ∈(-,),且sin θ=,
所以θ=,故A正确;
对于B,C,D,因为θ=,所以cos θ=,tan θ=,故B,C正确,D错误.
故选ABC.
14.CD 对于A,经过30分钟,钟表的分针转过-π弧度,不是π弧度,所以A错误.对于B,1°化成弧度是 rad,所以B错误.对于C,由sin θ>0,可得θ为第一、第二象限或y轴正半轴上的角;由cos θ<0,可得θ为第二、第三象限或x轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角,故C正确.对于D,因为θ是第二象限角,所以2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),则kπ+<15.BD 因为sin θ+cos θ=,①
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
则2sin θcos θ=-,因为θ∈(0,π),
所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈(,π),故A错误,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=,②
故D正确,联立①②可得sin θ=,cos θ=-,故B正确,所以tan θ==-,故C错误.故选BD.
16.解析:墙上时钟的分针旋转了-720°,即-4π.
答案:-4π
17.解析:设扇形的半径、弧长、圆心角以及扇形面积分别为r,l,α,S,且r=6 cm,l=18 cm,
故α===3 rad,S=lr=×18×6=54(cm2).
答案:3 54
18.解析:cos(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-.
sin(-α)=sin[+(-α)]=cos(-α)=.
答案:-
19.解析:依题意=
===1.
答案:1
20.解:(1)因为tan α=log23·log34-+0.12=
log23·2log32-(43+[()3]=2-4+4=2.
若α是第一象限角,则sin α>0,cos α>0,
且
解得
故sin α=.
(2)原式====-.
21.解:(1)f(α)===-cos α.
(2)因为cos(α-)=-sin α=,即sin α=-,
又α是第四象限角,所以cos α==,
所以f(α)=-cos α=-.
22.解:(1)因为α=,所以cos α=,sin α=,
所以点A坐标为(,),
因为β=+α=,所以cos β=-,sin β=,所以点B坐标为(-,),
所以A,B两点坐标分别为(,),(-,).
(2)由点A在单位圆上,得()2+m2=1,
又点A位于第一象限,则m=,
所以点A的坐标为(,),即sin α=,cos α=.所以sin β=sin(+α)=cos α=,
所以sin α-sin β=-.(共45张PPT)
第9讲 三角函数的
概念、诱导公式
1.角的概念
(1)任意角:①定义:角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;
②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
(3)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
(4)象限角的集合表示方法
2.弧度制
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
3.任意角的三角函数
(3)三角函数的性质如表:
[记忆口诀] 三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
5.诱导公式
考点一 任意角与弧度制
√
[例1] (1)角330°的弧度数为( )
(2)若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( )
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.180°+α
解析:(2)若α是第一象限角,则90°-α的终边在第一象限,
90°+α的终边在第二象限,360°-α的终边在第四象限,
180°+α的终边在第三象限,故C是第四象限角.故选C.
√
总结提醒
(1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角:先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(3)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(4)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(5)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
[例2] (1)若θ满足sin θ<0,tan θ>0,则θ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考点二 三角函数的概念
√
解析:(1)C 由sin θ<0可知θ的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上,
由tan θ>0,可知θ的终边在第一象限或在第三象限,
则θ的终边在第三象限.
故选C.
(2)若坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
总结提醒
(1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.
(2)根据三角函数定义中x,y的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记忆“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
√
考点三 同角三角函数基本关系
√
√
√
√
√
√
√
总结提醒
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,
sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±
cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,
cos2α=1-sin2α.
考点四 诱导公式
[例4] (1)(2022·浙江1月学考)已知α∈R,则cos(π-α)等于( )
A.sin α B.-sin α
C.cos α D.-cos α
解析:(1)cos(π-α)=-cos α.故选D.
√
√
√
√
A.f(-x)=-f(x)
B.f(-x)=f(x)
C.f(2π-x)=f(x)
D.f(π+x)=f(π-x)
√
√
√
√
3
总结提醒
(1)诱导公式的两个应用
①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=
cos(π-α)=-cos α.
