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第11讲 三角函数的图象与性质
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z)
注意
考点一 三角函数的定义域
√
√
√
(4)函数y=lg(cos x-sin x)的定义域是 .
总结提醒
三角函数定义域的求法
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式:利用三角函数线求解或利用三角函数的图象求解.
考点二 三角函数的最值和值域
√
(2)函数y=1-cos x的最大值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
√
解析:(2)因为-1≤cos x≤1,所以0≤1-cos x≤2.故选C.
√
√
(5)函数y=-cos2x-cos x+2的最大值为 .
1
总结提醒
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(其中a,b,c为常数,且a,b≠0)
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
√
考点三 三角函数的基本性质
√
(3)已知f(x)=3sin x-4tan x.若f(1)=a,则f(-1)的值为 .
解析:(3)因为f(-x)=3sin(-x)-4tan(-x)=-3sin x+4tan x=
-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(1)=a,所以f(-1)=-a.
-a
(4)已知函数f(x)=sin x(ex+ae-x)是偶函数,则 a= .
解析:(4)f(-x)=sin(-x)(e-x+aex)=-sin x(e-x+aex),f(x)是偶函数,所以-(e-x+aex)=ex+ae-x,整理得(a+1)(1+e2x)=0,1+e2x>0,所以a+1=0,得a=-1.
-1
总结提醒
√
√
√
√
√
√
√
总结提醒
(1)三角函数周期的计算方法
②对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
√
√
√
√
(4)已知函数h(x)=sin x+xcos x,则函数在区间(0,3π)内零点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.5
√
√
√
√
√
√
√
√
总结提醒
(1)三角函数对称轴、对称中心的求法
(2)含绝对值的分段讨论,数形结合.第11讲 三角函数的图象与性质
一、单选题
1.用“五点法”作y=2sin 2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是( )
A.0,,π,,2π B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
2.函数y=3sin(x+)的一条对称轴方程是( )
A.x=0 B.x=
C.x=- D.x=
3.函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=图象交点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.由正切函数的图象可知,“tan x>0”是“x>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列函数中,在其定义域上是增函数的是( )
A.y=()x B.y=
C.y=tan x D.y=logx
6.下列函数中最小正周期为π的是( )
A.y=|sin x| B.y=sin x
C.y=tan D.y=cos 4x
7.已知函数f(x)=cos(2x-),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象关于坐标原点对称
8.已知函数f(x)=cos(2x-),则f(x)在[-2,0]上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
9.已知函数f(x)=cos(2x-),则f(x)在[-2,0]上的值域为( )
A.[-1,1] B.[-1,]
C.[-1,] D.[-,]
10.若函数y=cos(2ωx-)(ω>0)两对称中心间的最小距离为,则ω等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数f(x)=2cos(x+),设a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
12.如图所示,函数y=cos x|tan x|(0≤x<,且x≠)的图象是( )
二、多选题
13.已知函数f(x)=sin 2x,下列说法正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f()>f(-)
C.f(x)的最大值为1
D.f(x)的最小正周期为π
14.已知函数f(x)=tan(2x-),则下列命题中正确的有( )
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)的定义域为(k∈Z)
C.f(x)图象的对称中心为(+,0),k∈Z
D.f(x)的单调递增区间为(-,+),k∈Z
15.已知函数f(x)=cos2x+sin 2x,则( )
A.函数f(x)的解析式可化成f(x)=sin(2x+)+
B.函数f(x)在[0,π]上有2个零点
C.函数f(x)的图象关于点(,0)对称
D.函数f(x)在[0,]上的最大值为
三、填空题
16.函数y=tan(2x+)的最小正周期是 ,定义域是 .
17.已知函数y=2sin ωx(ω>0)在区间[-,]上的最大值为2,则实数ω的取值范围为 .
18.已知函数y=g(x)=sin(ωx+)(ω>0),g(x)图象上的每一点的横坐标缩短到原来的,得到f(x)的图象,f(x)的部分图象如图所示,若·=||2,则ω= .
19.若方程cos(x-)=在区间(0,m)上有5个不相等的实数根,则m的取值范围为 .
四、解答题
20.已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,]时,求f(x)的最小值及取得最小值时自变量x的值.
21.已知函数f(x)=a(sin x+cos x)+2bsin 2x-2(a∈R,b∈R).
(1)若a=1,b=0,证明:函数g(x)=f(x)+在区间[0,]上有且仅有1个零点;
(2)若对于任意的x∈R,f(x)≤0恒成立,求a+b的最大值和最小值.
22.已知函数f(x)=sin x+cos x-asin xcos x,a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈(0,π),关于x的方程f(x)=0有三个不等的实根,求a的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第11讲 三角函数的图象与性质
1.B “五点法”作图是当2x=0,,π,,2π时x的值,此时x=0,,,,π.故选B.
2.B 令x+=+kπ,k∈Z,可得x=+kπ,k∈Z,令k=0,可得x=,所以函数y=3sin(x+)的一条对称轴方程是x=.故选B.
3.C 作出函数y=sin x在[0,2π]上的图象,并作出直线 y=,如图,
观察图象知,函数y=sin x在[0,2π]上的图象与直线y=有两个公共点.故选C.
4.D 由正切函数的图象可知,当tan x>0时,不一定有x>0;当x>0时,不一定有tan x>0,所以“tan x>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.D 对于A,y=()x在R上单调递减,A错误;
对于B,y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,B错误;
对于C,y=tan x在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上单调递增,C错误;
对于D,y=lox在(0,+∞)上单调递增,D正确.故选D.
6.A 对于A,y=|sin x|为y=sin x把x轴下方的图象翻折上去,最小正周期变为π,正确;对于B,y=sin x的最小正周期为2π,错误;对于C,y=tan 的最小正周期为=2π,错误;对于D,y=cos 4x的最小正周期为=,错误.故选A.
7.C f(x)的最小正周期T==π,故A错误;f(x)的最大值为1,故B错误;因为f()=
cos 0=1,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;因为f(0)=cos(-)=≠0,所以f(x)的图象不关于坐标原点对称,故D错误.故选C.
8.D 因为x∈[-2,0],
所以2x-∈[-4-,-],
因为-<-4-<-π<-<0,
所以函数f(x)=cos(2x-)在[-2,0]上先减后增.故选D.
9.C
10.A 因为函数y=cos(2ωx-)(ω>0)两对称中心间的最小距离为,
所以=,则T=π(T为函数的最小正周期),
所以T==π,
解得ω=1.故选A.
11.A a=f()=2cos ,
b=f()=2cos ,
c=f()=2cos ,
因为y=cos x在[0,π]上单调递减,
又0<<<<π,
所以a>b>c.故选A.
12.C y=cos x|tan x|=根据正弦函数的图象,作出函数图象如图所示.故选C.
13.BCD 因为f(x)=sin 2x,定义域为R,所以f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A不正确;因为f()=sin =1,f(-)=sin(-)=-,所以f()>f(-),故B正确;f(x)=sin 2x的最大值为1,故C正确;f(x)的最小正周期为=π,故D正确.故选BCD.
14.ACD 由题知,函数f(x)=tan(2x-),所以f(x)的最小正周期为T==,故A正确;f(x)的定义域满足2x-≠+kπ(k∈Z),即x≠+(k∈Z),所以f(x)的定义域为(k∈Z),故B错误;
f(x)图象的对称中心的横坐标应满足2x-=(k∈Z),即x=+,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为(+,0),k∈Z,故C正确;
f(x)的单调递增区间应满足-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),即-所以f(x)的单调递增区间为(-,+),k∈Z,故D正确.故选ACD.
15.ABD 对于A,f(x)=cos2x+sin 2x=+sin 2x=sin(2x+)+,故A正确;
对于B,因为x∈[0,π],所以2x+∈[,],
此时可得方程sin(2x+)=-的解为x=或x=,
所以f(x)在[0,π]上有2个零点,故B正确;
对于C,x=时,2x+=,
sin(2x+)+=0,
所以点(,0)不是对称中心,故C错误;
对于D,因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
sin(2x+)∈[-,1],
所以f(x)的最大值为,故D正确.
故选ABD.
16.解析:最小正周期为T==,定义域满足2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z.
答案:
17.解析:依题意,ω>0,当-≤x≤时,
-ω≤ωx≤ω,所以解得ω≥2,
所以ω的取值范围是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
18.解析:把g(x)图象上的每一点的横坐标缩短到原来的,得到f(x)=sin(2ωx+)的图象.f(x)的最小正周期T==,因为·=||2,所以·(+)=+·=||2,即·=0,则⊥,即△ABD是等腰直角三角形,则AD=2,即T=2AD=4,即=4,解得ω=.
答案:
19.解析:因为x∈(0,m),
所以x-∈(-,m-),
令t=x-,
要使cos t=在(-,m-)上有5个不相等的实数根,
所以解得故m的取值范围为(,10π].
答案:(,10π]
20.解:(1)f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
故最小正周期T==π.
(2)由于x∈[0,],则2x+∈[,],注意到y=sin x在[0,π]上满足sin x≥0,在(π,]上sin x<0,于是要求f(x)的最小值只用考虑(π,]的情况,由y=sin x在[,]上单调递减,(π,] [,],于是y=sin x在(π,]上单调递减,故2x+=,即x=时,f(x)取到最小值f()=-1.
21.(1)证明:当a=1,b=0时,
f(x)=(sin x+cos x)-2=×(sin x+cos x)-2=2sin(x+)-2,
则g(x)=f(x)+=2sin(x+)-,因为g(0)=-<0,g()=>0,且g(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以g(x)在x∈[0,]上存在零点,因为x∈[0,],所以x+∈[,],所以g(x)在[0,]上单调递增,所以g(x)在[0,]上有且仅有1个零点.
(2)解:令t=sin x+cos x=sin(x+),
则t∈[-,],
所以sin 2x=2sin x·cos x=(sin x+cos x)2-1=t2-1,
因为对于任意的x∈R,f(x)≤0恒成立,
所以at+2b(t2-1)-2≤0恒成立.
令(t)=at+2b(t2-1)-2,则t∈[-,]时,
(t)≤0恒成立.
令t=2(t2-1),
解得t=或-.
当t=时,解得a+b≤1,
取a=1,b=0成立,则(t)=t-2≤·-2=0恒成立,所以(a+b)max=1,
当t=-时,解得a+b≥-2,
取a=-,b=-成立,则(t)=-t-(t2-1)-2=-(t+)2≤0恒成立.
所以(a+b)min=-2,
综上,a+b的最小值为-2,a+b的最大值为1.
22.解:(1)当a=0时,
函数f(x)=sin x+cos x=sin(x+),
由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
可得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.
(2)当x∈(0,π)时,可得x+∈(,),令t=sin x+cos x=sin(x+)∈(-1,],则 sin xcos x=,令g(t)=t-a·=-t2+t+,其图象恒过点(1,1),
①当a=0时,由(1)知f(x)=sin(x+)=0在(0,π)上有唯一根x0=,
不合题意;
②当a<0时,可得g(t)的图象开口向上,对称轴在y轴左侧,Δ=1+a2>0,方程g(t)=0存在两根t1且t1·t2=-1,此时有t1∈(-∞,-1)(舍去),t2∈(0,1),则方程t2=sin(x+)只有一个根,不合题意;
③当a>0时,可得g(t)的图象开口向下,对称轴在y轴右侧,Δ=1+a2>0,方程g(t)=0存在两根t1此时方程t1=sin(x+)有一个根,
t2=sin(x+)有两个不相等的根,
则有g()<0,解得a>2.
综上所述,a的取值范围为(2,+∞).
