主题三 几何与代数
第14讲 平面向量的概念与线性运算
一、单选题
1.已知下列各式:①++;②+++;③+++,其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
2.下列说法正确的是( )
A.若|a|<|b|,则aB.若a,b互为相反向量,则a+b=0
C.空间中两平行向量相等
D.在四边形ABCD中,-=
3.化简6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)为( )
A.6a+2b+8c B.6a-14b
C.-2a-14b D.6a+2b
4.如图,在正六边形ABCDEF中,+ 等于( )
A. B. C.0 D.
第4题图
5.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,若 =a,=b,则向量可表示为( )
第5题图
A.a-b B.a+b
C.-a-b D.-a+b
6.若G是△ABC的重心,且=λ+μ(λ,μ为实数),则λ+μ等于( )
A. B.1 C. D.
7.在△ABC中,点D满足 =,则 等于( )
A.+ B.-
C.+ D.+
8.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,点E满足=,则等于( )
A.a-b
B.a+b
C.a-b
D.a+b
9.已知向量a与b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,C,D三点 B.A,B,C三点
C.A,B,D三点 D.B,C,D三点
10.已知O,A,B三点不共线,点P为该平面内一点,且=+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
11.点A在线段BC上(不含端点),O为直线BC外一点,且满足-a-2b=0,则+的最小值为( )
A. B. C. D.
12.蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的,它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为如图中的正六边形ABCDEF,其中O为正六边形ABCDEF的中心,设=a,=b,若=,=3,则 等于( )
A.a+b B.-a+b
C.-a+b D.a+b
二、多选题
13.下列各式中结果一定为零向量的是( )
A.++
B.+
C.+++
D.-+-
14.如图,在△ABC中,若点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,设AD,BE,CF交于一点O,则下列结论成立的是( )
A.=-
B.=+
C.=+
D.=-
15.在△ABC中,M,N分别是线段AB,AC上的点,CM与BN交于点P,若=+,则( )
A.= B.=2
C.=3 D.=
三、填空题
16.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
17.若向量a,b满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最小值为 ,|a-b|的最大值为 .
18.如图,已知A,B,C三点共线,且向量=4,=λ+μ,则= .
19.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,则实数m的值为 .
四、解答题
20.化简下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
21.如图,在矩形ABCD中,=2,=2,AC与EF交于点N.
(1)若=λ+μ,求λ+μ的值;
(2)设=a,=b,试用a,b表示.
22.如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第14讲 平面向量的概念与线性运算
1.A 由题知结果为零向量的是①.故选A.
2.D 对于A,向量不可以比较大小,所以A错误;
对于B,若a,b互为相反向量,则a+b=0,故B错误;
对于C,两向量相等需要向量的方向相同,且长度相同,故C错误;对于D,四边形ABCD中,-=,故D正确.
故选D.
3.D 根据向量的四则运算可知,
6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.
故选D.
4.A 由向量的加法法则,得+=.故选A.
5.D 因为M,N分别是AB,AC的中点,
所以=,=,
所以=-=-=-a+b.
故选D.
6.B 如图,设D是BC的中点,因为G是△ABC的重心,
所以==(+)=(++)=+,
所以λ=,μ=,所以λ+μ=1.故选B.
7.C 如图,由题意,得=+=+=+(-)=+.故选C.
8.A 由题意知,点E满足=,可得=,
则=-=-=(+)-=a-b.
故选A.
9.C 对于A,因为=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,
所以=+=a+2b-5a+6b=-4a+8b,
所以≠λ,所以A,C,D三点不共线,故A错误;
对于B,因为=a+2b,=-5a+6b,
所以≠λ,所以A,B,C三点不共线,故B错误;
对于C,因为=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,
所以=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,
所以=2,又B是BD与AB的公共点,
所以A,B,D三点共线,故C正确;
对于D,因为=-5a+6b,=7a-2b,
所以≠λ,所以B,C,D三点不共线,故D错误.
故选C.
10.D 由=+,得-=,
所以=·,所以点P在射线AB上.故选D.
11.D 因为-a-2b=0,所以=a+2b,又点A在线段BC上(不含端点),所以 a+2b=1,且a>0,b>0,则2+a+2+2b=5,
所以+
=+
=+=+
=(2+a+2+2b)(+)
=[4++]≥[4+2]=,
当且仅当
即时,等号成立,
故+的最小值为.故选D.
12.B 因为=,=3,由正六边形的性质可知
==,==,
所以=(+),=+=+=+(-)=+,
所以=+
=-(+)++
=-(-+)++(-)
=-+-
=-=-a+b.故选B.
13.ACD 对于A,++=+=0,A正确;
对于B,+=,不一定是零向量,B不正确;
对于C,+++=(+)+(+)=0+0=0,C正确;
对于D,-+-=+-(+)=-=0,D正确.故选ACD.
14.AB 根据向量减法可得=-,故A正确;
因为D是BC的中点,所以=+,故B正确;由题意知O是△ABC的重心,
则==×(+)=+,故C错误;
=-=-×(+)=--=-(+)-=-,故D错误.故选AB.
15.AD 设=m,=n,m,n∈[0,1],由=+,得=+,=+.因为C,P,M三点共线,所以+=1,解得m=.因为N,P,B三点共线,所以+=1,解得n=.故=,=,
即=,=.故选AD.
16.解析:因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=.
答案:
17.解析:当a,b反向时,|a+b|有最小值3-2=1;当a,b反向时,|a-b|有最大值3+2=5.
答案:1 5
18.解析:因为=4,所以-=4(-),
则=+,
因为=λ+μ,,不共线,
故λ=,μ=,所以=3.
答案:3
19.解析:由N是OD的中点得
=+=+(+)=+,
又因为A,N,E三点共线,
设=λ,
则m+=λ(+),
又 与 不共线,
所以解得故实数m=.
答案:
20.解:(1)利用平面向量的加减运算法则可得,
(-)-(-)=+-(+)=
-=+=.
(2)由平面向量的加减运算法则可得,
(++)-(--)
=(+)-(++)
=-(+)=-=0.
21.解:(1)依题意,设=t,
=+=+t=+t(-)
=(1-t)+t=--,
又=λ+μ,
所以
解得λ+μ=-.
(2)因为=+,=+,=+,
所以+=(+)=,
所以=a+b.
22.(1)解:=-=b-a,=-=+=(b-a)+a=b+a.
(2)证明:
由+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,
又=a+b,
所以=+,+=1,
故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.(共33张PPT)
主题三 几何与代数
【学业要求】
能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握平面向量基本定
理;能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系.
能够理解复数的概念,掌握复数代数表示式的四则运算.
能够通过直观图理解空间图形,掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征,解决简单的实际问题.能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果.能够证明简单的几何命题(平行、垂直的性质定理),并会进行简单应用.
重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象的核心素养.
第14讲 平面向量的概念与线性运算
1.向量的有关概念
(1)定义
既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)向量的模
(3)特殊向量
①零向量:长度为0的向量.其方向是任意的,记作0.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
③平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
④相等向量:长度相等,且方向相同的向量.
⑤相反向量:长度相等,且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加
法 求两个向量和的运算 (1)交换律
a+b=b+a;
(2)结合律
(a+b)+c=
a+(b+c)
减
法 求两个向量差的运算 a-b=a+(-b)
数
乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,
λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
(1)向量表达式中的零向量写成0,而不能写成0.
(2)两个向量共线要区别于两条直线共线,两个向量共线满足的条件是两个向量所在直线平行或重合,而在直线中,两条直线重合与平行是两种不同的关系.
(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件,运用平行四边形法则时,两个向量的起点必须重合,和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量;运用三角形法则时,两个向量必须首尾相接,否则就要把向量进行平移,使之符合条件.
注意
(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
推论:
3.向量共线定理
4.常用结论
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b至少有一个为0或者两向量共线时,向量不等式的等号成立.
考点一 平面向量的有关概念
[例1] (1)下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
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总结提醒
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,且方向任意,规定零向量与任意向量共线.
考点二 向量的线性运算
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√
总结提醒
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧
①观察各向量的位置;
②寻找相应的三角形或多边形;
③运用法则找关系;
④化简结果.
(4)与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
考点三 向量共线定理的应用
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总结提醒
利用向量共线定理解题的策略
(1)a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(3)若a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0.
