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第13讲 余弦定理和正弦定理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径.
解三角形多解情况
在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况:
方法技巧
项目 图形 关系式 解的个数
A为
锐角 a=bsin A 一解
bsin A
a≥b 一解
A为钝
角或
直角 a>b 一解
a≤b 无解
2.面积公式
3.正弦定理的应用
内角和定理:A+B+C=π.
(1)边化角,角化边 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)大边对大角,大角对大边
a>b A>B sin A>sin B cos A(4)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B c=acos B+bcos A.
同理有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C.(射影定理)
(5)-cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sinA·sin B.
4.实际应用
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角[如图(1)].
(2)方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α[如图(2)].
相对于某一正方向的水平角.
北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向[如图(3)].
北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.
南偏西等其他方向角类似.
(4)坡角与坡度
坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数[如图(4),角θ为坡角].
坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比[如图(4),i为坡度].坡度又称为坡比.
(3)方向角
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
√
√
A.60° B.75° C.90° D.120°
√
(4)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则最大角为
( )
A.60° B.120° C.135° D.150°
√
√
√
(6)(2022·浙江1月学考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,A=45°,B=60°,则b= .
总结提醒
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数,用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形
√
(2)(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若A>B,则sin A>sin B
B.若sin 2A=sin 2B,则A=B
C.若a2+b2D.若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为直角三角形
√
√
√
(3)(多选题)(2022·浙江7月学考)在锐角△ABC中,有( )
A.sin A+sin B>sin C
B.sin2A+sin2B>sin2C
C.cos A+cos B>sin C
D.cos2A+cos2B>sin2C
√
√
√
(4)已知A,B为锐角△ABC的两个内角,满足 cos 2A=1-
2sin Bsin(A+B),则( )
√
(5)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc.
①求A的大小;
②若b=2,c=3,求a的值;
③若a2=bc,判断△ABC的形状.
总结提醒
(1)判定三角形形状的途径:①化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;②化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
(2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
考点三 三角形面积问题
√
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若(a+c-b)(b+c-a)=
4,C=60°,则△ABC的面积是( )
√
(4)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其面积为S.若
4S=a2+c2-b2,则角B= .
②若b=2,求△ABC的面积.
总结提醒
三角形面积公式的应用原则
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
考点四 与三角形有关的最值(范围)问题
[例4] (1)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B( )
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
√
解析:(1)D 由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.故选D.
√
总结提醒
距离问题的解题思路,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.第13讲 余弦定理和正弦定理
1.A 由正弦定理得sin A∶sin C=a∶c=.故选A.
2.B 因为△ABC外接圆的半径R=1,由正弦定理得=2R,所以=2.故选B.
3.A 在△ABC中,已知a=,b=4,c=3,
则cos A===.故选A.
4.C 因为=,所以=,
解得sin A=,而a所以A=30°.故选C.
5.D 由正弦定理=可得=,解得a=.故选D.
6.A 根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=1+3-2×=1,则b=1.故选A.
7.C 当A=B时,a=b,则由正弦定理得sin A=sin B,
当sin A=sin B时,由正弦定理得a=b,所以A=B,故“sin A=sin B”是“A=B”的充要条件.故选C.
8.C 由余弦定理可得cos C=<0,则C为钝角,即△ABC是钝角三角形.故选C.
9.C 如图,依题意可知,∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理可得,
AB===20.故选C.
10.C 由余弦定理得cos C=,
将其代入a=bcos C,
得a=b·=,
所以2a2=a2+b2-c2,
所以a2+c2=b2,即△ABC为直角三角形.故选C.
11.A 因为B=,
所以在△ABD中,由余弦定理得c2+()2-2c×cos =1,
即a2+4c2-2ac=4,
又S△ABC=acsin B=ac=,
解得ac=2,①
所以a2+4c2-2ac=4=2ac,
即4c2-4ac+a2=0,
所以(2c-a)2=0,即a=2c,②
将②代入①得2c2=2,
解得c=1或c=-1(舍去).故选A.
12.B 在△ABC中,由正弦定理得==,
所以==,
则a=sin A=sin 60°=×=1,
又b=1,A=60°,
所以△ABC是等边三角形,
所以△ABC的面积S△ABC=absin 60°=.故选B.
13.ABC 因为A,C在河的同一侧,所以可以测量b,α与γ.故选ABC.
14.AB 选项A,bsin A=14sin 30°=7=a,则三角形有一解,判断正确;
选项B,bsin A=25sin 150°=,则a>b>bsin A,则三角形有一解,判断正确;
选项C,bsin A=sin 60°=,则a选项D,bsin A=9sin 45°=,则a15.ACD 因为cos A=,而b2+c2-a2=32+22-42=13-16=-3<0,
所以cos A<0,故A>,故A正确;
由A知,cos A==-,
所以sin A===,故B错误;
cos C===,若2B+3C=π成立,只需2(B+C)=π-C成立,即2(π-A)=π-C∈(0,π),所以只需cos[2(π-A)]=cos(π-C),
即cos 2A=-cos C,而cos 2A=2cos2A-1=-,
-cos C=-,故2B+3C=π成立,故C正确;
因为|+|2=(+)2=++2·=4+9+2×2×3cos A=13-3=10,
所以|+|=,故D正确.
故选ACD.
16.解析:因为b=3,a2+c2-ac=9,即a2+c2-ac=b2,
所以cos B==,又B∈(0,π),所以B=.
答案:
17.解析:在△ABC中,若AB=,AC=4,∠CAB=,
则BC==.
设BC边上的高为h,则BC·h=AB·ACsin∠CAB,
h=sin∠CAB=×=.
答案:
18.解析:如图,在△ABC中,
∠BAC=30°,∠CBA=105°,
所以∠ACB=45°,
又AB=800 m,由正弦定理有=,
即=,
解得BC=400 m,又△BCD是直角三角形,
且∠CBD=45°,所以CD=BC=400 m,
所以此山的高度CD=400 m.
答案:400
19.解析:依题意,△ABC的面积为S=(b2+c2),
则bcsin A=(b2+c2),即2bcsin A=b2+c2,
由于0所以0<2bcsin A≤2bc,
由基本不等式可知b2+c2≥2bc,
当且仅当b=c时,等号成立,
所以sin A=1,A=,△ABC是等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
20.解:(1)由cos C=,且0则sin C==,
所以S△ABC=absin C=.
(2)由c2=a2+b2-2abcos C=16+25-5=36,得c=6,
又=,则sin A==.
21.解:(1)在△ABC中,由正弦定理有=,
因为1+=,
所以1+=,
即有2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,
而00,
因此,cos A=,而0所以A=.
(2)由(1)知,A=,而AB=2,
则S△ABC=AB·ACsin A=AC=,解得AC=3,
因为D为BC的中点,则=,
于是得=(++2·)=(22+32+2×2×3cos )=,解得||=,
所以AD的长为.
22.解:(1)因为B=C,所以b=c,
所以2b2=3b2cos A,即cos A=,
又a2=b2+c2-2bccos A,所以4=2b2-2b2·,
所以b=c=,
所以S△ABC=bcsin A=×6×=.
(2)由b2+c2=3bccos A,得b2+c2=3bc·,得b2+c2=3a2,
所以3a2=3bccos A,所以cos A=,
所以+=(+)
=·
=·
===1.第13讲 余弦定理和正弦定理
一、单选题
1.在△ABC中,a=7,c=5,则sin A∶sin C的值是( )
A. B. C. D.
2.已知△ABC外接圆的半径为1,则a∶sin A等于( )
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.无法确定
3.在△ABC中,已知a=,b=4,c=3,则cos A等于( )
A. B. C. D.-
4.已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于( )
A.150° B.150°或30°
C.30° D.60°
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=2,A=45°,B=60°,则a等于( )
A. B.2 C. D.
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 B=30°,a=1,c=,则b等于( )
A.1 B. C.2 D.
7.在△ABC中,“sin A=sin B”是“A=B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a2+b2A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
9.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20 km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.20 km B.20 km
C.20 km D.15 km
10.在△ABC中,若a=bcos C,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
11.如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.点D为BC的中点,AD=1,B=,且△ABC的面积为,则c等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,b=1,=,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.为了测量B,C之间的距离,在河的南岸A,C处测量(测量工具:量角器、卷尺),如图所示.下面是四名同学测得的数据记录,你认为不合理的是( )
A.c与α B.c与b
C.b,c与β D.b,α与γ
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列对△ABC解的个数的判断正确的是( )
A.a=7,b=14,A=30°,有一解
B.a=30,b=25,A=150°,有一解
C.a=,b=,A=60°,有一解
D.a=6,b=9,A=45°,有两解
15.在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,则( )
A.A> B.sin A=
C.2B+3C=π D.|+|=
三、填空题
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,a2+c2-ac=9,则B= .
17.在△ABC中,若AB=,AC=4,∠CAB=,则BC边上的高为 .
18.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上,行驶800 m后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为45°,则此山的高度CD= m.
19.已知△ABC的面积为S=(b2+c2)(其中b,c为△ABC的边长),则△ABC的形状为 .
四、解答题
20.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,b=5,cos C=.
(1)求△ABC的面积;
(2)求边长c及sin A的值.
21.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且1+=.
(1)求A;
(2)若D为BC的中点,且△ABC的面积为,AB=2,求AD的长.
22.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2=3bccos A.
(1)若B=C,a=2,求△ABC的面积;
(2)求+的值.
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