第12讲 函数y=Asin(ωx+)及其应用
1.C 函数y=sin x,y=cos x的最小正周期均为2π,A,B都不正确;函数y=tan x的最小正周期为π,C正确;函数y=sin的最小正周期为=4π,D不正确.故选C.
2.D 根据题意可得,函数y=2sin(x-)的周期T==4π,振幅为2,初相为-.故选D.
3.B 将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin[2(x-)+]=sin(2x-)的图象.故选B.
4.A 将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得y=sin 2x的图象,再把得到的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin(2x-)的图象.故选A.
5.D 因为f(x)=2tan(2x+)=2tan[2(x+)],所以将g(x)=2tan 2x的图象向左平移个单位长度,便可得到f(x)=2tan(2x+)的图象.故选D.
6.B 依题意,将y=sin(x-)的图象向左平移 个单位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到f(x)的图象,所以y=sin(x-)的图象y=sin(x+)的图象f(x)=sin(+)的图象.故选B.
7.D 函数y=2sin(2x+)的周期为T==π,图象向右平移个周期,即平移个单位长度后,所得图象对应的函数为y=2sin[2(x-)+],即y=2sin(2x-).故选D.
8.D y=f(x-)=sin[ω(x-)+]=sin(ωx-ω+),cos(ωx)=sin(ωx+),k∈Z,
由题可知,-ω+=2kπ+,k∈Z,
解得ω=-12k-1,k∈Z,
又ω>0,所以当k=-1时,ω取得最小值11.故选D.
9.C 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=2f(x)的图象.故选C.
10.C 对于选项A,由图象可知,f(x)的最小正周期T=4[-(-)]=4π,故A错误;对于选项B,由图可知A=2,因为T=,所以=4π,即 ω=,故f(x)=2sin(x+),因为点(,2)在f(x)的图象上,所以2=2sin(×+),即1=sin(+),又||<,所以=,所以 f(x)=2sin(x+),故B错误;对于选项C,因为f()=2sin(+)=0,所以点(,0)是f(x)图象的一个对称中心,故C正确;对于选项D,因为f(2π)=2sin(π+)≠±2,故D错误.故选C.
11.A 由题可得f(x)=-cos 2x+sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
所以g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+2+),因为函数g(x)的图象关于点(,0)对称,
所以2×+2+=kπ,k∈Z,即=-+,k∈Z,又>0,所以的最小值是.故选A.
12.B 由题意,在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1]上至少需要49个周期,即个周期,
所以T=·≤1,
所以ω≥,ω的最小值为.故选B.
13.BD 由图象可知,A=2,k==1,故A错误,D正确;
又由图象可得T=2×(+)=π,所以=π,
又ω>0,所以ω=2,故B正确;
所以f(x)=2sin(2x+)+1,又f(-)=3,
所以2sin[2×(-)+]+1=3,
所以sin(-+)=1,又0<<π,所以=,
所以f(x)=2sin(2x+)+1,故C错误.故选BD.
14.AB 对于A选项,函数y=f(x)的最大值为 ,故A正确;对于B选项,函数y=f(x)的最小正周期T==π,故B正确;对于C选项,当15.AB 由题意可知3×+=+kπ(k∈Z) =-+kπ,k∈Z,又-<<,
故=-,f(x)=sin(3x-),
对于A项,f(x+)=sin[3(x+)-]=sin 3x,由诱导公式知-sin 3x=sin(-3x),即函数f(x+)为奇函数,故A正确;
对于B项,x∈[,] 3x-∈[0,],由正弦函数的图象及性质可知函数f(x)在[,]上单调递增,故B正确;
对于C项,易知f(x)max=1,若|f(x1)-f(x2)|=2,则f(x1)与f(x2)一个取得最大值,一个取得最小值,即x1与x2相隔最近为半个周期,即|x1-x2|的最小值为=,故C错误;
对于D项,由三角函数的伸缩变换可知,函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,得到函数y=sin(9x+)的图象,故D错误.故选AB.
16.解析:振幅A=3,令x=0,则初相=.
答案:3
17.解析:当t=12时,
f(12)=2sin(5π-)=2sin=1,
即12点时潮水的高度是1 m.
答案:1
18.解析:将函数f(x)=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,得到y=sin 2x 的图象,再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,
则g(x)=sin[2(x-)]=sin(2x-).
答案:sin(2x-)
19.解析:因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,
令f(x)=cos ωx-1=0,
则cos ωx=1有3个根,
令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,
故2≤ω<3.即ω的取值范围是[2,3).
答案:[2,3)
20.解:(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象可得A=,·=-=,所以ω=2.再根据“五点法”可得2×+=π,
所以=,f(x)=sin(2x+).
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得y=sin[2(x-)+]=sin(2x-)的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,
得到函数g(x)=sin(4x-)的图象.
由x∈[0,],可得4x-∈[-,π],又因为函数g(x)在[0,)上单调递增,在[,]上单调递减,所以g(0)=-,g()=,g()=0,所以g(x)=sin(4x-)∈[-,].
所以函数g(x)在[0,]上的值域为[-,].
21.解:(1)由题意得
y=sin[2(x+)+]=sin(2x++)=cos 2x,
所以+=+2kπ,k∈Z,
解得=+2kπ,k∈Z.
因为||<,所以=.
(2)因为f(x)=cos 2x,令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,
解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为[kπ,+kπ],k∈Z.
22.解:(1)由题意知g(x)=2sin(x+),
根据函数y=g(x)的图象关于直线x=对称,
得+=+kπ(k∈Z),即=+kπ(k∈Z),
又0<<,
所以=,则g(x)=2sin(x+),
则h(x)=f(x)g(x)=4sin xsin(x+)
=4sin x(sin x+cos x)
=2sin2x+2sin xcos x
=1-cos 2x+sin 2x=2sin(2x-)+1,
则函数y=h(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故函数y=h(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)列表如下:
x - - -
2x- - -π - 0
Sin(2x-) 0 -1 0 1
h(x) 2 1 -1 1 3 2
故y=h(x)在区间[-,]上的大致图象如图所示.(共49张PPT)
第12讲 函数y=Asin(ωx+ )及其应用
1.简谐运动的有关概念
√
√
√
总结提醒
√
√
①②③
总结提醒
8 096
②求f(x)的最小正周期;
①求f(x)的表达式;
所以实数m的取值范围是[1,2).
√
√
√
总结提醒
(2)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
2门世2有
3厚
画出y=sinx的图象
步骤
画出y=sinx的图象
Ip个单
向左（右）
横坐标变为原来的
1
倍
平移
位长度
得到y=sin(x+p)的
步
得到y=sin wx的
图象
2
图象
横坐标变为
原来的。倍
向左（右）
喘个单
平移
位长度
得到y=sin(ωx+p)
步
得到y=sin(@x+p)
的图象
3
的图象
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标变为原来的A倍
得到y=Asin(ωx+p)
步骤
得到y=Asin(wx+p)
的图象
的图象
2sin3x-E）
2
努
y=sin x
元
2π
x
-1
3
2
A
2
1
1
I
1
0
i
X
1111111
-2
B
y=g(x)
y=f(x)
匹3
0
5元
光
12
1
5
4
0
1
7
2
%
4
-1
y↑
3
0
5π
X
12
y米
1
0
兀
元
12
3
-1
y=2sin t
2
y=m
1
元
6
0
5π
t
6
-1第12讲 函数y=Asin(ωx+)及其应用
一、单选题
1.下列函数中,最小正周期为π的是( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=tan x D.y=sin
2.函数y=2sin(x-)的周期、振幅、初相分别是( )
A.2π,-2, B.4π,-2,
C.2π,2,- D.4π,2,-
3.将函数y=sin(2x+),x∈R的图象向右平行移动 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=sin(2x+) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)
4.为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只要将函数y=sin x图象上所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移个单位长度
C.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度
5.为了得到函数f(x)=2tan(2x+)的图象,只需将函数g(x)=2tan 2x的图象( )
A.向上平移个单位长度
B.向上平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
6.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则 f(x)等于( )
A.sin(-) B.sin(+)
C.sin(2x-) D.sin(2x+)
7.将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin(2x+)
B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(2x-)
D.y=2sin(2x-)
8.将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)=cos(ωx)的图象重合,则ω的最小值为( )
A.7 B.5 C.9 D.11
9.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则函数y=2f(x)在[-π,π]上的大致图象为( )
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)=2sin(x-)
C.点(,0)是f(x)图象的一个对称中心
D.直线x=2π是f(x)图象的一条对称轴
11.已知函数f(x)=cos(2x-)+sin(2x-),将函数f(x)的图象向左平移(>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于点(,0)对称,则的最小值是( )
A. B.
C. D.
12.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为( )
A.98π B.
C. D.100π
二、多选题
13.函数f(x)=Asin(ωx+)+k(A>0,ω>0,0<<π)在一个周期内的图象如图所示,则( )
A.A=4 B.ω=2
C.= D.k=1
14.关于函数f(x)=sin(2x+)有下列说法,其中正确的是( )
A.y=f(x)的最大值为
B.y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数
C.y=f(x)在区间(,)上单调递减
D.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度后,将与y=f(x)的图象重合
15.已知函数f(x)=sin(3x+)(-<<)的图象关于直线x=对称,则( )
A.函数f(x+)为奇函数
B.函数f(x)在[,]上单调递增
C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为
D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的,得到函数y=sin(x+)的图象
三、填空题
16.函数y=3sin(x+)的振幅是 ,初相是 .
17.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)=2sin(t-),其中f(t)的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水的高度是 m.
18.将函数f(x)=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)= .
19.已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
四、解答题
20.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象,如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,当x∈[0,]时,求函数g(x)的值域.
21.将函数y=sin(2x+)(||<)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)=cos 2x 的图象.求:
(1)的值;
(2)f(x)的单调递减区间.
22.把函数f(x)=2sin x的图象向左平移(0<<)个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,函数y=g(x)的图象关于直线x=对称,记函数 h(x)=f(x)g(x).
(1)求函数y=h(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)画出函数y=h(x)在区间[-,]上的大致图象.
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