第16讲 平面向量的数量积
一、单选题
1.向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,则a·b等于( )
A.4 B.2 C.-2 D.1
2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a⊥b,则a+b等于( )
A.(-2,-1) B.(3,-1)
C.(2,1) D.(-3,1)
3.已知|a|=2,b在a上的投影为,则a·b等于( )
A. B.- C. D.-
4.设a,b,c是任意向量,则下列结论一定正确的是( )
A.0·a=0
B.(a·b)c=a(b·c)
C.|a|+|b|<|a+b|
D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
5.设a,b是不共线的两个向量,若命题p:a·b>0,命题q:a,b夹角是锐角,则命题p是命题q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则|a-2b|等于( )
A.2 B. C. D.1
7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则a 与 b的夹角为( )
A. B. C. D.
8.如图,△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则·等于( )
A. B. C.3 D.2
第8题图
9.设向量a=(,1),b=(1,-),则向量a-b与b的夹角为( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,AC=2,BC=1,∠ACB=120°,=2,则·等于( )
A.- B.- C. D.
11.若平面向量a,b满足|a|=|b|=a·b=2,则对于任意实数λ,|λa+(1-λ)b|的最小值是( )
A. B.1 C.2 D.2
12.已知直角梯形ABCD,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=DC=AB=1,P是线段BC上的一点,则·的取值范围为( )
第12题图
A.[-1,1] B.[0,2]
C.[-2,2] D.[-2,0]
二、多选题
13.对任意平面向量a,b,c,下列命题中真命题是( )
A.若a·b=b·c,则a=c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.|a|-|b|<|a|+|b|
D.|a·b|≤|a||b|
14.已知向量a=(1,2),b=(3,m),下列选项正确的是( )
A.若a∥b,则m=-6
B.若a⊥b,则m=-
C.若向量a与b的夹角为锐角,则m>-
D.若m=-1,则向量a在向量b上的投影向量为b
15.在△ABC中,OA=1,OB=,∠AOB=45°,=,则下列选项正确的是( )
A.=+
B.·=1
C.|+t|min=
D.向量在向量上的投影向量为
三、填空题
16.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),则a·b= ,a在b方向上的投影为 .
17.已知向量满足|a|=1,且a·b=2,若a与b的夹角为,则|b|= .
18.设非零向量a,b的夹角为θ,若|a|=2|b|,且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意θ恒成立,则实数λ的取值范围为 .
19.如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=2,·==1,记△ABC与△ACD的面积分别为S1,S2,则S2-S1的值为 .
四、解答题
20.已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=3,a·b=6.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|3a-4b|.
21.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,||=2||=2,∠BAD=,E是BC边的中点.
(1)试用,表示,;
(2)求·的值.
22.已知向量e1,e2为互相垂直的两个单位向量,若向量a=(1-t)e1+3te2,b=
(1-t)e1+(1+t)e2(t∈R),
(1)求当t为何值时,|a|取到最小值;
(2)当|a|取到最小值时,求|a-λe1|+|b-μe2|+|λe1-μe2|(λ,μ∈R)的最小值.
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1.D 因为向量a,b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,
所以a·b=|a|·|b|cos 60°=1×2×=1.
故选D.
2.B 因为a⊥b,所以2x-2=0,所以x=1,所以b=(1,-2),a+b=(3,-1).故选B.
3.C 因为|a|=2,b在a上的投影为,可得=,所以a·b=|a|=×2=.
故选C.
4.D 向量的数量积是数量,选项A错误;(a·b)c是与c共线的向量,a(b·c)是与a共线的向量,显然等式不恒成立,选项B错误;|a|+|b|≥|a+b|,选项C错误;(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2,向量的数量积满足乘法的运算法则,选项D正确.故选D.
5.C 因为向量a和b是不共线的两个向量,由a·b>0,可得cos
>0,则a和b的夹角为锐角,反之,若a和b的夹角为锐角,可得cos>0,则a·b>0,所以命题p是命题q成立的充要条件.故选C.
6.D |a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×1××cos +4×=1,所以|a-2b|=1.故选D.
7.C 因为|a-b|=,所以a2+b2-2a·b=3,
所以1+4-2×1×2×cos=3,所以cos=,
因为∈[0,π],所以=.故选C.
8.A 因为△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,由圆的性质得||cos<,>=||,
有·=||||cos<,>=||2=2,同理·=||2=,
所以·=·(-)=·-·=.故选A.
9.D 因为a=(,1),b=(1,-),
所以a-b=(,1)-(1,-)=(0,4),
(a-b)·b=0×1+4×(-)=-4,
所以cos==-,
又∈[0,π],所以=.故选D.
10.B 如图,点D是线段BA上靠近A点的三等分点,在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB=7,
AB=,
由正弦定理得=,
所以sin∠ABC=,因为∠ACB=120°,所以∠ABC是锐角,cos∠ABC=,
·=·(+)=·+·=||·||·cos∠ACB+||·||·cos∠ABC=1×2×(-)+1××=-.故选B.
11.A 由题意,|λa+(1-λ)b|==
=
==
≥,当且仅当λ=时,等号成立,故
|λa+(1-λ)b|的最小值是.故选A.
12.D 法一 因为点P在线段BC上,不妨设=λ,则=(1-λ)·(其中0≤λ≤1),所以·=(+)·=·+·=(1-λ)·+λ·=(1-λ)·+λ·(1-λ)=(1-λ)×2××cos 135°+λ(1-λ)×=-2(1-λ)+2λ(1-λ)=-2λ2+4λ-2=-2(λ-1)2,因为0≤λ≤1,所以-2(λ-1)2∈[-2,0].故选D.
法二
如图,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(1,1),其中∠ABC=45°,设点P(2-m,m),其中0≤m≤1,=(2-m,m),=(m-1,1-m),所以·=(2-m)·(m-1)+(1-m)m=-2m2+4m-2=-2(m-1)2,因为0≤m≤1,所以·=-2(m-1)2∈[-2,0].故选D.
13.BD 若a·b=b·c,则a=c,反例,若b=0,则a与c具有任意性,所以A不正确;若a=b,b=c,则a=c,向量相等的充要条件,所以B正确;|a|-|b|<|a|+|b|,如果b=0,则不等式不成立,所以C不正确;|a·b|=|a||b|·|cos|≤|a||b|,所以D正确.故选BD.
14.BD A选项,若a∥b,则m-2×3=0,解得m=6,A错误;B选项,a⊥b,故3+2m=0,解得m=-,B正确;C选项,向量a与b的夹角为锐角,故a·b>0且a与b不同向共线,故1×3+2m>0且m≠2×3,解得m>-且m≠6,C错误;D选项,若m=-1,则向量a在向量b上的投影向量为·=b=b,D正确.故选BD.
15.BCD 如图所示.
对于A,由=可得=,
所以=+=+=+(-)=+,因此A错误;
对于B,·=||||cos∠AOB=1××=1,可知B正确;
对于C,易知|+t|2=||2+t2||2+2t·=1+2t2+2t=2(t+)2+,
显然2(t+)2+≥,当t=-时,等号成立;
所以|+t|≥,可得|+t|min=,即C正确;
对于D,向量在向量上的投影向量为==,即可得D正确.故选BCD.
16.解析:因为向量a=(1,2),b=(-3,4),
所以a·b=1×(-3)+2×4=5,
a在b方向上的投影为===1.
答案:5 1
17.解析:由题意,得a·b=|a|·|b|cos =1×|b|×=2,所以|b|=4.
答案:4
18.解析:由题意,非零向量a,b的夹角为θ,且|a|=2|b|,
则a·b=|a|·|b|cos θ=2|b|2cos θ,
因为不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意θ恒成立,
所以(2a+b)2≥(a+λb)2,
即4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2,
整理得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立,
因为cos θ∈[-1,1],
所以
即可得-1≤λ≤3,
即实数λ的取值范围为[-1,3].
答案:[-1,3]
19.解析:·=-2cos∠ABC=·=
2cos∠ADC=1,
所以cos∠ABC=-,cos∠ADC=,
所以∠B=120°,∠D=60°,
在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
即-=,
得BC2-AC2=-2BC-4,①
在△ACD中,由余弦定理得cos D=,
即=,得
CD2-AC2=2CD-4,②
又S1=AB·BCsin 120°=BC,
S2=AD·CDsin 60°=CD,
所以S2-S1=CD-BC=(CD-BC),③
由②-①,得CD2-BC2=2(CD+BC),
由CD+BC>0,
得CD-BC=2,代入③得S2-S1=.
答案:
20.解:(1)设a与b的夹角为θ,0≤θ≤π,
因为|a|=4,|b|=3,a·b=6,
所以cos θ===,
所以θ=,即a与b的夹角为.
(2)由题意得,
|3a-4b|====12.
21.解:(1)=+=+,
=(+)=(++)
=+,
=-=+-=-.
(2)由题意可知,
||===1,=-,
所以·=(-)·(+)
=||2-||2-·
=||2-||2-||||·cos
=×4-×1-×2×1×=.
22.解:(1)由向量e1,e2为互相垂直的两个单位向量,得==1,e1·e2=0,
于是|a|=
=
=
=≥,
当且仅当t=时,等号成立,|a|取到最小值.
(2)由(1)知,当t=时,a=e1+e2,b=e1+e2,
而|λe1-μe2|==|λe1+μe2|,
因此|a-λe1|+|b-μe2|+|λe1-μe2|=|a-λe1|+|b-μe2|+|λe1+μe2|
=|(-λ)e1+e2|+|e1+(-μ)e2|+|λe1+μe2|≥|e1+e2|=3,
当且仅当=且=,
即λ=,μ=1时,等号成立,
故当|a|取到最小值时,|a-λe1|+|b-μe2|+|λe1-μe2|的最小值为3.(共36张PPT)
第16讲 平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,规
定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义
①向量的投影:|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影数量,当θ为锐角时,它是正数;当θ为钝角时,它是负数;当θ为直角时,它是0.
②a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积.
1.平面向量的数量积
(1)定义
2.数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ,则
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3.数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则
(1)e·a=a·e=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
4.数量积的坐标运算
a⊥b的充
要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0
a∥b的充要
条件 a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b
时,等号成立)
(1)b在a上的投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以等于0.
(2)数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时,不能得到a=0或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0.
(3)若a,b,c是实数,则ab=ac b=c(a≠0),但对于向量,就没有这样的性质,即若向量a,b,c满足a·b =a·c(a≠0),不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘一个向量.
(4)数量积运算不适合结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.
5.常用结论
考点一 平面向量的数量积运算
[例1] (1)设平面向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·
(2a+b)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析:(1)由题意,a·(2a+b)=2a2+a·b=2×12+1×2×cos 120°=2-1=1.故选A.
(2)(2023·浙江7月学考)已知平面向量a=(1,-1),b=(2,λ),若a⊥b,则实数λ等于( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
√
解析:(2)因为a=(1,-1),b=(2,λ)且a⊥b,
所以a·b=1×2+(-1)×λ=0,解得λ=2.故选A.
-2
6
总结提醒
(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
考点二 平面向量数量积的性质
√
(2)已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(7)(2022·浙江7月学考)已知平面向量a,b是非零向量.若a在b上的投影向量的模为1,|2a-b|=1,则(4a-b)·b的取值范围是 .
[3,4]
解析:(7)由|2a-b|=1得4a2-4a·b+b2=1,
所以(4a-b)·b=4a2-1,由题意,
令b=(b,0),a=(±1,y),
则|2a-b|=1即(±2-b)2+(2y)2=1,可得4y2∈[0,1],
所以4a2-1=4[(±1)2+y2]-1=4y2+3∈[3,4].
总结提醒
(3)两向量垂直的应用,两非零向量垂直的充要条件是a⊥b
a·b=0 |a-b|=|a+b|.
考点三 向量与三角函数的交汇
[例3] (1)(2021·浙江7月学考)某简谐运动的图象如图所示,若A,B两点经过x秒后分别运动到图象上E,F两点,则下列结论不一定成立的是( )
√
总结提醒
向量与三角函数综合问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决.