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第15讲 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标表示
(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),
考点一 平面向量基本定理及其应用
[例1] (1)若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下面的四个选项中不能作为一个基底的是( )
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1
D.e2和e1+e2
√
(2)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论.
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析:(2)A 由平面向量基本定理知,存在唯一的一对实数x,y,使a=xi+yj,①正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,④错误.故选A.
√
√
√
总结提醒
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
考点二 平面向量的坐标运算
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(3,1) D.(-4,1)
√
(2)已知向量a=(2,1),b=(0,1),则a-b等于( )
A.(2,0) B.(2,1)
C.(-2,0) D.(-1,1)
√
解析:(2)A 因为向量a=(2,1),b=(0,1),
所以a-b=(2-0,1-1)=(2,0).
故选A.
(3)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c等于( )
√
A.(5,7) B.(-3,-3)
C.(3,3) D.(-5,-7)
√
(5)在△ABC中,A(3,1),AB的中点为D(2,4),△ABC的重心G(3,4),则B,C的坐标分别为( )
A.(1,7),(4,5) B.(1,7),(5,4)
C.(7,1),(4,5) D.(7,1),(5,4)
√
√
A.[1,2] B.[1,3]
C.[2,3] D.[2,4]
√
解析:(7)C 以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0),B(1,0),E(-1,1),设P(t,1)(0≤t≤1),则(t,1)=x(1,0)+y(-1,1),所以t=x-y,且y=1,
故x+y=t+2∈[2,3].故选C.
总结提醒
(1)巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.
考点三 平面向量共线的坐标表示
[例3] (1)若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
(2)(2022·浙江7月学考)已知平面向量 a=(2,4),b=(x,6).若a∥b,则实数x 等于( )
A.-3 B.3 C.-12 D.12
√
√
√
√
(4)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
总结提醒
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=
(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=
λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来
求解.第15讲 平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1.向量a=(x,2),b=(1,-2),若a∥b,则x等于( )
A.4 B.2
C.1 D.-1
2.若点A(1,-1),B(-1,2),则等于( )
A.(2,-3) B.(-2,3)
C.(0,1) D.(2,1)
3.在△ABC中,=3,则等于( )
A.+ B.+
C.+ D.+
4.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,那么向量 +等于( )
A. B. C. D.
第4题图
5.已知A(-3,1),B(x,-1),C(2,3)三点共线,则x的值为( )
A.-7 B.-8 C.-9 D.-10
6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则等于( )
第7题图
A.a-b B.-a+b
C.-a+b D.-a+b
8.已知点A(3,-2),B(-5,-1),且=,则点P的坐标为( )
A.(-1,-) B.(-8,1)
C.(1,) D.(8,-1)
9.在△ABC中,已知A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线AD上一点,且||=2||,那么点C的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+(b-2c)+c=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
11.已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则 等于( )
A.- B.
C.-2 D.2
12.如图,在等腰△ABC中,已知||=||=2,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈R,且λ+2μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
13.下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.e1=(0,2),e2=(,0)
B.e1=(0,0),e2=(1,-2)
C.e1=(1,3),e2=(-2,-6)
D.e1=(3,5),e2=(5,3)
14.已知向量a=(1,-2),b=(t,1),若a+b与3a-2b共线,则下列结论正确的是( )
A.t= B.|b|=
C.a·b=- D.a∥b
15.如图,在△ABC中,=,E是线段BC上的点,且满足=2,线段CD与线段AE交于点F,则下列结论正确的是( )
A.=+
B.3DF=2CF
C.=+
D.4=3
三、填空题
16.已知向量a=(1,2),b=(0,-1),c=(x,-2),若a∥c,则x= ;若(a-2b)⊥c,则x= .
17.若向量a=(1,x),b=(2,1),且a与b的夹角为锐角,则x的取值范围为 .
18.在平行四边形ABCD中,G为△BCD的重心,=x+y,则x-2y= .
19.如图,在△ABC中,点D在线段AB上,且AD=AB,E是CD的中点,延长AE交BC于点H,点P为直线AH上一动点(不含点A),且=λ+μ(λ,μ∈R).若AB=4,且λAC=μBC,则△CAH的面积的最大值为 .
四、解答题
20.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点 A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.
21.如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,B,C在第一象限,||=2||=2,∠OAB=,=(-1,).
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断四边形OABC的形状,并求出其周长.
22.如图,圆心为C的定圆的半径为3,A,B为圆C上的两点.
(1)若cos∠CAB=,当k为何值时,+2与k-垂直
(2)若|+t|的最小值为2,求||的值;
(3)若G为△ABC的重心,直线l过点G交边AB于点P,交边AC于点Q,且=λ,=μ.证明:+为定值.
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1.D 由题意=,则x=-1.故选D.
2.B 因为A(1,-1),B(-1,2),
所以=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3).故选B.
3.A
=+=+=+(-)=+.故选A.
4.A +=+=.故选A.
5.B 因为A(-3,1),B(x,-1),C(2,3),所以=(5,2),=(x-2,-4).因为A,B,C三点共线,所以∥,即2(x-2)=-4×5,解得x=-8.故选B.
6.D 由题意知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,
所以d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-6+8-4,18-16-8)=(-2,-6).故选D.
7.D 因为在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AF=2FE,=a,=b,
所以=-=-=-(+)=-+=-+×=-+=-+=-a+b.
故选D.
8.A 点A(3,-2),B(-5,-1),且=,设点P的坐标为(x,y),则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,),所以解得故点P的坐标为(-1,-).故选A.
9.C 由题意,知G是△ABC的重心,设C(x,y),则有解得
故点C的坐标为(4,-2).故选C.
10.B 因为在△ABC中三边都不共线,a+(b-2c)+c=0,所以(a-c)+(b-c)=0,所以a-c=0,b-c=0,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形.故选B.
11.C 因为a∥b,
所以存在唯一一个实数λ,使a=λb,
即me1+2e2=λ(ne1-e2),
则得=-2.故选C.
12.B 在等腰△ABC中,·=||||cos A=-2,因为E,F分别是边AB,AC上的点,M,N分别是EF,BC的中点,所以=(+)=(μ+λ),=(+),而=-=[(1-λ)+(1-μ)],左右两边平方得=[(1-λ)2+2(1-λ)(1-μ)·
·+(1-μ)2·]=[4(1-λ)2-4(1-λ)(1-μ)+4(1-μ)2]=λ2+μ2-λμ-λ-μ+1,
又因为λ+2μ=1,
所以=7μ2-4μ+1=7(μ-)2+,
所以当μ=时,的最小值为,
即||的最小值为.故选B.
13.AD 对于A,0×0-2×≠0,e1,e2可以作为基底;对于B,e1=0·e2,e1,e2共线,不能作为基底;对于C,e1=-·e2,e1,e2共线,不能作为基底;对于D,3×3-5×5≠0,e1,e2可以作为基底.故选AD.
14.BCD 因为a+b=(t+1,-1),3a-2b=(3-2t,-8),
且a+b与3a-2b共线,
所以-8(t+1)=-(3-2t),所以t=-,故A错误;
由题可知|b|==,故B正确;
因为a=(1,-2),b=(-,1),
所以a·b=-+(-2)=-,故C正确;
因为a=(1,-2),b=(-,1),且1×1-(-2)×(-)=0,所以a∥b,故D正确.故选BCD.
15.ACD 由题意,=+=+=+(-)=+,故选项A正确;由与共线,设=λ(λ∈R),得=λ=λ(+)=+,
由C,F,D三点共线,得=t+(1-t)=+(1-t),
由平面向量基本定理,可得解得所以=+,=,
4=3,故选项C,D正确;
由C,F,D三点共线,设=k(k∈R),
则-=k(-),化简为(1-k)=-k,由选项C可得,
(1-k)(+)=-,
再由平面向量基本定理得,得k=-1,
所以=-,即DF=CF,故选项B错误.故选ACD.
16.解析:因为a∥c,所以1×(-2)=2x解得x=-1;
因为a=(1,2),b=(0,-1),所以a-2b=(1,4),
因为(a-2b)⊥c,所以1·x+4×(-2)=0,解得x=8.
答案:-1 8
17.解析:因为向量a=(1,x),b=(2,1),且a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,且a与b不共线,由a·b>0,得2+x>0,解得x>-2,
若a与b共线,则=,得x=,
所以当x≠时,a与b不共线.
综上,x>-2,且x≠,
即x的取值范围为(-2,)∪(,+∞).
答案:(-2,)∪(,+∞)
18.解析:如图,设AC与BD相交于点O,由G为△BCD的重心,得CG=2GO,则=+=+==×(+)=+,
因为=x+y,
所以x=y=,
故x-2y=-.
答案:-
19.解析:因为E是CD的中点,得=(+)=
+,设=t,所以=+,因为B,C,H三点共线,所以+=1,解得t=,
所以=+,所以||=||,
所以||=3||,所以=,
所以S△ACH=S△ABC,延长BC于M,使得CM=AC,延长AC于点N,使CN=BC,连接MA,BN,连接MN并延长交AB的延长线于点O,如图所示,
则△BCN∽△MCA,且相似比为,所以=,所以△NOB∽△MOA,所以=,所以AO=3BO,所以AB=2BO.因为AB=4,所以BO=2,所以△AOM为等腰三角形,且OA=OM=6,所以S△AOM≤×6×6=18.因为=×=,所以S△ABC≤18×=3,所以S△ACH≤×3=,所以△CAH的面积的最大值为.
答案:
20.解:(1)设B(x1,y1),
因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
所以所以
所以B(3,1),同理可得D(-4,-3),
设BD的中点M(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M(-,-1).
(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
因为P,B,D三点共线,所以∥,
所以-4+7×(1-y)=0,
解得y=.
21.解:(1)在平面直角坐标系中,由||=2,知A(2,0),
设B(xB,yB),
又∠OAB=,||=1,
则xB=2+cos(π-)=,
yB=sin(π-)=,
所以B(,).
又=(-1,),
所以=+=(,)+(-1,)=(,),
所以C(,).
(2)由(1)可得=(,),=(,),
所以=3.
所以∥,||=3||=3.
又||==2,||=2,
所以四边形OABC为等腰梯形.
因为||=2,||=1,||=2,||=3,
所以四边形OABC的周长为8.
22.(1)解:因为CA=CB=3,cos∠CAB=,所以由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,即AB2-4AB=0,所以AB=4,
若+2与k-垂直,
则(+2)·(k-)=0,
所以k+(2k-1)·-2=0,
所以9k+(2k-1)×4×3×-32=0,
解得k=,即当k=时,+2与k-垂直.
(2)解:设||=m(0所以·=||||cos θ=||||·
=||2,
又|+t|===
==,所以当t=-时,|+t|有最小值,所以=2,解得m=2(负值舍去),即|+t|取最小值2时,||=2.
(3)证明:因为G为△ABC的重心,
所以=·(+)=+,
又因为=λ,=μ,
所以=+=+,
由于P,G,Q三点共线,所以+=1,所以+为定值3.
