第19讲 空间点、直线、平面的位置关系
1.B 因为点Q在直线b上,所以Q∈b.又因为直线b在平面α内,所以b α.所以Q∈b α.故选B.
2.D 根据题意,两点确定一条直线,由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,可知直线上至多有一个点在平面内.故选D.
3.D 如图所示,设平面FBCH为平面α,若AE=a,EG=b,故a∥α,b∥α,a,b相交;若AE=a,MN=b,故a∥α,b∥α,a,b异面;若AE=a,GD=b,故a∥α,b∥α,a,b平行.故选D.
4.B
5.B 由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行,所以m,n,l可能没有公共点,所以不能推出m,n,l两两相交,故充分性不成立.由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点,可设l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C,且A n,所以点A和直线n确定平面α,而B,C∈n,所以B,C∈α,所以l,m α,所以m,n,l在同一平面内,故必要性成立.故选B.
6.D 因为直线l∥平面α,直线m 平面α,
所以l∥m或l与m是异面直线,则l与m没有公共点.故选D.
7.B 当这三个点在一条直线上时,则α,β平行或相交,故充分性不成立;若α∥β,则α内每个点到β的距离都相等,故必要性成立,所以“α内有三个点到β的距离相等”是“α∥β ”的必要不充分条件.故选B.
8.C
如图,连接CM,取CM的中点G,连接NG,C1G,因为N为AC的中点,所以NG∥AM,因为NG 平面NC1G,AM 平面NC1G,所以AM∥平面NC1G,所以AM与平面NC1G没有公共点,因为C1N 平面NC1G,所以直线AM与C1N没有公共点,所以直线AM与C1N不可能相交,因为NG∩C1N=N,NG∥AM,所以直线AM与C1N不可能平行,所以直线AM与C1N是异面直线.故选C.
9.C
如图,设底面圆的圆心为O,分别取AC,PC的中点D,E,连接PO,CO,OD,OE,DE,
因为△APB是等腰直角三角形,
所以∠APB=90°,设圆锥的底面圆半径OA=1,则PA=,PC=,则DE=PA=,且DE∥PA,又∠ACB=90°,且AC=BC=,而OD=BC=,且OD∥BC,所以∠EDO(或其补角)为异面直线PA与BC所成的角,在Rt△PCO中,因为E为PC的中点,所以OE=PC=,所以△DOE是正三角形,即异面直线PA与BC所成的角为60°.故选C.
10.D 过点P且与平面α垂直的直线有且只有一条,故A错误;
过点P且与直线l垂直的直线有无数条,故B错误;
两条直线的夹角范围为[0,],所以其余弦值不能是负数,故C错误;
直线与平面的夹角范围为[0,],所以其余弦值不能是负数,故D正确.故选D.
11.D 如图所示.
易知l∥a,a α,过点P作垂直于l的平面β,
作过点P的直线k,m,n β,则l⊥k,l⊥m,l⊥n,
可作出无数条直线,且直线不一定在α内.
故选D.
12.B 如图(1),因为在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB∥CD,所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1,设平面APQ∩线段DD1=R,连接QR,又因为平面APQ∩平面ABB1A1=AP,所以AP∥QR,延长QR,交CD的延长线于点E,则CE=AB=2,连接AE,AR,则平面APQR∩平面ADD1A1=AR,易知四边形APQR为直角梯形,且AP⊥PQ.
如图(2),再将直四棱柱补成一个长方体ABCEA1B1C1E1,
由图及题中数据可得AP==,PQ=BC=,DR=,所以RQ==,故交线围成的图形的面积S=×(+)×=.故选B.
13.BCD 选项A,因为α∩β=l,n∥α,n∥β,所以n∥l,故A正确;选项B,因为A,B∈l,A,B α,所以l∥α或l与α相交,故B不正确;选项C,A,B∈α,A,B,C∈β,α∩β=l,此时点C不一定在平面α内,所以C∈l不正确,故C不正确;选项D,由α∥β,l α,n β,则l与n可能平行,也可能异面,故D不正确.故选BCD.
14.BCD 反证法:如果四个点中,有三个点共线,第四个点不在这条直线上,
根据基本事实1和基本事实2的推论可知,这四个点共面,这与已知矛盾,故A正确;
如图(1),A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,故B错误;
如图(2),a,b共面,a,c共面,但b,c异面,故C错误;
如图(3),a,b,c,d四条线段首尾相接,但a,b,c,d不共面,故D错误.故选BCD.
15.ABD 当点E与D1重合时,过A,B1,E三点的截面是等边三角形AB1D1,故A正确;当点E与D重合时,过A,B1,E三点的截面为矩形AB1C1D,故B正确;若截面为菱形,则必有 AB1=AE,此时点E与D1重合,故C错误;当点E与DD1中点重合时,记C1D1的中点为F,连接EF,FB1,C1D(图略),易知EF∥DC1,由正方体性质可知,AD∥B1C1且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D为平行四边形,所以DC1∥AB1,所以EF∥AB1且EF=AB1,设正方体棱长为2,则AE=B1F==,所以过A,B1,E三点的截面为等腰梯形AB1FE,故D正确.故选ABD.
16.解析:
如图,因为E,F,G,H分别是四条边中点,所以EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,
HG=AC,于是有EF∥HG,EF=HG,于是四边形EFGH是平行四边形,故直线EG和FH的位置关系是相交.
答案:相交 平行
17.解析:
当四条直线中任意三条直线都不共面时,每两条确定一个平面时平面最多,
如图正方体的四条侧棱,所以最多可确定6个平面.
答案:6
18.解析:如图,取CD中点Q,连接BQ,C1Q,
因为DQ=BP,DQ∥BP,所以四边形BPDQ为平行四边形,所以PD∥BQ,
所以异面直线BC1与PD所成角即为直线BC1与BQ所成角,即∠C1BQ(或其补角),
因为BQ==,BC1==,C1Q==,
所以△BC1Q为等边三角形,所以∠C1BQ=,即异面直线BC1与PD所成角为.
答案:
19.解析:延长A1A,B1B交于点M,则C1C,D1D的延长线也过点M,连接PM并延长与C1D1相交,如图所示.
因为M∈AA1,则M∈平面PAA1,则直线PM即为所求的直线l,
所以直线l与直线AA1,直线BB1都相交.
答案:③④
20.证明:如图所示,已知,
l1∩l2=A,l2∩l3=B,
l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
法一(纳入平面法) 因为l1∩l2=A,
所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2 α,所以B∈α.
同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二(辅助平面法) 因为l1∩l2=A,
所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
21.(1)证明:由G,H分别是A1B1,A1C1的中点可知,GH是△A1B1C1中边B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中,BC∥B1C1,由平行线的传递性可得BC∥GH,所以B,C,H,G四点共面.
(2)解:由题意,知==S△AEF·AA1=××1×1×sin×2=.
22.(1)证明:如图,连接A1B,因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B,EF=A1B.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C,所以EF∥D1C,且EF≠D1C,所以四边形EFD1C是梯形.
(2)
解:连接A1C1,由(1)得EF∥A1B,所以∠A1BC1是异面直线EF与BC1所成的角,因为△A1BC1为等边三角形,所以∠A1BC1=,所以异面直线EF与BC1所成的角为.第19讲 空间点、直线、平面的位置关系
一、单选题
1.若点Q在直线b上,b在平面α内,则Q,b,α之间的关系可记作( )
A.Q∈b∈α B.Q∈b α
C.Q b α D.Q b∈α
2.若直线上有两个点在平面外,则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
3.若a∥α,b∥α,则直线a,b的位置关系是( )
A.平行或异面
B.平行或相交
C.相交或异面
D.平行、相交或异面
4.如图,在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若直线EH,GF相交于点P,则下列结论正确的是( )
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面ABC内
D.点P必在平面ACD内
5.已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l.“m,n,l共面”是“m,n,l两两相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知直线l∥平面α,直线m 平面α,下列结论一定正确的是( )
A.l∥m
B.l⊥m
C.l与m是异面直线
D.l与m没有公共点
7.对于两个平面α,β,“α内有三个点到β的距离相等”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说.“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,M,N分别为棱BB1,AC的中点,则直线AM与C1N的位置关系为( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.无法判断
9.《原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图所示,在直角圆锥PABC中,AB为底面圆的直径,C在底面圆周上,且为弧AB的中点,则异面直线PA与BC所成的角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
10.在空间中,有一平面α,平面内有一直线l,平面外有一点P,下列说法正确的是( )
A.过点P且与平面α垂直的直线不止一条
B.过点P且与直线l垂直的直线有且仅有一条
C.过点P的直线l1与直线l的夹角的余弦值有可能为-
D.过点P的直线l1与平面α的夹角的余弦值不可能为-
11.已知直线l∥平面α,点P∈α,那么过点P且垂直于直线l的直线( )
A.只有一条,且在α内
B.有无数条,一定在α内
C.只有一条,不在α内
D.有无数条,不一定在α内
12.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BC⊥CD,AB∥CD,BC=,AA1=AB=AD=2,点P,Q分别为棱BB1,CC1的中点,则平面APQ与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
13.A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列说法错误的是( )
A.若α∩β=l,n∥α,n∥β,则n∥l
B.若A,B∈l,A,B α,则l∥α
C.若A,B∈α,A,B,C∈β,α∩β=l,则C∈l
D.若α∥β,l α,n β,则l∥n
14.给出以下四个命题,其中错误的是( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
15.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是线段DD1上的动点,若过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,则所得截面的形状可能为( )
A.等边三角形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
三、填空题
16.空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是四条边中点,则直线EG和FH的位置关系是 ;四边形EFGH一定是 四边形.
17.互相平行的四条直线,每两条确定一个平面,最多可确定 个平面.
18.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成的角等于 .
19.木工甲在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCDA1B1C1D1时,为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开,需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l,则l满足 .(选出全部正确的结论的序号)
①l∥AA1;②l∥BB1;③l与直线AA1相交;
④l与直线BB1相交.
四、解答题
20.求证:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
21.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.
(1)求证:B,C,H,G四点共面;
(2)若底面边长为2,AA1=2,求三棱锥AA1EF的体积.
22.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
(1)证明:四边形EFD1C是梯形;
(2)求异面直线EF与BC1所成的角.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
第19讲 空间点、
直线、平面的位置关系
1.平面的基本性质
四个基本事实及推论
基本事实1
过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
备注:(1)此公理是确定一个平面的依据.
(2)此公理是判定若干点共面的依据.
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
备注:(1)此公理是判定直线在平面内的依据.
(2)此公理是判定点在平面内的方法.
推论1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
备注:(1)此推论是判定若干条直线共面的依据.
(2)此推论是判定若干平面重合的依据.
(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
基本事实2
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面.
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
备注:(1)此公理是判定两个平面相交的依据.
(2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据(比如证明三点共线、三线共点).
基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行.
2.三个位置关系
(2)直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
(3)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
(4)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补.
考点一 平面的基本性质及应用
[例1] (1)用符号语言表示下列语句,正确的个数是( )
①点A在平面α内,但不在平面β内:A α,A β;
②直线a经过平面α外的点A,且a不在平面α内:A∈a,A α,a α;
③平面α与平面β相交于直线l,且l经过点P:α∩β=l,P∈l.
A.1 B.2 C.3 D.0
√
解析:(1)B 点A在平面α内应表示为A∈α,点A不在平面β内应表示为A β,故①错误;由题意点A在直线a上,不在平面α内,直线a不在平面α内,故表示为A∈a,A α,a α,故②正确;平面α与平面β相交于直线l,表示为α∩β=l,l经过点P,点P在直线l上,P∈l,故③正确,所以正确的命题有2个.故选B.
(2)下列命题:
①若空间四点共面,则其中必有三点共线;
②若空间四点中有三点共线,则此四点必共面;
③若空间四点中任意三点不共线,则此四点不共面;
④若空间四点不共面,则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
√
解析:(2)C 对于①,空间四点共面,如平面四边形,其中任意三点不共线,故①错误;对于②,空间四点中有三点共线,根据一条直线和直线外一点确定一个平面,得到此四点必共面,故②正确;对于
③,空间四点中任意三点不共线,则此四点可能共面,如平面四边
形,故③错误;对于④,空间四点不共面,如果任意三点有共线的,那么这四个点就共面,与已知矛盾,故④正确,所以正确的命题有2个.故选C.
(3)下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.两条直线确定一个平面
D.梯形可确定一个平面
√
解析:(3)D 对于A,由于在一条直线上的三点不能唯一确定一个平面,所以该选项错误;对于B,一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面,所以该选项错误;对于C,两条异面直线不能确定一个平面,所以该选项错误;对于D,梯形可确定一个平面,所以该选项正
确.故选D.
(4)下列推断中,错误的是( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β α∩β=AB
C.l α,A∈l A α
√
解析:(4)C 对于A,直线l上有两个不同的点在平面α内,故l α,
A正确;对于B,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,故直线AB α,AB β,即α∩β=AB,B正确;对于C,若l∩α=A,则有l α,A∈l,但A∈α,C错误;对于D,有三个不共线的点在平面α,β中,故α,β重合,D正确.故选C.
D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线 α,β重合
(5)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,N在棱CC1上,且CN=2NC1.作出过点D,M,N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面,写出作法.
(5)解:如图所示,五边形DQMFN即为所求截面.
作法如下:连接DN并延长交D1C1的延长线于点E,
连接EM并延长交B1C1于点F,交D1A1的延长线于点H,
连接DH交AA1于点Q,
连接QM,FN,
则五边形DQMFN即为所求截面.
(6)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
①D,B,F,E四点共面;
(6)证明:①如图所示,连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD,
所以EF,BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
②若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
证明:②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC∥A1C1,
设A1,C,C1确定的平面为α,AC α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,
同理,P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
③DE,BF,CC1三线交于一点.
总结提醒
(1)证明线共面或点共面的常用方法
①直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面.
②纳入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
③辅助平面法,先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(2)证明点共线问题的常用方法
①基本事实法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.
②纳入直线法,选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
考点二 判断空间点、线、面的位置关系
[例2] (1)(2022·浙江1月学考)已知空间中两条不重合的直线a,
b,则“a与b没有公共点”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:(1)“直线a与b没有公共点”表示直线a∥b或者a与b是异面直线,所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
(2)(2021·浙江1月学考)已知空间中两个不重合的平面α,β和直线l,则下列说法正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l β,则α∥β
C.若l⊥α,l β,则α⊥β
D.若l⊥α,l⊥β,则α⊥β
√
解析:(2)对于A选项,若l∥α,l∥β,则α,β平行或相交,故A选项不正确;
对于B选项,若l∥α,l β,则α,β平行或相交,故B选项不正确;
对于C选项,若l⊥α,l β,则α⊥β,为面面垂直的判定定理,故C选项正确;
对于D选项,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故D选项不正确.
故选C.
(3)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
√
解析:(3)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
①若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线
B1A1记为直线c,此时a和c相交;
②若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线DD1记为直线c,此时a和c平行;
③若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线C1D1记为直线c,此时a和c异面.故选D.
(4)在空间中,若直线l平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内不存在与l共面的直线
B.α内不存在与l异面的直线
C.α内不存在与l垂直的直线
D.α内不存在与l相交的直线
√
解析:(4)由题意作图,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
设CC1所在直线为l,平面AA1B1B所在平面为α,
对于A,由图及正方体性质可知BB1∥CC1,且BB1 平面AA1B1B,此时BB1与CC1共面,故A错误;
对于B,由图及正方体性质可知AB与CC1异面,且AB 平面AA1B1B,故B错误;
对于C,由图及正方体性质可知AB⊥CC1,且AB 平面AA1B1B,故C错误;
对于D,由CC1∥平面AA1B1B,且CC1 平面AA1B1B,故D正确.故选D.
(5)如图,几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是( )
A.GH和MN是平行直线,GH和EF是相交直线
B.GH和MN是平行直线,MN和EF是相交直线
C.GH和MN是相交直线,GH和EF是异面直线
D.GH和EF是异面直线,MN和EF也是异面直线
√
解析:(5)连接A1B,D1C,因为GH∥A1B,而A1B∥D1C,所以GH∥D1C.又MN∥D1C,所以GH∥MN.
由异面直线的定义可知,GH与EF异面.延长EF,MN,两者可以相交,故EF与MN为相交直线.故选B.
(6)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中
点,则
①当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形;
AC=BD
②当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
AC=BD且AC⊥BD
解析:②因为四边形EFGH为正方形,
所以EF=EH且EF⊥EH,
所以AC=BD且AC⊥BD.
总结提醒
(1)异面直线的判定方法
①反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
②定理法,平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考点三 异面直线所成的角
[例3] (1)已知空间中两个角α,β,且角α与角β的两边分别平行,若α=30°,则β等于( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.60°或120°
√
解析:(1)因为角α与角β的两边分别平行,所以α与β相等或互补,又α=30°,所以β=30°或150°.故选C.
(2)在正四面体ABCD中,E是AB的中点,F在BC的延长线上,CF=BC,则异面直线AF和DE所成角的正弦值为( )
√
(3)如图,在三棱锥A-BCD中,它的每个面都是全等的正三角形,P是棱CD上的动点,设CP=tCD(0α,β,则cos α+cos β的取值范围为 .
总结提醒
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型,利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.向量法,建系坐标运算或基底运算.
(2)求异面直线所成角的三个步骤
①作,通过作平行线,得到相交直线的夹角.
②证,证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
③求,解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
