第22讲 概 率
一、单选题
1.从5名男生、2名女生中任选派3人,则下列事件是必然事件的是( )
A.3名都是男生 B.至少有1名男生
C.3名都是女生 D.至少有1名女生
2.掷一枚质地均匀的骰子,设事件A={出现的点数不小于5},B={出现的点数为偶数},则事件A与事件B的关系是( )
A.A B
B.A∩B={出现的点数为6}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
3.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3,那么A=A1∪A2∪A3表示( )
A.全部击中 B.至少击中1发
C.至少击中2发 D.以上均不正确
4.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与至少有一个白球
C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D.至少有一个黑球与都是白球
5.现有一批产品共9件,已知其中5件合格品和4件次品,现从中选4件产品进行检测,则下列事件中互为对立事件的是( )
A.恰好两件合格品与恰好四件合格品
B.至少三件合格品与全部合格品
C.至少一件合格品与全部次品
D.至少一件合格品与至少一件次品
6.已知随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则P(A∩B)等于( )
A. B. C. D.
7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则“两枚硬币均为正面向上”的概率是( )
A. B. C. D.
8.任意抛掷一次质地均匀的骰子,朝上面的点数记为X,则X∈{1,2,3,4,5,6},定义事件:A={1,2,4},B={1,3,5},C={1,5,6},则( )
A.P(BC)=
B.P(A∪B)=
C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D.B,C相互独立
9.已知A与B是互斥事件,且P()=0.3,P(B)=0.1,则P(A+B)等于( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.8
10.某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为,,,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( )
A. B. C. D.
11.两名男生、一名女生排成一排合影,则女生站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
12.现有10名冬奥会志愿者,其中2名女志愿者和8名男志愿者,从中随机地接连抽取3名(每次取一名),派往参与花样滑冰项目的志愿服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.设随机事件A,B,P(A)>0,P(B)>0,则( )
A.若A与B独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则P(A∪)=0.8
B.若A与B互斥,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则P(∪)=0.2
C.若P(|B)=P(|),则A与B独立
D.若P(|B)=P(B|),则A与B互斥
14.甲袋中有2个黑球、2个白球,乙袋中有2个黑球、1个白球,这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球,则下列结论正确的是( )
A.2个球都是黑球的概率为
B.2个球都是白球的概率为
C.1个黑球、1个白球的概率为
D.2个球中至少有1个黑球的概率为
15.有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,每次取1个球,事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”,事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”,事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”,事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”,则( )
A.A与B是互斥事件
B.C与D互为对立事件
C.B发生的概率为
D.B与C不相互独立
三、填空题
16.假设P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立,则P(A∪B)= .
17.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,其中n(Ω)=20,n(A)=10,n(B)=6,n(A∪B)=12,则P(A∪B)= ,P(AB)= .
18.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务,则选中的3人中恰有两名男同学的概率为 .
19.某工厂有四条流水线生产同一种产品,这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25,0.30,0.25,这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98,现在从出厂产品中任取一件,则恰好抽到不合格产品的概率是 .
四、解答题
20.某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次,训练成绩统计结果如图所示.
(1)请写出这名运动员射击成绩的众数;
(2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率;
(3)如果这名运动员连续射击两次,每次射击成绩互不影响,请估计这名运动员两次命中环数都大于8环的概率.
21.甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
22.口袋中有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球,分别求以下三个事件的概率.
(1)A=“从中任意摸出两个球,摸到红球”;
(2)B=“从中不放回地依次随机摸出两个球,摸到红球”;
(3)C=“从中有放回地依次随机摸出两个球,摸到红球”.
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第22讲 概 率
1.随机试验
把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.随机试验具有以下特点:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间,一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.随机事件、确定事件
(1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
2.样本空间
(2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(4)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.
4.事件的关系与运算
(2)相等关系:一般地,若B A,且A B,则称事件A与事件B相等.与两个集合的相等关系类比,可用如图表示.
(3)并事件(和事件):一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).与两个集合的并集类比,可用如图表示.
(4)交事件(积事件):一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).与两个集合的交集类比,可用如图表示.
5.互斥事件与对立事件
(3)互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有一个发生.
②对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的必要不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.
6.概率的基本性质
(1)对任意事件A都有0≤P(A)≤1.
(3)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
推广:一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(4)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B),P(B)=1-P(A),且P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.
(5)若A B,则P(A)≤P(B).
(6)若A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
7.相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
(1)相互独立:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)相互独立事件的性质
(3)一般地,若事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(4)互斥事件与相互独立事件的区别
①互斥事件:两个事件不可能同时发生;
②相互独立事件:一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
8.随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
9.古典概型
(1)定义:一般地,若试验E具有以下特征:①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
考点一 随机事件
√
(2)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列判断不正确的是( )
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
√
解析:(2)C 袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片、2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,在A中,事件“都是红色卡片”是随机事件,故A正确;在B中,事件“都是蓝色卡片”是不可能事件,故B正确;在C中,事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件,故C错误;在D中,事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件,故D正确.故选C.
√
√
总结提醒
(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;若两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发
生,则这两个事件互为对立事件.对立事件一定是互斥事件.
(2)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率随着试验次数的增加越来越接近概率,而概率是一个确定的
值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.
考点二 古典概型与相互独立事件
√
(2)(2023·浙江7月学考)从集合{1,2,3,4,5}中任取两个数,则这两个数的和不小于5的概率是( )
√
√
(4)(多选题)(2024·浙江7月学考)A,B是两个随机事件,则( )
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若A B,则P(A)≤P(B)
C.若A,B为相互独立事件,则P(AB)=P(A)·P(B)
D.若A,B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1
√
√
√
总结提醒
求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数,这就需要正确列出样本点,样本点的表示方法有列举法、列表法和树状图法以及排列、组合法.
考点三 综合应用
[例3] 梅雨季节,杨梅上市,现有8筐杨梅,其中3筐是A种杨梅,5筐是B种杨梅,两种筐子完全相同.
(1)从中抽取1筐,直接写出所抽为A种杨梅的概率;
(2)从中无放回地抽取2筐,求所抽2筐都是A种杨梅的概率;
(3)从中无放回地抽取2筐,求所抽2筐中至少有 1筐是B种杨梅的概率.
(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;
(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率;
(3)求甲最终获胜的概率.第22讲 概 率
1.B
2.B A={出现的点数不小于5}={出现的点数为5,6},B={出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6},
则A∩B={出现的点数为6},故B正确,A错误;
因为事件A与事件B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,也不是对立事件,故C,D错误.故选B.
3.B A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.故选B.
4.C A选项,至少有一个黑球包括1个黑球1个白球和2个黑球两种情况,与都是黑球不互斥,故A错误;
B选项,至少有一个白球包括1个白球1个黑球和2个白球两种情况,与至少有一个黑球不互斥,故B错误;
C选项,恰好有一个黑球与恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况,所以恰好有一个黑球与恰好有两个黑球互斥而不对立,故C正确;
D选项,至少有一个黑球与都是白球互斥且对立,故D错误.故选C.
5.C 根据题意,选项A中事件互斥,不是对立事件;选项B,D中事件可能同时发生,全部合格品是至少三件合格品的子事件;选项C中事件为对立事件,全部次品不能存在有合格品的事件,且一次检测中两个事件必有一个发生.故选C.
6.D 依题意,P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=.故选D.
7.A 同时掷两枚质地均匀的硬币,样本点有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4个,两枚硬币均为正面向上包含的样本点只有1个(正,正),则两枚硬币均为正面向上的概率P=.故选A.
8.B 对于A,BC=B∩C={1,5},P(BC)==,A错误;
对于B,A∪B={1,2,3,4,5},P(A∪B)=,B正确;
对于C,ABC={1},P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=××=,C错误;
对于D,P(BC)==≠P(B)P(C)=×=,B,C不相互独立,D错误.故选B.
9.D 由题意,A,B是互斥事件,
所以P(A+B)=P(A)+P(B),且P(A)=1-P()=1-0.3=0.7,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.故选D.
10.D 由题意,该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为P=1-(1-)×(1-)×(1-)=.故选D.
11.A 两名男生记为a,b,一名女生记为c,
两名男生、一名女生排成一排可能为abc,acb,bac,bca,cab,cba,故总可能数N=6,
女生站在中间的可能为acb,bca,故可能数n=2,
则女生站在中间的概率P===.故选A.
12.C 设A1,A2,A3分别为第一次、第二次、第三次抽取到女志愿者的事件,则
P(A1)=××=;
P(A2)=××=;
P(A3)=××=.
因此“恰有一名女志愿者”的概率为P(A1+A2+A3)=++=.故选C.
13.AC 对于A,因为P(B)=0.4,所以P()=1-0.4=0.6,
若A与B独立,则A与也相互独立,
所以P(A)=P(A)P(),
所以P(A∪)=P(A)+P()-P(A)=P(A)+P()-P(A)P()=0.5+0.6-0.5×0.6=0.8,故A正确;
对于B,若A与B互斥,则∪=全体样本空间,
所以P(∪)=1,故B错误;
对于C,P(|B)=,
P(|)==,
因为P(|B)=P(|),
所以=,
即P(B)-P(B)P(B)=P(B)P(),
即P(B)=P(B)[P(B)+P()]=P(B)P(),
所以和B相互独立,
所以A和B也相互独立,故C正确;
对于D,P(|B)=,
P(B|)==,
因为P(|B)=P(B|),
所以=.
当P(B)≠0时,P(B)=1-P(A),即P(A)+P(B)=1,
此时A,B未必互斥,当P(B)=0时,与B互斥,A,B不互斥,故D错误.故选AC.
14.AB 从甲袋中任取1个球,该球为黑球的概率为=,该球为白球的概率为=,从乙袋中任取1个球,该球为黑球的概率为,该球为白球的概率为.对于A选项,2个球都是黑球的概率为×=,A正确;对于B选项,2个球都是白球的概率为×=,B正确;对于C选项,1个黑球、1个白球的概率为×+×=,C错误;对于D选项,2个球中至少有1个黑球的概率为×+×+×=,D错误.故选AB.
15.BC 由题意,不放回地随机取两次,共有6×5=30(种)情况,
A={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),
(6,3),(6,4),(6,5)},共15个样本点,
B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3),(1,5),(2,5),
(3,5),(4,5),(6,5)},共15个样本点,故P(B)==,故C正确;
事件A与B可以同时发生,不是互斥事件,故A错误;
C={(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6,2),(6,4)},共 12个样本点,
故P(C)==,
D={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),
(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},共18个样本点,
所以C与D互为对立事件,故B正确;
事件BC={(3,1),(5,1),(1,3),(5,3),(1,5),(3,5)},共6个样本点,所以P(BC)===P(B)P(C),所以B与C相互独立,故D错误.故选BC.
16.解析:事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.6=0.48,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92.
答案:0.92
17.解析:P(A∪B)===,P(AB)====.
答案:
18.解析:设2名女同学为A1,A2,3名男同学为B1,B2,B3,从以上5名同学中任选3人总共有A1A2B1,A1A2B2,A1A2B3,A1B1B2,A1B2B3,A1B1B3,A2B1B2,A2B2B3,A2B1B3,B1B2B3,共10种情况.选中的3人中恰有两名男同学的情况有A1B1B2,A1B2B3,A1B1B3,A2B1B2,A2B2B3,A2B1B3,共6种情况,故所求概率为=.
答案:
19.解析:由题意可知,恰好抽到不合格产品的概率为
P=0.20×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.30×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034.
答案:0.034
20.解:(1)根据题图得该运动员100次射靶中,命中8环的频数最多,则这名运动员射击成绩的众数为8环.
(2)由题图知,该运动员在100次射靶中,命中9环的频数为25,由频率估计概率得这名运动员射击一次命中9环的概率为=.
(3)由题图知,该运动员在100次射靶中,命中环数大于 8环的频数为25+15=40,由频率估计概率得这名运动员射击一次命中环数大于8环的概率为=,则根据独立事件的乘法公式得这名运动员两次命中环数都大于 8环的概率为×=.
21.解:设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,
则P(A)=,P(B)=.
记甲跑第x棒、乙跑第y棒为(x,y),则共有12个样本点,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
甲跑第一棒、乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),
故P(A∩B)=.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
22.解:(1)样本空间Ω={红黄,红蓝,黄蓝},有3个样本点,
事件A={红黄,红蓝},有2个样本点,
所以P(A)=.
(2)样本空间Ω={(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(黄,蓝),(蓝,红),(蓝,黄)},有6个样本点,
事件B={(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(蓝,红)},有4个样本点,所以P(B)==.
(3)样本空间Ω={(红,红),(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(蓝,红),
(蓝,黄),(蓝,蓝)},有9个样本点,
事件C={(红,红),(红,黄),(红,蓝),(黄,红),(蓝,红)},有5个样本点,
所以P(C)=.
