(共16张PPT)
主题五 数学建模
活动与数学探究活动
第23讲 函数的应用
[例1] (1)一种产品的年产量原来是10 000件,今后计划使年产量每年比上一年增加p%,则年产量y(单位:件)随经过年数x(x∈N+)变化的函数解析式为( )
A.y=100px(x∈N+)
B.y=10 000(1+p%x)(x∈N+)
C.y=10 000(p%)x(x∈N+)
D.y=10 000(1+p%)x(x∈N+)
√
解析:(1)D 经过1年后,年产量为10 000+10 000×p%=10 000(1+p%),
经过2年后,年产量为10 000(1+p%)+10 000(1+p%)×p%=
10 000(1+p%)2,…,经过x(x∈N+)年后,年产量为10 000(1+p%)x,x∈
N+.故选D.
(2)(2022·浙江7月学考)中国茶文化博大精深,茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.已知在25 ℃的室温下,函数y=60×0.922 7t+25(t≥0)近似刻画了茶水温度y(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律.为达到最佳饮用口感,刚泡好的茶水大约需放置(参考数据:0.922 76.7≈0.583 3,
0.922 78.7≈0.496 6)( )
A.5 min B.7 min C.9 min D.11 min
√
解析:(2)B 令y=60×0.922 7t+25=60,
得60×0.922 7t=35,0.922 7t≈0.583 3,t≈6.7,则刚泡好的茶水大约需放置7 min.故选B.
(3)已知某摩天轮的旋转半径为60 m,最高点距地面135 m,运行一周大约30 min,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10 min时他距地面大约为( )
A.95 m B.100 m C.105 m D.110 m
√
(4)某地民用燃气执行“阶梯气价”,按照用气量收费,具体计费方法如下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元,则该户居民去年的用气量为( )
每户每年用气量 单价/(元/m3)
不超过200 m3的部分 3.2
超过200 m3但不超过
300 m3的部分 3.8
超过300 m3的部分 4.8
A.180 m3 B.220 m3
C.260 m3 D.320 m3
√
总结提醒
根据表格或题意作出散点图或画出草图,结合图形可得出合适的函数模型.
指数型函数、对数型函数、二次函数、幂函数、三角函数,根据函数的变化特点,画出函数图象即可判断,关注函数的增长速度特征.
(1)求a的值及f(x)的表达式;
(2)试求隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小费用.
总结提醒
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值.主题五 数学建模活动与数学探究活动
第23讲 函数的应用
一、单选题
1.有一组实验数据如表:
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A.y= B.y=log2x
C.y=·2x D.y=x2
2.某农家旅游公司有客房300间,每间客房日租金为20元,每天都客满.公司欲提高客房档次,并提高租金.如果每间客房日租金每增加2元,客房出租数就会减少10间,若不考虑其他因素,旅游公司将每间客房日租金提高多少元时,每天客房的租金总收入最高( )
A.22 B.20 C.18 D.16
3.如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A—B—C—M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是( )
4.现测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在一条直线上,且在点A的同侧,若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为( )
A.100 m B.50(2+) m
C.50(2-) m D.50 m
5.已知某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台,根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加,为满足市场需求,该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%,那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1 200万台(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)( )
A.2028年 B.2029年
C.2030年 D.2031年
二、多选题
6.如图,某河塘浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat,则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第4个月时,浮萍面积会超过25 m2
C.浮萍面积蔓延到80 m2只需6个月
D.若浮萍面积蔓延到10 m2,20 m2,40 m2所需时间分别为t1,t2,t3,则t1+t3=2t2
7.某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位: km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是( )
A.当打车里程为8 km时,乘客选择甲方案更省钱
B.当打车里程为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.打车里程在3 km以上时,每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D.甲方案3 km内(含3 km)付费5元,打车里程大于3 km时每增加1 km费用增加0.7元
8.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+)(t≥0,ω>0,||<),则下列叙述正确的是( )
A.=-
B.当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增
C.当t∈(0,60]时,|f(t)|的最大值为3
D.当t=100时,|PA|=6
三、填空题
9.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费之和关于x的函数表达式f(x)= .
10.某同学为了测量学校天文台CD的高度,选择学校宿舍楼三楼一阳台A,A到地面的距离AB为30(2-) m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得阳台A,天文台顶C的仰角分别是15°和30°,在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则学校天文台CD的高度为 m.
四、解答题
11.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别为P(单位:万元)和Q(单位:万元),这两项利润与投入的资金x(单位:万元)的关系是P(x)=,Q(x)=.若该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元,为获得最大利润,对养殖业和养殖加工生产业应各投入多少万元,最大利润为多少万元.
12.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为 27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N+)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
13.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下,隧道内的车流速度v和车流密度x满足关系式:v=研究表明:当隧道内的车流密度x=120时造成堵塞,此时车流速度v=0.
(1)若车流速度v≥40,求车流密度x的取值范围;
(2)定义隧道内的车流量为y=x·v,求隧道内的车流量y的最大值,并指出当车流量最大时的车流密度x.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第23讲 函数的应用
1.C 通过所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长的速度越来越快,A,B选项中的函数增长速度越来越慢,不正确;C选项中,当x=6时,y≈21.33;D选项中,当x=6时,y=18,误差偏大,C选项正确,D选项不正确.故选C.
2.B 设每间客房日租金提高2x元,则每天客房出租数为
300-10x(300-10x∈N*),设客房租金总收入y元,
则有y=(20+2x)(300-10x)=-20(x-10)2+8 000(0当x=10时,y有最大值为8 000.所以当每间客房日租金提高10×2=20(元)时,客房租金总收入最高,为每天8 000元.故选B.
3.A 当点P在AB上时,
y=·x·1=x,0≤x≤1;
当点P在BC上时,
y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM
=-x+,1当点P在CM上时,
y=×(-x)×1=-x+,2≤x≤.
综上,y=f(x)=
函数图象大致如A选项所示.故选A.
4.A 设球的截面圆心为O,连接OB,OC,
由圆的切线的性质可得∠OCA=15°,∠OBA=30°,
则AC=,AB=,
所以BC=100=AC-AB=-,
可得OA(-)=100,
即OA= m,又因为tan 30°=,
tan 15°=tan(45°-30°)===,
所以-=-=2,所以OA==50(m),所以球的直径为2OA=100 m.
故选A.
5.B 设该工厂经过x年,人工智能机器人的产量才能达到 1 200万台.
由题意可得400×(1+20%)x=1 200,
所以1.2x=3.所以x=log1.23===≈=6.
所以经过6年,人工智能机器人的产量才能达到 1 200万台,
即到2029年,人工智能机器人的产量才能达到 1 200万台.故选B.
6.BD 由题意,函数图象过点(1,1)和点(2,3),代入函数关系式y=kat,可得
解得a=3,k=,
所以函数的关系式为y=×3t=3t-1.
因为函数是曲线型函数,
所以浮萍每月增加的面积不相等,所以A不正确;当t=4时,y=33=27,浮萍面积超过了25 m2,所以B正确;当t=5时,y=34=81>80,浮萍面积蔓延到80 m2只需要5个月,所以C不正确;令y=10,可得t1=log310+1;令y=20,可得t2=log320+1;令y=40,可得t3=log340+1,
所以t1+t3=log310+1+log340+1=log3400+2=2log320+2=2(log320+1)=2t2,所以D正确.故选BD.
7.ABC 对于A,当38.AD 由题意,R==6,T=120,
所以ω==,
则f(t)=6sin(t+),又点A(3,-3),此时t=0代入f(t)可得-3=6sin ,
解得sin =-,
又||<,所以=-,故A正确;
因为f(t)=6sin(t-),当t∈(0,60]时,t-∈(-,],
所以函数f(t)先增后减,故B错误;
当t∈(0,60]时,t-∈(-,],
所以sin(t-)∈(-,1],
则f(t)∈(-3,6],则|f(t)|max=6,故C错误;
当t=100时,t-=,P的纵坐标为y=-3,横坐标为x=-3,所以|PA|=|-3-3|=6,故D正确.故选AD.
9.解析:依题意,总费用为f(x)=4x+×6=4x+(0答案:4x+(010.解析:在Rt△ABM中,AM=,在△ACM中,∠CAM=15°+15°=30°,∠AMC=180°-15°-30°=135°,∠ACM=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得=,故MC=·AM=·===,
在Rt△CDM中,CD=MC·sin 30°==30(m),故学校天文台CD的高度为30 m.
答案:30
11.解:设对养殖业投入x万元,则对养殖加工生产业投入(60-x)万元.
由题意可得,
P(x)+Q(x)=+(0≤x≤60).
令t=,则x=60-t2,0≤t≤,
所以P(x)+Q(x)=(60-t2)+t=-(t-5)2+,
当t=5,即x=35时,最大利润为万元.
所以对养殖业投入35万元,对养殖加工生产业投入25万元时,可获得最大利润 万元.
12.解:(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,
y=loga(x+1)+q(a>1)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选择函数y=kax(k>0,a>1),
则解得
故y=8·()x(x∈N+).
(2)由(1)知,当x=0时,y=8,
设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,
则8·()x≥8×100,则()x≥100,
故x≥lo100==≈≈11.36,因为x∈N+,故x=12.
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
13.解:(1)由题意可知,当x=120时,v=0,
所以0=65-,解得k=2 600,
所以v=
当0所以0当30解得x≤56,所以30综上,若车流速度v≥40,车流密度x的取值范围为(0,56].
(2)由题意可得
y=x·v=
当0y=50x-=-(x2-300x)=-(x-150)2+3 750,
由二次函数的性质可知,当x=30时,y取最大值为1 350;
当300,
y=65x-=65(x-)
=65[x+]
=65[(x-160)++200]
=-65[(160-x)+-200]
≤-65[2×-200]=2 600(当且仅当160-x=,即x=80或x=240(舍去)时,等号成立).所以当x=80时,y取最大值为2 600.
综上可知,y的最大值为2 600,此时车流密度x为80.
