第20讲 线面、面面的平行与垂直
一、单选题
1.“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1C与C1B的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.垂直且相交 D.相交且不垂直
第2题图
3.已知直线l1⊥平面α,直线l2 平面α,则l1与l2的位置关系一定成立的是( )
A.相交 B.垂直 C.异面 D.平行
4.已知直线a,b,平面α,β,γ,则下列判断正确的是( )
A.b α,a∥b a∥α
B.a∥α,b α a∥b
C.a α,b α,a∥β,b∥β α∥β
D.α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b a∥b
5.如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则下列结论正确的是( )
第5题图
A.EF⊥平面BCD B.EF∥平面BCD
C.EF∥平面ACD D.EF 平面BCD
6.二面角αlβ为60°,异面直线a,b分别垂直于α,β,则a与b所成的角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
7.在三棱锥PABC中,PO⊥平面ABC,垂足为O,且PA=PB=PC,则点O一定是△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
8.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,AA1=,点D是侧棱BB1的中点,则直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
第8题图
9.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为( )
第9题图
A.1 B. C. D.
10.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则( )
A.MF∥EB
B.A1B1∥NE
C.四边形MNEF为平行四边形
D.四边形MNEF为梯形
11.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P l,则下列命题中是假命题的为( )
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
12.已知四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=2,M为AB的中点,将△ADM沿DM折起,得到四棱锥
A1DMBC(如图),设A1C的中点为N.
在翻折过程中,有如下四个命题:
①BN∥平面A1DM;
②BN的长度为定值 ;
③三棱锥NDMC体积的最大值为;
④在翻折过程中,存在某个位置,使得DM⊥A1C.
其中真命题的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、多选题
13.如图,在矩形纸片CDEF中,A,B分别是边CF,DE的中点.将纸片CDEF沿AB翻折后竖起放在桌面上,AC,AF与桌面接触,桌面所在平面记为α,那么下列结论正确的有( )
A.AB∥α B.AB⊥α
C.AB α D.AB∩α=A
14.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是( )
15.设l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题不正确的是( )
A.若l∥m,m∥n,则l∥n
B.若l∥m,m∥α,则l∥α
C.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
D.若l⊥m,l∥α,则m∥α
三、填空题
16.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1B与直线AC所成角的大小为 ,直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为 .
第16题图
17.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ABC1D1和平面ABCD所成二面角的大小是 .
第17题图
18.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为 .
19.正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在正四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .
四、解答题
20.如图,在三棱柱BCFADE中,若G,H分别是AC,DF的中点.
(1)求证:GH∥BF;
(2)在CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF 若存在,指出点P的具体位置并证明;若不存在,说明理由.
21.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是正三角形,AB=4,PA=3,M是AB的中点.
(1)求证:CM⊥平面PAB;
(2)设二面角APCB的大小为θ,求cos θ的值.
22.如图,在三棱锥PABC中,∠APC=∠BPC=45°,△BPA是正三角形.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;
(2)若AB=1,PC=,求AP与平面ABC所成角的正弦值.
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1.B 因为当直线m垂直于平面α内的所有直线时,才能得到m⊥α,
所以由直线m垂直于平面α内的无数条直线不一定能推出m⊥α,
但是由m⊥α一定能推出直线m垂直于平面α内的无数条直线,
所以“直线m垂直于平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B.
2.A 体对角线A1C与面对角线C1B不在同一个平面内,且不平行,故体对角线A1C与面对角线C1B的位置关系一定是异面.故选A.
3.B 根据线面垂直的性质,则l1⊥l2.故选B.
4.D 作长方体,如图所示.
对于A,设a=AB,b=CD,α为平面ABCD,显然b α,a∥b,
但a α,故A错误;
对于B,设a=AB,b=A1D1,α为平面A1B1C1D1,显然a∥α,b α,但a⊥b,故B错误;
对于C,当且仅当a,b α,a∥β,b∥β,a与b相交,此时α∥β,故C错误;
对于D,根据面面平行的性质定理,故D正确.故选D.
5.B 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,又EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD.故选B.
6.B 因为二面角αlβ为60°,异面直线a,b分别垂直于α,β,则a与b所成的角为60°.故选B.
7.B 如图所示,分别连接OA,OB,OC,
因为PO⊥平面ABC,
可得PO⊥OA,PO⊥OB,
PO⊥OC.
又因为PA=PB=PC,
利用勾股定理,
可得OA=OB=OC,
所以点O一定是△ABC的外心.故选B.
8.B 因为BB1⊥平面A1B1C1,所以C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.
又B1C1=1,B1D=,可得C1D=,
而平面A1B1C1∥平面ABC,
所以直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为=.故选B.
9.B 设点E到平面ACD1的距离为h,因为点E是棱AB的中点,所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半,又平面ACD1过BD的中点,所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离,由等体积法=,所以·2h=S△ACD·DD1,
S△ACD=×2×4=4,DD1=2,
在△ACD1中,AD1=2,AC=CD1=2,
=×2×=6,
则×6·2h=×4×2,解得h=,即点E到平面ACD1的距离为.故选B.
10.D 由于B,E,F三点共面,F∈平面BEF,
M 平面BEF,EB不过点F,故MF,EB为异面直线,故A错误;
由于B1,N,E三点共面,B1∈平面B1NE,A1 平面B1NE,NE不过点B1,故A1B1,NE为异面直线,故B错误;
因为在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,
BN=2NB1,所以AM∥BN,AM=BN,
故四边形AMNB为平行四边形,
所以MN∥AB.
又MN 平面ABC,AB 平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
又MN 平面MNEF,平面MNEF∩平面 ABC=EF,
所以MN∥EF,所以EF∥AB,
显然在△ABC中,EF≠AB,
所以EF≠MN,
所以四边形MNEF为梯形,故C错误,D正确.故选D.
11.B 过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,则直线平行于平面β,因此A是真命题;过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B是假命题;根据面面垂直的性质定理知,选项C,D是真命题.故选B.
12.C 分别延长DM,CB交于H,连接A1H,如图所示,
由题意知,BM=CD且BM∥CD,可得B为CH的中点,M为DH的中点,可得BN为△A1CH的中位线,可得BN∥A1H,BN 平面A1DM,A1H 平面A1DM,可得BN∥平面A1DM,所以①正确;取A1D的中点F,连接MF,由①知MF∥A1H且MF=A1H,所以BN=A1H=MF===,即BN的长度为定值 ,故②正确;当平面A1DM⊥平面DMBC时,A1到平面DMBC的距离最大,且为 ,此时N到平面DMBC的距离最大,且为 ,△DMC的面积为×2×4=4,可得三棱锥NDMC的最大体积为×4×=,所以③正确;连接MC,若DM⊥A1C,又DM=MC=2,CD=4,可得DM⊥MC,A1C∩MC=C,A1C,MC 平面A1CM,所以DM⊥平面A1CM,又A1M 平面A1CM,则DM⊥A1M,这与DM为斜边矛盾,所以④错误.故选C.
13.BD 由题图可知AB∩α=A,故A,C错误,D正确;
因为矩形纸片CDEF中,A,B分别是边CF,DE的中点,且矩形纸片竖起放在桌面上,
所以AB⊥AC,AB⊥AF.
又因为AC∩AF=A,AC,AF 平面α,
所以AB⊥α,故B正确.故选BD.
14.AC 对于A,AB∥DE,AB 平面DEF,
DE 平面DEF,
所以直线AB与平面DEF平行,故A正确;
对于B,如图(1),作平面DEF交正方体的棱于点G,连接FG并延长,交AB的延长线于点H,则AB与平面DEF相交于点H,故B错误;
对于C,AB∥DF,AB 平面DEF,DF 平面DEF,
所以直线AB与平面DEF平行,故C正确;
对于D,如图(2),连接AC,取AC的中点O,连接OD,
又D为BC的中点,所以AB∥OD,
因为OD与平面DEF相交,
所以直线AB与平面DEF相交,故D错误.故选AC.
15.BCD 选项A,若l∥m,m∥n,则由平行线的传递性可知,l∥n,故A正确;
选项B,若l∥m,m∥α,则l∥α或l α都有可能,
如图,长方体ABCDA1B1C1D1中(以下同),
设直线B1C1为m,直线BC为l,底面ABCD为α,
满足l∥m,m∥α,但l α,l与α不平行,故B错误;
选项C,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ不一定垂直,
如图,设上底面A1B1C1D1为α,下底面ABCD为γ,平面BB1C1C为β,
满足α⊥β,β⊥γ,但α∥γ,α与γ不垂直,故C错误;
选项D,若l⊥m,l∥α,则m∥α或m α或m与α相交都有可能,
如图,设直线B1C1为m,直线AB为l,设上底面A1B1C1D1为α,
满足l⊥m,l∥α,但m α,m与α不平行,故D错误.
故选BCD.
16.解析:连接A1C1,BC1,△BA1C1为等边三角形,所以直线A1B与直线AC所成角的大小为.因为四边形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C,又CD⊥平面BCC1B1,
所以BC1⊥CD,又因为CD∩B1C=C,CD,B1C 平面A1B1CD,
所以BC1⊥平面A1B1CD.
设BC1与B1C交于O,连接A1O,则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角,
在Rt△OA1B中,sin∠OA1B==,所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为.
答案:
17.解析:因为ABCDA1B1C1D1是正方体,
所以AB⊥平面B1C1CB,所以AB⊥BC1,AB⊥BC,
所以∠C1BC是平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的平面角,因为∠C1BC=45°,
所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的二面角的大小是45°.
答案:45°
18.解析:因为AB=AC=BC=2,
AA1=1,所以△A1BC中,
A1B=A1C=,BC=2,
所以=×2×=2,S△ABC=×22=,
设点A到平面A1BC的距离为h,
则=,
即S△ABC·AA1=·h,
所以××1=×2·h,
所以h=,
即点A到平面A1BC的距离为.
答案:
19.解析:如图,连接BD与AC交于O,连接SO,
由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD,
因为AC 平面ABCD,故SO⊥AC.
又BD⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD 平面SBD,故AC⊥平面SBD.
由题意,PE⊥AC,则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥SABCD的交线,即平面EFG,则AC⊥平面EFG.
由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG,
又由面面平行的性质可得EG∥SB,GF∥SD,EF∥BD,
又E是边BC的中点,故EG,GF,EF分别为△SBC,△SDC,△BCD的中位线.
由题意BD=2,SB=SD==,
故EG+EF+GF=×(+2+)=+.
答案:+
20.(1)证明:如图,连接BD,
因为四边形ABCD为平行四边形,由题意可得,G是BD的中点,
又H是DF的中点,故GH∥BF.
(2)解:存在,P是CD的中点,证明如下:
由(1)可知,GH∥BF,
GH 平面GHP,BF 平面GHP,
所以BF∥平面GHP,连接PG,PH,
因为P,H分别是CD,DF的中点,则HP∥CF,
HP 平面GHP,CF 平面GHP,
所以CF∥平面GHP,
BF∩CF=F,BF,CF 平面BCF,
故平面GHP∥平面BCF.
21.(1)证明:因为PA⊥底面ABC,CM 底面ABC,
所以PA⊥CM.
因为△ABC是正三角形,M是AB的中点,
所以CM⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB.
所以CM⊥平面PAB.
(2)解:由对称性可知,二面角APBC的大小也为θ.
作MD⊥PB于D,连接CD(图略),则CD⊥PB.
所以∠CDM是二面角APBC的平面角.
因为AB=4,PA=3,
所以CM=2,DM=.从而CD=,
故cos θ==.
22.(1)证明:如图,作AH⊥PC交PC于H,连接HB,
设PH=a,由∠APC=45°,得PA=a,AH=a,
因为△BPA是正三角形,
所以PA=PB=AB=a.
在△PHB中,cos∠BPH==,
所以BH=a,所以PH2+BH2=PB2,
故BH⊥PC,
所以∠BHA即为二面角BPCA的平面角,
因为BA=a,BH=AH=a,
则AH2+BH2=AB2.
所以BH⊥AH,则∠BHA=90°.
所以由面面垂直的定义可知,平面PBC⊥平面PAC.
(2)解:因为平面PBC⊥平面PAC,平面PBC∩平面PAC=PC,BH 平面PBC,BH⊥PC,
所以BH⊥平面PAC,设点P到平面ABC的距离为h,
由AP=1,PC=,∠APC=45°,
则S△PCA=×1××=,
由余弦定理可得AC2=1+-2×1××=.
在△PBH中,PB=1,PH=,∠BHP=90°,
所以BH=.
则=S△PCA·BH=××=.
在△PBC中,PB=1,PC=,∠BPC=45°,由余弦定理可得BC 2=1+-2×1××=,
所以在△ABC中,AC=BC,取AB的中点D,连接CD,
则CD⊥AB,
所以CD==.
则S△ABC=××1=.
根据等体积法可得
=S△PCA·BH=S△ABC·h=,
所以h=,
因为AP=1,所以AP与平面ABC所成角θ的正弦值sin θ==.(共44张PPT)
第20讲 线面、面面的平行与垂直
1.直线与平面平行
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
性质
定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
2.平面与平面平行
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
性质
定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
3.直线与平面垂直的定义
一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
4.直线与平面垂直
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
推论 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面
性质
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
5.平面与平面垂直
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
性质
定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
(1)直线与直线的位置关系分类
6.空间中的夹角问题
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
③平移法:将异面直线a,b平移到同一平面内.
(3)直线与平面所成的角
①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.
(4)平面与平面的夹角(二面角)
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.[如图(1),二面角α-l-β或者是二面角A-CD-B]
②二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角.范围:[0,π].
③作二面角的平面角的方法.
法一:定义法
在棱上取点,分别在两个半平面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角.如图(2),在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
法二:三垂线法
在平面α内找一合适的点A,作AO⊥β于O,过A作AB⊥c于B,则BO为斜线AB在平面β内的射影,∠ABO为二面角α-c-β的平面角.如图(3),具体步骤:
步骤一:找点作面的垂线,即过点A,作AO⊥β于O;
步骤二:过点(与步骤一中是同一个点)作交线的垂
线,即过A作AB⊥c于B,连接BO;
步骤三:计算.∠ABO为二面角α-c-β的平面角,在
Rt△ABO 中解三角形.
法三:射影面积法
法四:补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当两平面没有明确的交线时,也可直接用法三的射影面积法解题,此处不做过多展开.
法五:垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与棱垂直,因此,公垂面与两个半平面的交线所成的角,就是二面角的平面角.
例如:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,平面ABC交
棱 a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角,如图(5).此法实际
应用中比较少,此处就不一一举例.
考点一 线面、面面平行(垂直)的相关命题的真假判断
[例1] (1)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是( )
√
解析:(1)D 对于A,如图(1),连接EF,由正方体的性质可得MN∥
EF∥AC,可得直线MN∥平面ABC,能满足;
对于B,如图(2),作出完整的截面ADBCEF,由正方体的性质可得MN∥AD,可得直线MN∥平面ABC,能满足;
对于C,如图(3),作出完整的截面ABCD,连接BD,由正方体的性质可得MN∥BD,可得直线MN∥平面ABC,能满足;
对于D,如图(4),作出完整的截面ABNMHC,可得MN在平面ABC内,不能得出平行,不能满足.故选D.
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q分别为线段BD,A1C1上的任意一点.给出下列四个结论:
①存在点P,Q,使得PQ⊥平面ABCD;
②存在点P,Q,使得PQ⊥平面BDC1;
③存在点P,Q,使得PQ∥平面BCD1;
④存在点P,Q,使得PQ∥平面D1DCC1.
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
√
解析:(2)D 当P,Q分别为线段BD,A1C1的中点时,PQ∥CC1,所以此时有PQ⊥平面ABCD,PQ∥平面D1DCC1,不存在点P,Q,使得PQ⊥平面BDC1,PQ∥平面BCD1,故正确结论的序号是①④.故选D.
总结提醒
(1)判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
(2)①结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
②特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
考点二 直线与平面、平面与平面间平行(垂直)的判定与性质
[例2] (1)(多选题)(2023·浙江7月学考)如图,在正方体
ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( )
A.BC1∥A1D B.BC1∥平面A1ADD1
C.BC1⊥B1D1 D.BC1⊥平面A1B1CD
√
√
解析:(1)BD 如图,连接AD1,A1D,B1D1,AB1,B1C,
对于A,在正方体中AB∥D1C1且AB=D1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,
所以BC1∥AD1,又A1D⊥AD1,所以BC1⊥A1D,所以A错误;
对于B,因为BC1∥AD1,AD1 平面A1ADD1,BC1 平面A1ADD1,
所以BC1∥平面A1ADD1,所以B正确;
对于C,因为△AB1D1为等边三角形,所以∠AD1B1=60°,
又BC1∥AD1,所以∠AD1B1为异面直线BC1与B1D1所成的角,
即直线BC1与B1D1所成的角为60°,则BC1与B1D1不垂直,所以C错误;
对于D,在正方体中,BC1⊥B1C,CD⊥平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,
所以CD⊥BC1,又CD∩B1C=C,CD,B1C 平面A1B1CD,
所以BC1⊥平面A1B1CD,所以D正确.故选BD.
(2)《九章算术》是我国古代数学专著,书中将底面为直角三角形,侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1
中,已知AC=BC,且点M,N,P分别是AB,A1C1,BC边的中点.
①求证:C1P∥平面MNC;
②求证:CM⊥平面ABB1A1.
证明:②由题意可知,AA1⊥平面ABC,AA1 平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面ABC,且平面ABB1A1∩平面ABC=AB,
因为AC=CB,所以CM⊥AB,且CM 平面ABC,
所以CM⊥平面ABB1A1.
①证明:CE∥平面PAB;
(3)①证明:取PA的中点M,连接BM,EM,
易证EM∥BC,EM=BC,
所以四边形BCEM是平行四边形,所以CE∥BM,
又CE 平面PAB,BM 平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
②直线AD上是否存在一点F,使得平面CEF∥平面PAB 请说明理由.
②解:当点F是AD的中点时,平面CEF∥平面PAB.
理由如下:
取AD的中点F,连接EF,FC,所以四边形ABCF为矩形,所以CF∥AB,而CF 平面PAB,AB 平面PAB,所以CF∥平面PAB,由①知,CE∥平面PAB,而CE,CF 平面CEF,且CE∩CF=C,所以平面CEF∥平面PAB.
(4)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,
PD=AD,M为线段PC上的动点,N为线段BC的中点.
①若M为线段PC的中点,证明:平面PBC⊥平面MND;
(4)①证明:因为底面ABCD为正方形,PD=AD,
所以PD=CD,BC⊥CD.
因为M为线段PC的中点,所以在△PCD中,DM⊥PC.
因为PD⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,所以PD⊥BC.
又BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,
所以BC⊥平面PCD.因为DM 平面PCD,所以BC⊥DM.
又DM⊥PC,PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以DM⊥平面PBC.
因为DM 平面MND,
所以平面PBC⊥平面MND.
②若PA∥平面MND,试确定点M的位置,并说明理由.
总结提醒
(1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用反证法(线面平行的定义);
②利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α);
③利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β);
④利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
(2)利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
(3)证明直线和平面垂直的常用方法
①判定定理;
②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);
③面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);
④面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l β l⊥α).
(4)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
(5)判定面面平行的主要方法
①利用面面平行的判定定理;
②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
(6)利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
(7)证明平面和平面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理.
(8)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
考点三 简单的线面角与二面角的平面角的求法
[例3] (1)(2020·浙江7月学考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=BB1=1,则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值是
.
(2)如图,PA是平面α的斜线,∠BAC在平面α内,且∠BAC=90°,又∠PAB=∠PAC=60°,则PA与平面α所成的角为 .
45°
①求三棱锥P-ABC的体积;
②求证:平面PAC⊥平面PBC;
②证明:因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,
PA,AC 平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
③设点D在棱PB上,AD=CD,求二面角D-AC-B的正弦值.
③解:过点D作DE⊥AB于E,取AC的中点F,连接EF,DF,
因为PA⊥平面ABC,PA 平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.
又平面PAB∩平面ABC=AB,DE 平面PAB,
所以DE⊥平面ABC,DE∥PA.
因为AC 平面ABC,所以DE⊥AC.
总结提醒
利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.
(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.
(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法;②三垂线法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
