第1讲 集合与常用逻辑用语
1.D 2.B 3.C
4.B A.元素(2,3),(3,2)表示不同的点,所以M,N是不同的集合;B.集合中元素的顺序不同,但是元素相同,所以M,N是同一集合;C.集合M中的元素是点,集合N中的元素是数,所以M,N是不同的集合;D.集合M中元素的范围是R,集合N中元素的范围是[1,+∞),范围不同,所以M,N是不同的集合.故选B.
5.B 因为A={0,m,m2-3m+2}且2∈A,
所以m=2或m2-3m+2=2,
①若m=2,此时m2-3m+2=0,不满足互异性;
②若m2-3m+2=2,解得m=0或3,当m=0时不满足互异性,当m=3时,A={0,3,2}符合题意.综上所述,m=3.故选B.
6.B RB={x|x<2},A∩( RB)={x|0
7.B 当a=-5,b=3时,满足|a|>b,不满足a>|b|,即“|a|>b”不能推出“a>|b|”;反之,当a>|b| 时,显然a为正数,又|b|≥b,得|a|=a>|b|≥b,即|a|>b成立,“a>|b|”能推出“|a|>b”,故“|a|>b”是“a>|b|”的必要不充分条件.故选B.
8.B 因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.故选B.
9.A “ x∈R,ax2+2x+1>0”是假命题,则“ x∈R,ax2+2x+1≤0”是真命题.x=0时,命题“ x∈R,ax2+2x+1≤0”为假,x≠0时,即 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),使得a≤-成立,而令t=-=-(+1)2+1≤1,所以a≤1.即实数a的取值范围为(-∞,1].故选A.
10.B 因为A={x|-2≤x≤5,x∈Z},
B={x|x>2或x<-,x∈Z},
所以A∩B={x|-2≤x<-或211.B 对于A,由x2-2x-3≤0得(x-3)(x+1)≤0,解得-1≤x≤3,所以“x2-2x-3≤0”是p成立的一个既不充分也不必要条件,故A不符合;
对于B,log2(x+1)<2可得log2(x+1)对于C,2x-2>可得2x-2>2-3,则x-2>-3,
解得x>-1,所以“2x-2>”是p成立的一个必要不充分条件,故C不符合;
对于D,由≤0可解得x<-1或x≥3,故“≤0”是p成立的一个既不充分也不必要条件,故D不符合.故选B.
12.C 对于方程x2-ax+1=0,Δ=a2-4,
当a2-4<0,即-2当a2-4=0,即a=±2时,若a=2,则x2-2x+1=(x-1)2=0,x=1,A={1},A∩B=,符合题意;若a=-2,则x2+2x+1=(x+1)2=0,x=-1,A={-1},A∩B={-1}≠,不符合题意.当a2-4>0,即a<-2或a>2时,设方程x2-ax+1=0的两个根为x1,x2,则若a<-2,则方程x2-ax+1=0有两个不相等的负根,A∩B≠,不符合题意;若a>2,则方程x2-ax+1=0有两个不相等的正根,A∩B=,符合题意.
综上所述,a的取值范围是a>-2.故选C.
13.CD 若x则{014.ACD 因为A={x|00}.所以1∈A,A正确;A∩B=,
B错误;
A ( RB),C正确;A∪B={x|x<2},D正确.故选ACD.
15.ACD 选项A,因为存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“ x∈R,12”,即选项A正确;选项B,“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是存在量词命题,故选项B错误;选项C,当x=9时,x-2=7>=3,所以“ x∈R,x-2>”是真命题,选项C正确;选项D,因为x=0时,x2=0,所以命题 “ x∈R,x2>0”是假命题,所以“ x∈R,x2>0”的否定是真命题,选项D正确.故选ACD.
16.解析:由补集定义可知, UA={1,5,9}.
答案:{1,5,9}
17.解析:因为B A,所以a+2=3或a+2=a2,解得a=±1(舍去)或a=2.
答案:2
18.解析:因为M={x|<4},所以M={x|0≤x<16}.
因为N={x|3x≥1},所以N=.
所以M∩N=.
答案:
19.必要不充分
20.解:(1)因为A={1,2,3},B={2,3,4,5,6},
所以A∩B={2,3}.
(2)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},
B={2,3,4,5,6},所以 UB={1,7,8},
所以A∪( UB)={1,2,3,7,8}.
21.解:(1)根据A∩B=B可知,B A,有两种情况:
若B=,则m-1≥2m+1,
解得m≤-2;
若B≠,根据B A可得
解得-2综上,m的取值范围为(-∞,1].
(2)若不存在实数x,使x∈A,x∈B同时成立,
即A∩B=,有两种情况:
若B=,则m-1≥2m+1,解得m≤-2;
若B≠且A∩B=,则有
解得m>4,或解得m∈.
综上,m的取值范围为(-∞,-2]∪(4,+∞).
22.证明:当f(x)=0有两个大于1的根时,有
解得k<-2;
当k<-2时,f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=>,f(1)=k2+2k>0,
Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>9,所以f(x)=0有两个大于1的根.
综上,方程f(x)=0有两个大于1的根的充要条件是k<-2.主题一 预备知识
第1讲 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1.已知集合A={x∈R|1A.1∈A B.2 A
C.3∈A D.4 A
2.已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∩B等于( )
A. B.{5}
C.{4,6} D.{3,4,5,6,7}
3.已知集合A={1,3,5},B={x>2},则A∩B等于( )
A. B.{5}
C.{3,5} D.{3,4,5}
4.下列集合表示同一集合的是( )
A.M={(2,3)},N={(3,2)}
B.M={2,3},N={3,2}
C.M={(x,y)|y=x+1},N={y|y=x+1}
D.M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1}
5.已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2,3
6.设全集为R,集合A={x|0A.{x|0C.{x|1≤x<4} D.{x|07.设a,b是实数,则“|a|>b”是“a>|b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
9.已知命题“ x∈R,ax2+2x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.(1,+∞) D.0
10.若集合A={x|x2-3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x2-x-6>0,x∈Z},则A∩B的子集有( )
A.15个 B.16个 C.7个 D.8个
11.若p:-1A.x2-2x-3≤0 B.log2(x+1)<2
C.2x-2> D.≤0
12.已知集合A={x|x2-ax+1=0,x∈R},B={x|x<0},若A∩B=,则有( )
A.a≥2 B.-2C.a>-2 D.a>0
二、多选题
13.若xA.1 B.2 C.4 D.5
14.已知集合A={x|0A.1∈A
B.A B
C.A ( RB)
D.A∪B={x|x<2}
15.下列命题是真命题的是( )
A.命题“ x∈R,12”
B.“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称量词命题
C.“ x∈R,x-2>”是真命题
D.“ x∈R,x2>0”的否定是真命题
三、填空题
16.已知集合U={1,3,5,7,9},A={3,7},则 UA= .
17.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a= .
18.若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N等于 .
19.已知p:ab>0,q:a<0,b<0,则p是q的 条件.
四、解答题
20.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={2,3,4,5,6}.
(1)求A∩B;
(2)求A∪( UB).
21.已知集合A={x|-4≤x≤3},B={x|m-1≤x<2m+1}.
(1)若A∩B=B,求实数m的取值范围;
(2)若不存在实数x,使x∈A,x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
22.已知二次函数f(x)=x2+(2k-1)x+k2,求证:“方程f(x)=0有两个大于1的根”的充要条件是“k<-2”.
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主题一 预备知识
【学业要求】
能够在现实情境或数学情境中,概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达.初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象,并能进行转换.掌握集合的基本关系与基本运算.
能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,体会常用逻辑用语在数学中的作用.
能够从函数观点认识方程和不等式,感悟数学知识之间的关联,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.
重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
第1讲 集合与常用逻辑用语
1.集合与元素
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
2.集合的分类
集合按元素多少可分为:有限集(元素个数有限)、无限集(元素个数无限)、空集(不含任何元素);也可按元素的属性分,如:数集(元素是数)、点集(元素是点)等.
3.集合中元素的性质
对于一个给定的集合,它的元素具有确定性、互异性、无序性.
4.常用集合符号
R:实数集;Z:整数集;N:自然数集(含有0);N*:正整数集(没有0);
Q:有理数集.
5.元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“∈”或“ ”连接,元素与集合之间是个体与整体的关系,不存在大小或相等关系.
6.集合的表示
(1)列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
(2)描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(3)区间:数学里最常用的一类集合叫区间.
7.集合与集合之间的关系
(2)相等关系:对于集合A,B,如果A B,同时A B,那么称集合A等于集合B,记作A=B.
(3)真包含关系:对于集合A,B,如果A B,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).
8.集合之间的运算性质
9.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利用Venn图的直观性,可以深刻理解集合有关概念、运算公式,而且有助于显示集合间的关系.
10.命题
我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题.
11.命题的结构
从构成来看,所有的命题都是由条件和结论两部分构成.
若p,则q.
(1)命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
(2)“若p,则q”,可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等.
(3)p和q可以是命题,也可以不是命题.
(4)“若p,则q”形式的优点:条件与结论容易辨别.
12.充分条件与必要条件
设p:x∈A,q:x∈B,则
13.全称量词与存在量词
命题名称 命题结构 命题表示
全称量词命题 对M中任意一个x,
p(x)成立 x∈M,p(x)
存在量词命题 存在M中的元素x,
p(x)成立 x∈M,p(x)
14.全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题
命题 命题的否定
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x)
x∈M,p(x) x∈M,﹁p(x)
15.常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于
(=) 大于
(>) 小于
(<) 是
否定
词语 不等于
(≠) 小于等于
(≤) 大于等于
(≥) 不是
原词语 都是 任意
(所有) 至多
有一个 至少
有一个
否定
词语 不都
是 存在
(有的) 至少
有两个 一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,证明其成立,要判断全称量词命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x,使之不成立即可,这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题,只要在限定集合M中能找到一个x,使之成立即可,否则这个存在量词命题就是假命题.
注意
考点一 集合的概念、表示、基本关系
[例1] (1)下列各项中,不能组成集合的是( )
A.所有的正数
B.所有的老人
C.不等于0的数
D.大于-5且小于-2的整数
√
解析:(1)B 集合中的元素具有确定性,老人的标准不确定,元素不能确定,故“所有的老人”不能构成集合.故选B.
√
A.{3,6}
B.{1,2,4,5,6,9}
C.{-6,-3,-2,-1,3,6}
D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6}
√
(4)(多选题)下列关系正确的是( )
A.3∈{y|y=x2+1}
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.若集合{x2,x},则x≠0且x≠1
√
√
√
解析:(4)ACD 因为{y|y=x2+1}=[1,+∞),所以3∈[1,+∞),A项正确;因为点(a,b)与点(b,a)可能是两个不同的点,所以B项不正确;根据集合{x2,x}内元素的互异性,x2≠x,所以x≠0,且x≠1,所以C项正确;因为{x|3总结提醒
(1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性,其中互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(2)元素与集合之间是属于或不属于关系,集合与集合之间是相等、包含或不包含关系,空集是任何集合的子集.
(3)列举法和描述法表示集合时,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
考点二 集合的基本运算
√
(2)(2023·浙江7月学考)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x>0},则下列结论不正确的是( )
√
(3)(多选题)设集合P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3},则下列结论正确的是( )
√
√
解析:(3)CD 对A,集合P中1 Q,故A错误;
对B,P∩Q={2,3},故B错误;
对C,因为P∩Q={2,3},P={1,2,3},显然(P∩Q) P,故C正确;
对D, RQ={x|x<2或x>3},( RQ)∩P={1},故D正确.故选CD.
(4)已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|x2-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.(-∞,1]∪(2,+∞)
B.(-∞,0)∪(1,2)
C.[1,2)
D.(1,2]
√
解析:(4)A B={x|x2-x>0}={x|x<0或x>1},由题意可知阴影部分对应的集合为 U(A∩B)∩(A∪B),所以A∩B={x|12},所以 U(A∩B)∩(A∪B)=(-∞,1]∪
(2,+∞).故选A.
(5)(多选题)设A为非空实数集,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,则称A为封闭集.下列叙述中,正确的为( )
A.集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集
B.集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A为封闭集,则一定有0∈A
√
√
解析:(5)BD 对于A,在集合A={-2,-1,0,1,2}中,
-2-1=-3不在集合A中,所以集合A不是封闭集,故A错误;
对于B,集合A={n|n=2k,k∈Z},
设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,
所以x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,
所以集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集,故B正确;
对于C,封闭集不一定是无限集,如:{0}为封闭集,故C错误;
对于D,若A为封闭集,则取x=y,得x-y=0∈A,故D正确.故选BD.
总结提醒
(1)进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴,使抽象问题直观化,一般集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
(2)集合的新定义问题主要考查对题意的理解掌握水平,以集合为依托,对集合的定义、运算、性质加以深入的创新,但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决,同时要注意特殊值法和排除法的应用.
考点三 必要条件、充分条件、充要条件
[例3] (1)(2022·浙江1月学考)已知空间中两条不重合的直线a,b,则“a与b没有公共点”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)B “直线a与b没有公共点”表示直线a∥b或者a与b是异面直线,所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
√
(2)(2021·浙江7月学考)“x=4”是“2x=x2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(2)A 若x=4,则24=42=16,即2x=x2成立,故充分性成立;显然x=2时,22=22=4,即2x=x2成立,故由2x=x2推不出x=4,故必要性不成立,故“x=4”是“2x=x2”的充分不必要条件.故选A.
√
√
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
总结提醒
(1)判断充分、必要条件的三种方法
利用定义
判断 直接判断“若p,则q”命题的真假,在判断时,确定条件是什么、结论是什么
从集合的
角度判断 利用集合中的包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分、必要性的问题
利用等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假
(2)根据充分、必要条件求解参数范围
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
②要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
[例4] (1)(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是( )
√
√
√
(2)(多选题)命题p: x∈R,x2+2x+2-m<0为假命题,则实数m的取值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
√
√
√
(3)命题p: x≥0,x2-ax+3>0,则﹁p为 .
解析:(3)全称量词命题的否定是存在量词命题, x≥0,x2-ax+
3≤0.
x≥0,x2-ax+3≤0
总结提醒
(1)对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法:①改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量
词,再对量词进行改变;②否定结论:对原命题的结论进行否定.
(2)因为命题p与﹁p的真假性相反,因此不管是全称量词命题,还
是存在量词命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.