第2讲 相等关系与不等关系、基本不等式
1.B 由a+b<0,可得b<-a,a<-b,
又因为b>0,所以-a>b>-b>a.故选B.
2.A 因为a>2,b>4,故a+b>2+4=6,充分性成立.若a+b>6,不妨令a=1,b=6,满足a+b>6,但不满足a>2,b>4,必要性不成立,故“a>2,b>4”是“a+b>6”的充分不必要条件.故选A.
3.C 由长、宽、高之和不超过130 cm得a+b+c≤130,由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
4.D 对于A,当a=1,b=-1时,满足a>b,但是 >,故A错误;
对于B,当a=1,b=-1时,满足a>b,但是a2=b2,故B错误;
对于C,当a=0,b=-1时,满足a>b,但是a2=ab,故C错误;
对于D,因为a>b,所以a+a>b+a,即2a>a+b,故D正确.
故选D.
5.D 因为0
所以0<2x<8,-6<-y<0,
所以-6<2x-y<8,
所以2x-y的取值范围是(-6,8).故选D.
6.B 因为x,y>0,且xy=36,由基本不等式可得x+y≥
2=12,当且仅当x=y=6时,等号成立,故x+y的最小值是12.故选B.
7.B 由a由a由a-b>0,所以|a|>|b|,故C错误;
由a|b|>0,
所以||<||,故D错误.故选B.
8.D 因为,可能为负数,如==-1时,
+=-2,所以A错误;
因为lg x,lg y可能为负数,如lg x=lg y=-1时,lg x+lg y=-2,2=2,所以B错误;
因为x<0,<0,如x=-1,=-4时,
x+=-5<-4,所以C错误;
因为x<0,2x∈(0,1),2-x>1,
所以2x+2-x>2=2,所以D正确.故选D.
9.C 对于A,-==,因为a>b>0,所以b-a<0,b>0,但b-1的正负不确定,
所以>不一定成立,即选项A错误;
对于B,-==,因为a>b>0,所以a-b>0,b>0,但2b-a的正负不确定,所以>不一定成立,即选项B错误;
对于C,-==,因为a>b>0,所以a-b>0,b>0,b+1>0,所以>一定成立,即选项C正确;
对于D,a--(b-)=,因为a>b>0,所以a-b>0,ab>0,但ab-1的正负不确定,所以a->b-不一定成立,即选项D错误.故选C.
10.C 由a+b=1得b=1-a,
所以1-a≥0,得0≤a≤1,
所以a-b=a-(1-a)=2a-1∈[-1,1].故选C.
11.A 因为x>0,y>0,+=1,
所以x+3y=(x+3y)(+)=++6≥2+6=12,
当且仅当=,即x=6,y=2时等号成立.
因为不等式x+3y>m2+m恒成立,
所以m2+m<12,解得-412.B 设教师人数为x,家长人数为y,女学生人数为z,男学生人数为t,x,y,z,t∈N*,
则y≥x+1,z≥y+1≥x+2,t≥z+1≥y+2≥x+3,
则x+y+z+t≥4x+6,
又教师人数的两倍多于男学生人数,
所以2x>x+3,解得x>3,
当x=4时,x+y+z+t≥22,此时群人数的最小值为22.故选B.
13.ACD 对于①,因为a>b>0,所以<,
又c>0,所以<,故①恒成立;
对于②,-=,
又a,b,m>0,所以>0,但b-a符号不确定,
当b>a时,>(a,b,m>0),故②不恒成立;
对于③,-()2===≥0,所以≥()2,故③恒成立;
对于④,由③知≥()2,所以≥,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,两边同时开方,可得≥a+b,故④恒成立;
故恒成立的结论是①③④.
故选ACD.
14.ABD 对于A,+=+=++2≥
2+2=4,当且仅当x=y=1时,等号成立,故A正确;
对于B,xy=·x·2y≤×()2=×=,当且仅当x=2y,即x=,y=时,等号成立,故B正确;
对于C,(+)2=x+2y+2≤3+2=3+3=6,则+≤,当且仅当x=2y,即x=,y=时,等号成立,故C错误;
对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×=,当且仅当x=,y=时,等号成立,故D正确.故选ABD.
15.BD 对于A,因为x>0,y>0,所以x+y≥2,当且仅当x=y时,等号成立,
即3-xy≥2,解得0<≤1,即0对于B,由x>0,y>0,3-(x+y)=xy≤()2,当且仅当x=y时,等号成立,
得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,
又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,B正确;
对于C,由x>0,y>0,x+y+xy-3=0,
得x==-1+,
则x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5≥2-5=3,
当且仅当=4(y+1),即y=0时,等号成立,但y>0,
所以x+4y>3(等号取不到),C错误;
对于D,由C的分析知,x>0,y>0,x=-1+,
x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥4-3,
当且仅当=2(y+1),即y=-1时,等号成立,D正确.故选BD.
16.解析:由题知,(2a2+b2+1)-(ab+2a)=a2-ab+b2+a2-2a+1=(a-b)2+(a-1)2≥0,
当且仅当a=1,b=2时,等号成立.
答案:≥
17.解析:因为s-t=a+b2+1-(a+2b)=b2-2b+1=(b-1)2≥0,
所以s≥t.
答案:s≥t
18.解析:因为2所以4<2a<8,-8<-b<-3,
所以-4<2a-b<5,即2a-b的取值范围是(-4,5).由题可知2所以<<,即的取值范围是(,).
答案:(-4,5) (,)
19.解析:因为a,b是正实数,且满足2a2+b2=3,则有a=·(a)·≤·=(2a2+b2+1)=,
当且仅当a=时,等号成立.
由且a,b是正实数,得a=b=1,
所以当a=b=1时,a的最大值为.
答案:
20.解:(1)当a=2时,N=(x+1)(x+4),
则M-N=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0,所以M>N.
(2)M-N=(x+2)(x+3)-[(x+1)(x+4)-a+2]=(x2+5x+6)-(x2+5x+6-a)=a,
因为M≥N,则a≥0.
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
21.解:(1)因为2所以<<,而1所以有×1<<×4,
所以<<2,所以∈(,2).
(2)因为
所以8<2a+3b<32,
所以(2a+3b)∈(8,32).
(3)因为2所以-8<-b<-2,
而1所以有1-8所以-7所以(a-b)∈(-7,2).
22.解:设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克,p2元/千克,按甲策略,每次购n千克,按这种策略购物时,两次的平均价格x==(元/千克),
按乙策略,第一次花m元钱,能购买千克物品,第二次仍花m元钱,能购买千克物品,
两次购物的平均价格y==(元/千克),
比较两次购物的平均价格
x-y=-=-==≥0,
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格,所以用乙购物策略比较经济.第2讲 相等关系与不等关系、基本不等式
一、单选题
1.已知a+b<0,b>0,则下列大小关系正确的是( )
A.-a>-b>b>a B.-a>b>-b>a
C.-b>a>-a>b D.-b>-a>a>b
2.“a>2,b>4”是“a+b>6”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 130 cm,且体积不超过72 000 cm3,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a+b+c<130且abc<72 000
B.a+b+c>130且abc>72 000
C.a+b+c≤130且abc≤72 000
D.a+b+c≥130且abc≥72 000
4.若a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.< B.a2>b2
C.a2>ab D.2a>a+b
5.已知0A.(-2,0) B.(0,2)
C.(-8,6) D.(-6,8)
6.已知x,y>0,且xy=36,则x+y的最小值是( )
A.10 B.12 C.13 D.15
7.若实数a,b满足aA.a+b>0 B.a-b<0
C.|a|<|b| D.||>||
8.下列不等式证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若x>0,y>0,则lg x+lg y≥2
C.若x<0,则x+≥-2=-4
D.若x<0,则2x+2-x>2=2
9.已知a,b∈R,a>b>0,则下列不等式一定成立的是( )
A.> B.>
C.> D.a->b-
10.已知a≥0,b≥0,且a+b=1,则a-b的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,2]
11.已知x>0,y>0,+=1,若不等式x+3y>m2+m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,3)
B.(-3,4)
C.(-∞,-4)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(4,+∞)
12.为了加强家校联系,王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的群.已知该群中男学生人数多于女学生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于教师人数,教师人数的两倍多于男学生人数.则该群人数的最小值为( )
A.20 B.22 C.26 D.28
二、多选题
13.下列不等式:
①<(a>b>c>0);
②>(a,b,m>0);
③≥()2(a,b∈R);
④a+b≤(a,b∈R).
其中恒成立的有( )
A.① B.② C.③ D.④
14.设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是( )
A.+的最小值为4
B.xy的最大值为
C.+的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为
15.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则( )
A.xy的取值范围是[1,9]
B.x+y的取值范围是[2,3)
C.x+4y的最小值是3
D.x+2y的最小值是4-3
三、填空题
16.已知a,b为实数,则2a2+b2+1 ab+2a(选填“>”“<”“≥”或“≤”).
17.设t=a+2b,s=a+b2+1,则s与t的大小关系是 .
18.已知219.已知正实数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为 .
四、解答题
20.设M=(x+2)(x+3),N=(x+1)(x+4)-a+2.
(1)当a=2时,比较M,N的大小;
(2)当M≥N时,求实数a的取值范围.
21.已知1(1)的取值范围;
(2)2a+3b的取值范围;
(3)a-b的取值范围.
22.购买同一种物品可以用两种不同的策略,不考虑物品价格的升降,分两次购买这种物品,甲策略是每次购买这种物品的数量一定,乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定,则哪种购物策略比较经济
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第2讲 相等关系与
不等关系、基本不等式
1.比较实数大小的基本方法
2.不等式的性质
(1)基本性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b baa 可逆
传递性 a>b,b>c a>c;
a可加性 a>b a+c>b+c 可逆
可乘性 a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac(2)倒数性质
(3)分数性质——糖水不等式
3.基本不等式
(1)两个基本不等式中实数a,b的取值范围是不同的,运用第二个不等式时,a,b必须都是正实数.
(2)两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
注意
考点一 数(式)的大小比较
[例1] (1)某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为
120 km/h,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为
( )
A.v≤120 km/h,且d≥10 m
B.v≤120 km/h或d≥10 m
C.v≤120 km/h
D.d≥10 m
√
解析:(1)A 因为高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h,所以v≤120 km/h;因为同一车道上的车间距d不得小于10 m,所以d≥10 m.因为两个规则都必须遵守,所以v≤120 km/h,且d≥10 m.故选A.
√
√
√
√
总结提醒
仔细阅读题意,结合关键信息,结合基本不等式、作差或作商来比较大小.
考点二 不等式性质的应用
√
(2)设a,b,c,d为实数,且cA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析:(2)B 由a满足a当a-c所以“a(3)已知x>y>z且x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是( )
A.xy>yz
B.xz>yz
C.xy>xz
D.x|y|>z|y|
√
解析:(3)C 因为x>y>z且x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,即x>0.
又因为3z所以x>0,z<0,y无法判断.
对选项A,当y=0时,xy=yz,故A错误;
对选项B,因为x>y,z<0,所以xz对选项C,因为y>z,x>0,所以xy>xz,故C正确;
对选项D,当y=0时,x|y|=z|y|,故D错误.
故选C.
总结提醒
正确的选项需要根据不等式性质、作差比较大小、作商比较大小证明,错误的选项只需通过举反例排除即可.
考点三 结合不等式性质求取值范围
[例3] (1)若x,y满足-1A.(-2,0) B.(-2,2)
C.(-1,0) D.(-1,1)
解析:(1)A 因为-1因为-1又x所以-2所以x-y的取值范围是(-2,0).故选A.
√
(2)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是( )
A.[2,8]
B.[3,8]
C.[2,7]
D.[5,10]
√
√
总结提醒
结合不等式性质或待定系数法正确求解,要注意正负符号.
考点四 基本不等式的简单应用
[例4] (1)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形证明,也称为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为点E,则该图形中的大小关系正确的为( )
√
(2)(多选题)下列代数式中最小值为2的是( )
√
√
√
√
√
√
总结提醒
应用基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
考点五 基本不等式的实际应用
(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
总结提醒
有关函数最值的实际问题的解题技巧:(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.