(共52张PPT)
第18讲 基本立体
图形、简单几何体的表面积与体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的形成
旋转体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
旋转体 圆柱 圆锥 圆台
侧面
展开图
侧面
积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=
π(r+r′)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
4.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
能在正方体(长方体)内还原的立方体,即长方体切割体的外接球.
设长方体相邻的三条棱长分别为a,b,c.
图(1)有重垂线,三视图是三个直角三角形,侧面(侧棱)两两垂直,
图(2)有重垂线,所有面均为直角三角形(线面垂直+线线垂直),
图(3)无重垂线,俯视图是一矩形,AC为虚线,主视图和左视图为直角三
角形,
图(4)若是长方体,则为对棱相等的四面体,若是正方体,则是正四面体(所有棱长均相等).
*5.外接球
*6.内切球
截面法:题设正三棱锥求内切球半径r[如图(1)所示].
第一步,先画出内切球的截面图如图(1),E,H分别为两个三角形的外心;
题设:正四棱锥求内切球半径r[如图(2)所示].
第一步,先画出内切球的截面图如图(2),P,O,H三点共线;
等体积法:题设求任意三棱锥的内切球半径[如图(3)所示].
第一步,先求出四个面的面积和整个锥体的体积;
第二步,设内切球半径为r,建立等式
7.球的外接、内切结论
(1)正方体与球
内切球:内切球直径2R=正方体棱长a.
(3)正棱锥与球
(4)正四面体的外接球、内切球
(5)正三棱柱的外接球
(6)圆柱的外接球
(7)圆锥的外接球
R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径,h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径).
考点一 空间几何体的结构特征
[例1] (1)(多选题)下列命题正确的是( )
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径
C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合
√
√
解析:(1)BC 对于A,当过球的直径的两个端点,可以作无数个过球心的圆,所以A错误;对于B,根据球的定义知,过球心的截面圆为大圆,两个大圆的交线必为球的直径,所以B正确;对于C,根据球的截面圆的性质,可得用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面,所以C正确;对于D,根据球的定义,球面是在空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合,所以D错误.故选BC.
(2)下列命题正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.长方体是正四棱柱
D.四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
√
解析:(2)D 选项A,有一个面是多边形,其余各面是三角形,如果其余各面没有一个共同的顶点,则该几何体不是棱锥,命题错误;选项B,有两个面平行且相似,其余各面都是梯形,如果侧棱延长后不相交于同一点,则该多面体不是棱台,命题错误;选项C,当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱,命题错误;选项D正确.故选D.
(3)如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,沿平面A1C1B截去三棱锥
B1-A1C1B,则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
√
解析:(3)B 截去三棱锥B1-A1C1B,则剩余的部分B-ACC1A1是四棱锥.故选B.
(4)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
√
解析:(4)D A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱,不合题意;B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥,不合题意;C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥,不合题意;D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥,符合题意.故选D.
(5)下列命题中正确的有( )
①一个棱柱至少有5个平面;
②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形;
③有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台;
④正方形的直观图是正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
解析:(5)B ①因为棱柱底面边最少时为三角形,故至少有3个侧面,2个底面,共5个平面,故①正确;②正棱锥的底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心,侧面都是全等的等腰三角形,故②正确;③不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交于同一点;④正方形的直观图是平行四边形,所以④不正确;正确的命题只有①②.故选B.
总结提醒
(1)关于空间几何体的结构特征的辨析,关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.
考点二 空间几何体的直观图
√
(2)用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF(底面ABCDEF是正六边形,点P与底面正六边形的中心O的连线垂直于底面)的直观图(尺寸
自定).
(2)解:①画底面:
在正六边形ABCDEF中,EF的中点为M,BC的中点为N,
以AD所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,两轴相交于点O [如图(1)所示],
②画顶点:在z′轴的正半轴上任意选取一点(不含点O′)为P′,
③成图:连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去辅助线x′轴、y′轴和z′轴,将被遮挡的线改为虚线,便得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′[如图(3)所示].
总结提醒
(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”
(两坐标轴成45°或135°角)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向,一是已知原图形求直观图的相关量,二是已知直观图求原图形中的相关量.
考点三 空间几何体的表面积与体积
[例3] (1)(2022·浙江7月学考)已知球的半径是2,则该球的表面积是( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
√
解析:(1)由于R=2,得球的表面积
S球=4πR2=4π×22=16π.故选D.
(2)(2020·浙江7月学考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2.E,F分别是侧面ACC1A1和侧面ABB1A1上的动点,满足二面角A-EF-A1为直二面角.若点P在线段EF上,且AP⊥EF,则点P的轨迹的面积是( )
√
√
(3)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为棱AB,C1D1上的动点,那么三棱锥F-CDE的体积为( )
√
(5)一个圆柱的底面半径为3 cm,高为4 cm,则它的侧面积为 cm2.
24π
解析:(5)圆柱的底面半径为3 cm,高为4 cm,
则它的侧面积为2π×3×4=24π(cm2).
(6)轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积为 .
2π
解析:(6)圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则易知圆锥底面半径r=1,母线长l=2,结合圆锥的侧面积公式S=πrl=2π.
(7)(2022·浙江7月学考)某广场设置了一些石凳供大家休息,每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图,从棱的中点截).如果
被截正方体的棱长是4(单位:dm),那么一个石凳的体积是 (单位:
dm3).
总结提醒
空间几何体表面积与体积的解题策略
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(3)若所给定的几何体的体积是可直接用公式求解的,则可直接利用公式进行求解.
(4)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
考点四 展开与最值问题
√
(2)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′的面对角线A′B上存在一点P使得AP+D′P取得最小值,则此最小值为( )
√
总结提醒
常用方法是将几何图形展开为平面图形,利用几何性质求解或利用函数、不等式求最值.
考点五 外接球、内切球问题
[例5] (1)已知一个球的内接正方体的体积为8,则这个球的体积为( )
√
√
√
(3)在正四棱锥P-ABCD中,PA=5,AB=6,则该四棱锥内切球的表面积是( )
(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,且所有顶点都在同一
个球面上,若AA1=AC=2,AB⊥BC,则此球的体积为 .
总结提醒
(1)求外接球半径的常用方法
①找球心法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
②补形法:把图形补成长方体或正方体或圆柱
a.侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解.
b.若直棱柱的底面有外接圆,可以补成圆柱求解.第18讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1.如图,若直角三角形ABC及其内部各点绕斜边AB所在的直线旋转360°,则所得到的旋转体为( )
A.圆锥
B.圆台
C.圆锥与圆台的组合体
D.两个圆锥形成的组合体
第1题图
2.下列说法正确的是( )
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台
3.棱长为a的正四面体的表面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
4.如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观图,A′C′∥y′轴,A′B′∥x′轴,其中A′C′=
A′B′,那么△ABC是( )
第4题图
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
5.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,则盛水部分的几何体是( )
A.四棱台 B.四棱锥
C.四棱柱 D.三棱柱
第5题图
6.若某圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形,则该圆柱的体积是( )
A.4π B.2π C.2π2 D.π2
7.正四棱台上、下底面边长分别为2 cm,4 cm,侧棱长2 cm,则棱台的侧面积为( )
A.6 cm2 B.24 cm2
C.3 cm2 D.12 cm2
8.如图,水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′,已知A′O′=O′B′=1,B′C′=1,则四边形ABCD的周长为( )
第8题图
A.6 B.12
C.8 D.10
9.圆台O1O2母线长为3,下底面直径为10,上底面直径为5,过圆台两条母线作截面,则该截面面积最大值为( )
A. B.
C. D.以上都不对
10.已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上,AB⊥AC,BC=2,PB⊥平面ABC,若球O的体积为36π,则该三棱锥的体积的最大值是( )
A. B.5
C. D.
11.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分,则该几何体的表面积为( )
A.24-3π B.24-π
C.24+π D.24+5π
第11题图
12.如图,在四棱锥PABCD中,AB=BC=PC=2,四边形ABCD为矩形,PC⊥平面ABCD,M为PB中点,T为平面PAD上的动点,Q为DM上的动点,则BQ+QT的最小值是( )
第12题图
A.+1 B.4
C.+ D.3
二、多选题
13.下列关于圆柱的说法正确的是( )
A.圆柱的所有母线长都相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面
D.一个矩形以其一组对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱
14.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段MN的最小值为 -1,则下列说法中正确的是( )
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为π
C.正方体的棱长为2
D.线段MN的最大值为2
15.如图,已知圆锥的底面圆心为O,半径r=,圆锥的体积为π,内切球的球心为O1,则下列说法正确的是( )
A.侧面积为2π
B.内切球O1的表面积为(84-48)π
C.过点P作平面α截圆锥的截面面积的最大值为
D.设母线PB中点为M,从点A沿圆锥表面到M的最近路线长为
三、填空题
16.已知圆锥的母线长为4,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径为 ,体积为 .
17.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,BC=CC1=2,则四棱锥ABDD1B1的体积为 .
18.已知圆台的下底面半径为6,上底面半径为3,其侧面积等于上、下底面积之和,则圆台的高为 .
19.已知在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,AD=20,A1B1=10 ,点A1到平面ABCD的距离为10,将四棱台ABCDA1B1C1D1放入球O内,则球O表面积的最小值为 .
四、解答题
20.已知正四棱台ABCDA1B1C1D1,上底面A1B1C1D1边长为2,下底面ABCD边长为4,高为1.求:
(1)该四棱台的侧棱长;
(2)该四棱台的体积.
21.如图,在多面体中,四边形ABCD为矩形,CE⊥平面ABCD,AB=2,BC=CE=1,通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱.
(1)求添加的三棱锥的体积;
(2)求补形后的直三棱柱的外接球的表面积.
22.如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.
(1)求证:CD⊥平面PAB;
(2)设AO=2,求点D到平面PBC的距离.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第18讲 基本立体图形、简单几何体的
表面积与体积
1.D 直角三角形ABC及其内部各点绕斜边AB所在的直线旋转360°,如图,过点C作CD⊥AB于点D,则△ACD绕边AB所在的直线旋转一周得到的是一个圆锥,△BCD绕边AB所在的直线旋转一周得到的是一个圆锥,故得到的旋转体为两个圆锥形成的组合体.故选D.
2.B 虽然各侧面都是正方形,但底面可能是菱形,所以该四棱柱不一定是正方体,故A错误;
球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”,故B正确;
以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得到的旋转体是圆锥,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得到的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体,故C错误;
用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台,故D错误.故选B.
3.D 依题意,棱长为a的正四面体的表面积为
4×·a2=a2.故选D.
4.B 据题意,AB⊥AC,AC=2AB,所以△ABC是直角三角形.故选B.
5.C 由几何体的结构特征知,盛水部分的几何体是四棱柱.故选C.
6.C 设圆柱的底面半径为r,高为h,
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形,
所以2πr=2π,h=2π,即r=1,h=2π,
所以该圆柱的体积为V=πr2h=π×12×2π=2π2.
故选C.
7.D 设a=2 cm,b=4 cm,l=2 cm,
斜高h′=== (cm),
所以棱台的侧面积S=4×(a+b)·h′=2×(2+4)×=12(cm2).故选D.
8.D 由题设知,原四边形中AB=CD=A′B′=C′D′=2且AB∥CD,
所以原四边形ABCD为平行四边形.
而O′C′=,
则原四边形中OC=2,
故AD=BC==3,
综上,四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=10.故选D.
9.C 由题意作出轴截面ABCD,并将其补充成等腰三角形ABE,根据DC∥AB,DC=AB,则DC为三角形ABE的中位线,则DE=EC=AD=3,
在△ABE中利用余弦定理得cos∠AEB==-,因为∠AEB∈(0,π),所以∠AEB∈(,π),过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形,并将其补成等腰三角形,设其顶角为α,则S截面=×6×6sin α-×3×3sin α=sin α,因为α>0,且αmax=∠AEB,则当α=时,S截面有最大值为.故选C.
10.A 因为AB⊥AC,BC=2,易知三角形ABC为直角三角形,
又PB⊥平面ABC,所以PB为三棱锥PABC的高,则可将三棱锥PABC放入长方体内,如图,
长方体的体对角线即为外接球直径,即PC为球的直径,
所以V=π()3=36π,
解得PC=6,
又PC===6,
解得PB=2,
BC2=AB2+AC2≥2AB·AC,当且仅当AB=AC时,等号成立,所以AB·AC≤4,
所以三棱锥的体积V=×·AB·AC×2≤.故选A.
11.B 由题意知,该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心,2为半径的球后的剩余部分,则其表面积=6×22-3××π×22+×4×π×22=24-π.故选B.
12.A 将四棱锥补全为如图所示的长方体ABCDFEPG,作CR⊥PD,垂足为R,连接ER,取ER中点N,连接MN,DN,EC,
因为PC⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,所以AD⊥PC,
因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD,
又PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以AD⊥平面PCD,又CR 平面PCD,
所以CR⊥AD,
又CR⊥PD,AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,
所以CR⊥平面PAD,
因为M,N分别为EC,ER中点,所以MN∥CR,且MN=CR,所以MN⊥平面PAD,
所以DN为DM在平面PAD内的射影,所以当QT取得最小值时,QT⊥DN;
将平面BDM沿DM翻折到与平面DMN共面,如图所示,
则当BT⊥DN,且BT∩DM=Q时,BQ+QT取得最小值,最小值为BT.
因为AB=2,
所以AB=,CD=,
所以CR===2,
所以MN=CR=1,
DM===2,
又MN⊥DN,所以DN==,
因为BM=BP=,BD=3,
所以cos∠BDM===,所以sin∠BDM=.
又sin∠NDM==,
cos∠NDM==,
所以sin∠BDT=sin(∠BDM+∠NDM)=sin∠BDMcos∠NDM+cos∠BDMsin∠NDM=×+×=,所以BT=BDsin∠BDT=3×=+1,即BQ+QT的最小值为+1.故选A.
13.ABD 对于A,圆柱的所有母线长都等于圆柱的高,且都相等,所以A正确;对于B,用平行于圆柱底面的平面截圆柱,由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面,所以B正确;对于C,用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是矩形面、椭圆面或椭圆面的一部分,所以C错误;对于D,一个矩形以其一组对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱,所以D正确.故选ABD.
14.ABC 设正方体的棱长为a,
则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即a;内切球的半径为棱长的一半,即a.
因为M,N分别为外接球和内切球上的动点,
所以MNmin=a-a=a=-1,
解得a=2,即正方体的棱长为2,
所以正方体外接球的表面积为4π×()2=12π,内切球的体积为π,故A,B,C正确;
线段MN的最大值为+1,故D错误.故选ABC.
15.ABD 对于A,设圆锥母线长为l,高为h,由半径r=,体积为π得V=π()2·h=π,所以h=1,l==2,
侧面积为πrl=2π,故A正确;
对于B,如图(1),由圆锥的内切球球心O1作O1D⊥PB,垂足为点D,设O1D=O1O=R,则PO1=1-R,由sin∠OPB===,即=,解得R=2-3,内切球O1的表面积为4πR2=4π×(2-3)2=(84-48)π,故B正确;
对于C,sin∠OPB=,0<∠OPB<,所以∠OPB=60°,则∠APB=120°,过点P作平面α截圆锥的截面面积最大时,对应三角形为等腰直角三角形,S=l2=2,故C不正确;
对于D,如图(2),把圆锥的侧面沿PA,PB剪开并展开一半,点A展开到A′,PM=1,PA′=PA=2,∠A′PB==,由余弦定理A′M2=PA′2+PM2-2·PA′·PMcos∠A′PB=5-4cos ,
所以从点A沿圆锥表面到M的最近路线长
A′M=,故D正确.故选ABD.
16.解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,依题意2πr=π×4,解得r=2,
所以h==2,
体积为πr2h=.
答案:2
17.解析:在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,BC=CC1=2,
则三棱柱ABDA1B1D1的体积为
=·AB·AD·AA1=×3×2×2=6,
三棱锥A1AB1D1的体积为==××3×2×2=2,
所以=-=6-2=4.
答案:4
18.解析:设圆台的母线长为l,则圆台上底面面积S1=π×32=9π,圆台下底面面积S2=π×62=36π,所以两底面面积之和为45π,又圆台侧面积S=π(3+6)l=9πl,则9πl=45π,所以l=5,所以圆台的高为=4.
答案:4
19.解析:设正四棱台上、下底面的外接圆的半径分别为r1,r2,高为h,外接球的半径为R,球心为O′,因为正四棱台的上、下底面的边长分别为20,10,所以r1=20,r2=10,设球心O′到上底面的距离为d,则R2=+d2=+(h-d)2或+d2=+(d+h)2,h=10,
所以202+d2=102+(h-d)2或202+d2=102+(d+h)2,
解得d=0,R=20.
当球O是正四棱台的外接球O′,即R2=400时,球O的表面积最小,最小值为4πR2=1 600π.
答案:1 600π
20.解:(1)如图,设O1,O为正四棱台上、下底面的中心,作B1E⊥BD,垂足为E,
则四边形EOO1B1为矩形,则B1E=OO1=1,BD=4,B1D1=2,则BE=BO-EO=2-=,故B1B==,即正四棱台的侧棱长为 .
(2)根据棱台体积公式可得该四棱台体积为×(4+16+)×1=.
21.解:(1)如图,添加的三棱锥为直三棱锥EADF,
可以将该多面体补成一个直三棱柱ADFBCE,
因为CE⊥平面ABCD,AB=2,
BC=CE=1,
所以S△BCE=CE·BC=×1×1=,
直三棱柱ADFBCE的体积
V=S△BCE·AB=×2=1,
添加的三棱锥的体积为V=.
(2)法一 如图,分别取AF,BE的中点M,N,连接MN,与AE交于点O,
因为四边形AFEB为矩形,
所以O为AE,MN的中点,
在直三棱柱ADFBCE中,CE⊥平面ABCD,
所以FD⊥平面ABCD,
即∠ECB=∠FDA=90°,
所以上、下底面为等腰直角三角形,直三棱柱的外接球的球心即为点O,AO即为球的半径,
因为AM=AF=,MO=1,
所以AO2=AM2+MO2=+1=,
所以外接球的表面积为4π·AO2=6π.
法二 因为CE,CB,CD两两垂直,故将直三棱柱ADFBCE补成长方体,设外接球的半径为R,则4R2=12+12+22=6,所以外接球的表面积S=4πR2=6π.
22.(1)证明:连接CO,如图,
由3AD=DB知,点D为AO的中点,又因为AB为圆O的直径,
所以AC⊥BC,
由AC=BC知,∠CAB=60°,
所以△ACO为等边三角形,
从而CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D,
所以PD⊥平面ABC,又CD 平面ABC,
所以PD⊥CD,又PD∩AO=D,PD,AO 平面PAB,
所以CD⊥平面PAB.
(2)解:因为AO=2,所以CD=,PD=DB=3,
所以=S△BDC·PD=×DB·DC·PD=××3××3=.
又PB==3,
PC==2,
BC==2,
所以△PBC为等腰三角形,
则S△PBC=×3×=.
设点D到平面PBC的距离为d,由=得,
S△PBC·d=,解得d=,即点D到平面PBC的距离为.
