第3讲 一元二次不等式
1.A 方程(x-1)(x-2)=0的根为1,2,又函数y=(x-1)(x-2)的图象开口向上,所以(x-1)(x-2)<0的解集是(1,2).故选A.
2.D 因为(-x+1)(2x+1)≥0,
即(x-1)(2x+1)≤0,
所以-≤x≤1.
所以原式的解集为{x|-≤x≤1}.故选D.
3.A 设另一根为x,由根与系数的关系可知,
1×x==,即x=,故选A.
4.B 因为关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{x|1
5.A 因为m>0,Δ=a2+4m>0,所以mx2-ax-1=0有两个不相等的实根,所以不等式的解为A中的形式.故选A.
6.D 由题设得-1≤x<2,故解集为{x|-1≤x<2}.故选D.
7.C 因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-18.A 依题可得,m,n为方程x2-3x-1=0的两个不等实根,所以m+n=3,mn=-1,
所以+====-11.故选A.
9.B 若 λ∈(,2),使得3x2-λx-1<0成立,则-λx+3x2-1<0,即λx-3x2+1>0,
当x=0时,1>0成立;
当x>0时,令f(λ)=λx-3x2+1,f(λ)在λ∈(,2)上单调递增,即f(2)=2x-3x2+1>0,则(3x+1)(x-1)<0,解得-因为x>0,所以0当x<0时,令f(λ)=λx-3x2+1,f(λ)在λ∈(,2)上单调递减,即f()=x-3x2+1>0,则(2x+1)(3x-2)<0,解得-因为x<0,所以-综上,实数x的取值范围是(-,1).故选B.
10.C 由不等式x2-(a+2)x+a+1<0,
可得(x-1)[x-(a+1)]<0,
当a+1>1,即a>0时,可得1若满足解集中恰好有2个整数,则3解得2当a+1<1,即a<0时,可得a+1若满足解集中恰好有2个整数,则-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2;
当a+1=1,即a=0时,不等式的解集为,显然不成立.
综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)∪(2,3].故选C.
11.B 不等式|2x-1|-x2<1,即|2x-1|<1+x2,
所以-1-x2<2x-1<1+x2,
即解得x>0或x<-2,
故不等式的解集为{x|x<-2或x>0}.
故选B.
12.C f(x)=x|x-a|-b=
①当2≤a<3时,f(x)=-x2+ax-b,
对称轴为x=≥1,
f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)max=f(1)=-1+a-b≤0,则b≥a-1,
所以a2+2b≥a2+2a-2≥22+2×2-2=6.
②当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax-b,
对称轴为x=<1,
f(x)在[0,)上单调递增,在(,1]上单调递减,
所以f(x)max=f()=-b≤0,则b≥,
所以a2+2b≥a2≥.
③当0若x若x≥a,f(x)=x2-ax-b,f(x)max=f(1)=1-a-b.
当-b≥1-a-b时,-2+2≤a<1,
f(x)max=f()=-b≤0,b≥,
a2+2b≥a2≥(-2+2)2=18-12;
当-b<1-a-b时,0f(x)max=f(1)=1-a-b≤0,b≥1-a,
a2+2b≥a2-2a+2>(-2+2)2-2×(-2+2)+2=18-12.
综上所述,a2+2b的最小值为18-12.故选C.
13.CD 对于C项,不等式可化为x2-x+2>0,
所以>-,所以-2x2+3x-4<0的解集为R;对于D项,不等式可化为(x+3)2>-1,所以x2+6x+10>0的解集为R;对于A,B均不可得解集为R.故选CD.
14.AD 由ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4},得ax2+bx+c=a(x-3)(x-4)=a(x2-7x+12),故a>0,b=-7a,c=12a,故A正确;a+b+c=6a>0,故D正确;对于B,bx+c<0,解得x>,故B错误;对于C,cx2-bx+a<0为12ax2+7ax+a<0,解得-15.ACD A选项,二次函数图象开口向上,故a>0,
对称轴为直线x=-=1,故b=-2a<0,
图象与y轴交点在y轴正半轴,故c>0,
所以abc<0,故|abc|+abc=-abc+abc=0,A正确;
B选项,因为b=-2a,故y=ax2-2ax+c,
因为a>0,所以1-a<1,
当a≤x≤1-a<1时,y=ax2-2ax+c随着x的增大而减小,
所以x=a时,y取得最大值,最大值为y=a3-2a2+c,B错误;
C选项,因为b=-2a,所以ax4+bx2=ax4-2ax2,
a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a-2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a,
故不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)变形为4ax2-8a>0,
因为a>0,所以x2>2,解得x>或x<-,故C正确;
D选项,t=x2+bx+1=(x+)2+1-,
当 x=-时,t取得最小值,最小值为1-,
y=t2+bt+1=(t+)2+1-,当t=-时,y取得最小值,最小值为1-,
所以-≥1-,即b2-2b-4≥0,所以(b-1)2≥5,
即|b-1|≥,故D正确.故选ACD.
16.解析:由题意可知,x=2是不等式2x2+ax-a2>0的解,所以8+2a-a2>0,即(a-4)(a+2)<0,解得-2故实数a的取值范围为(-2,4).
答案:(-2,4)
17.解析:由题设-3=≥0,
则解得x∈(1,3].
答案:(1,3]
18.解析:因为当x>0时,不等式x2-ax+16>0恒成立,
则x+>a,
原题意等价于当x>0时,不等式x+>a恒成立,
又因为x+≥2=8,当且仅当x=,
即x=4时,等号成立,
可得a<8,所以实数a的取值范围是(-∞,8).
答案:(-∞,8)
19.解析:令x+a+1=t,则t∈(0,+∞),
则问题等价为(2t-3a-1)ln t≥0,t∈(0,+∞)恒成立.
显然y=2t-3a-1,y=ln t,在t∈(0,+∞)上具有相同零点1,所以1-3a=0,a=.
答案:
20.解:(1)f(x)=mx2-mx-1<0,x∈R恒成立,
则m=0或
解得-4所以-4故m的取值范围为(-4,0].
(2)由mx2-mx-1<-m+5,得m<,
所以m<()min.
因为当x∈[1,3]时,x2-x+1=(x-)2+≤7,
所以m<.
故m的取值范围为(-∞,).
(3)对任意的m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,
即m(x2-x+1)-6<0.
因为g(m)=m(x2-x+1)-6在[1,3]上单调递增,所以要使m(x2-x+1)-6<0,恒成立,
只要3(x2-x+1)-6<0成立,解得故x的取值范围为(,).
21.解:由ax2-(a+3)x+3≤0可得(ax-3)·(x-1)≤0.
(1)当a=0时,原不等式即为x-1≥0,解得x≥1;
(2)当a≠0时,解方程(ax-3)(x-1)=0,可得x=或x=1.
①当a<0时,<1,解原不等式可得x≤或x≥1;
②当01,解原不等式可得1≤x≤;
③当a=3时,原不等式即3(x-1)2≤0,解得x=1;
④当a>3时,<1,解原不等式可得≤x≤1.
综上所述,
当a<0时,原不等式的解集为{x|x≤或x≥1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≥1};
当0当a=3时,原不等式的解集为{1};
当a>3时,原不等式的解集为{x|≤x≤1}.
22.解:(1)当a=-1时,
f(x)=由二次函数单调性知f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,+∞)上单调递减,
由题知,f(x)在x=-1处连续,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞).
(2)f(x)=
当a>0时,f(x)在(-∞,)上单调递减,在[,a)上单调递增,在[a,+∞)上单调递减.
①当2≤,即a≥6时,f(x)min=f(2)=13-4a=0,
所以a=(舍去);
②由1-=-(x-a)2+a2+1(x≥a),得x=a;
当<2f(x)min=f()=1-=0,
所以a=,符合题意;
③当2≥a,即0f(x)min=f(2)=-3+4a=0,
所以a=,符合题意.
综上所述,a=或a=.
(3)当a>0时,由3+1-=a2+1(x得x=-,可知m≥-.
由-(x-a)2+a2+1=1-(x≥a),得x=a,可知n≤a,要使n-m≤|a-1|+|ab-1|恒成立,
因为n-m≤a+=a,
又因为|a-1|+|ab-1|≥|1-a+ab-1|=|(b-1)a|,
所以|(b-1)a|≥a,所以|b-1|≥,
所以b≥或b≤.
即实数b的取值范围为(-∞,]∪[,+∞).(共48张PPT)
第3讲 一元二次不等式
1.一元二次不等式
(1)一元二次不等式的解法
已知a≠0,ax2+bx+c>0意味着y=ax2+bx+c中y>0的部分,ax2+bx+c<0意味着y=ax2+bx+c中y<0的部分,由ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=0,求出两个根x1,x2;根据图象可知,开口向上时,大于取两边,小于取中间;开口向下时,大于取中间,小于取两边.
(2)三个二次的关系
(3)一元二次不等式与判别式
*2.分式不等式的解法
分式不等式的求解主要在于同解变形,将不等式化为整式不等式来进行求解.
*3.一元高次不等式的解法
数轴穿根法的注意点:当不等式中含有(x-a)2n时,运用穿根法不穿过a点,而(x-a)2n-1则穿过a点,俗称“奇穿偶不穿”.
*4.无理不等式的解法
被开方式里含有未知数的不等式叫无理不等式.
解无理不等式应根据不等式的性质先转化为有理不等式组,然后再进行求解.在转化过程中必须注意:
(1)含有未知数的根式都有意义;
(2)必须讨论不等式两边的符号;
(3)不等式两边均为非负数时,才能同时进行同次乘方,消去根号.具体求解如下:
*5.绝对值不等式的解法
考点一 三个二次的关系
[例1] (1)若函数f(x)=x2+bx+c,且f(1)=f(3)=0,则f(-1)等于
( )
A.5 B.6
C.7 D.8
√
√
√
②当x≤0时,f(x)=x2+2x,由f(x)=x2+2x=0,解得x2=-2,x3=0.作出函数t=f(x)+1,直线t=x1,t=-2,t=0的图象如图所示,
由图象可知,直线t=x1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;
直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;
直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.
综上所述,函数y=f(f(x)+1)的零点个数为5.故选D.
总结提醒
零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标,是实数,要结合判别式、韦达定理求解根的分布.
考点二 解不含参数的一元二次不等式
[例2] (1)(2022·浙江1月学考)不等式x2-4x<0的解集是( )
A.(0,4)
B.(-4,0)
C.(-∞,4)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
√
解析:(1)x2-4x<0 x(x-4)<0,解得0故选A.
(2)关于x的不等式-x2+5x+6<0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>3}
B.{x|-2C.{x|-1D.{x|x<-1或x>6}
√
解析:(2)由-x2+5x+6=-(x-6)(x+1)<0,解得x<-1或x>6.故选D.
(3)已知不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则不等式(ax+b)(x-2)<0的解集为 .
(-1,2)
(4)如图,在长为8 m,宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪,如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,则花卉带的宽度至少应为 m.
1
总结提醒
解一元二次不等式时,要注意二次项系数,函数图象的开口方向.
考点三 含参数的一元二次不等式
[例3] (1)已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )
A.[-4,4] B.(-4,4)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析:(1)A 由不等式x2+ax+4<0的解集为空集,
根据二次函数的性质,则满足Δ=a2-4×4≤0,
解得-4≤a≤4.即实数a的取值范围是[-4,4].故选A.
√
(2)关于x的不等式x2-4x+4a≥a2在[1,6]内有解,则a的取值范围为( )
A.[-2,3] B.[1,6]
C.[-2,6] D.[3,6]
解析:(2)C 依题可得x2-4x≥a2-4a在[1,6]内有解,
只需a2-4a≤(x2-4x)max,设y=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[1,6],
当x=6时,ymax=12,所以a2-4a≤12,解得-2≤a≤6.
即a的取值范围为[-2,6].
故选C.
√
(3)(多选题)关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数,则a的取值可以是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
√
√
√
(4)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
总结提醒
(1)利用二次函数的对称性可以确定整数解的个数.
(2)解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:①二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.②当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.③确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.
考点四 一元二次不等式的恒成立、能成立问题
[例4] (1)已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是( )
A.{a|-1≤a≤4}
B.{a|-1C.{a|a≥4或a≤-1}
D.{a|-4≤a≤1}
√
解析:(1)因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,即x2-4x+a2-3a≤0在R上有解,只需y=x2-4x+a2-3a的图象与x轴有交点,所以Δ=(-4)2-4(a2-3a)≥0,即a2-3a-4≤0,所以(a-4)(a+1)≤0,
解得-1≤a≤4,
所以实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}.故选A.
(2)(多选题)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值是( )
√
√
(3)若不等式mx2+4mx-3<0对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围为 .
[-2,3]
总结提醒
对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)a≥f(x)恒成立
a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问
题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从开口方向、对称轴位置、判别式、端点函数值符号四个方面分析.能成立问题类似.
考点五 一元二次不等式的综合问题
[例5] (1)不等式(x-1)(ex-1)<0的解集为( )
A.R
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
√
(2)(2023·浙江7月学考)不等式(x-e)(ex-1)<0(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A.{x|0B.{x|0C.{x|x<0或x>1}
D.{x|x<0或x>e}
√
①若a=1,求f(x)在区间[0,1]上的最大值;
②若关于x的方程f(x)+a+1=0有且只有三个实数根x1,x2,x3,且x1(ⅰ)x1+x3=2x2;
(ⅱ)f(2x3+1)-7f(x1)+8x1≤18.
总结提醒
二次函数在闭区间上的最值,函数的恒成立、能成立问题,主要在于分类讨论与数形结合的数学思想的应用.第3讲 一元二次不等式
一、单选题
1.不等式(x-1)(x-2)<0的解集是( )
A.(1,2)
B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-2,-1)
D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)
2.不等式(-x+1)(2x+1)≥0的解集为( )
A.{x|-C.{x|-≤x<1} D.{x|-≤x≤1}
3.已知二次方程2x2+ax+=0的一个根为1,则另一个根为( )
A. B. C.2 D.4
4.已知关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为{x|1A.3 B.5 C.-1 D.-3
5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )
A.{x|x<-1,或x>}
B.R
C.{x|-D.
6.不等式≤0的解集为( )
A.{x|x<2} B.{x|-1C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-1≤x<2}
7.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-18.若m,n满足m2-3m-1=0,n2-3n-1=0,且m≠n,则+的值为( )
A.-11 B.-9
C.9 D.11
9.若 λ∈(,2),使得3x2-λx-1<0成立,则实数x的取值范围是( )
A.(-,1) B.(-,1)
C.(-,) D.(-,)
10.关于x的不等式x2-(a+2)x+a+1<0的解集中,恰有2个整数,则a的取值范围是( )
A.{a|2B.{a|3C.{a|-3≤a<-2或2D.{a|-3≤a<-2或311.不等式|2x-1|-x2<1的解集是( )
A.{x|x<-2或x>}
B.{x|x<-2或x>0}
C.{x|-2D.{x|-212.已知函数f(x)=x|x-a|-b,其中a∈(0,3),b∈R,若对任意x∈[0,1],f(x)≤0恒成立,则 a2+2b的最小值为( )
A. B.-
C.18-12 D.18-10
二、多选题
13.下列四个不等式中解集为R的是( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0
D.x2+6x+10>0
14.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4},则下列结论中正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c<0的解集为{x|x<-4}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-或x>}
D.a+b+c>0
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的对称轴为直线x=1,其图象如图所示,则下列选项正确的有( )
A.|abc|+abc=0
B.当a≤x≤1-a时,函数的最大值为c-a2
C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)的解为x>或x<-
D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b-1|≥
三、填空题
16.已知关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的一个元素为2,则实数a的取值范围为 .
17.不等式≥3的解集是 .
18.已知当x>0时,不等式x2-ax+16>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
19.已知不等式(2x-a+1)ln(x+a+1)≥0在x∈(-a-1,+∞)上恒成立,则a= .
四、解答题
20.设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)对任意的x∈R,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对任意的x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围;
(3)对任意的m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求x的取值范围.
21.设a∈R,解关于x的不等式:ax2-(a+3)x+3≤0.
22.已知函数f(x)=x2-2x|x-a|+1(a∈R).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,若函数f(x)在[0,2]上的最小值为0,求a的值;
(3)当a>0时,若函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,且n-m≤|a-1|+|ab-1|恒成立,求实数b的取值范围.
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