2025-2026学年湖南省武冈市高二年级上学期开学数学基础检测试卷（含解析）

2025-2026学年湖南省武冈市高二年级上学期开学数学基础检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．[5分]若直线 与圆 相切，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．[5分]由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
7．[5分]如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．点在圆内
C．圆的半径为5 D．点在圆内
10．[5分]如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
A． B．三棱锥的外接球的半径为
C．当异面直线和所成的角为时， D．点F到平面与到平面的距离相等
11．[5分]如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．和平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知两条直线，，且，则 ．
13．[5分]若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
14．[5分]经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[14分]如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．
（1）证明：；
（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱柱的体积．
16．[14分]在三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
17．[16分](17分)
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PD=AB=2,BC=CD=1.
(1)求证:PD⊥AB;
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值;
(3)若线段PC上存在一点E,使得截面ABE将四棱锥P-ABCD分成体积之比为5∶7的上、下两部分,求点P到截面ABE的距离.
18．[18分]如图，在三棱锥中，平面，．
（1）在线段上找一点，使平面平面，求的长；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19．[18分]如图，已知四棱锥，，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线，
所以直线的倾斜角为.
故选C
2．【答案】B
【详解】圆即的圆心坐标为，半径为，
若直线 与圆 相切，
则，解得.
故选B.
3．【答案】A
【详解】，
点到平面的距离，
故选A.
4．【答案】C
【详解】已知，，可得：
且，那么。
根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。
将，，代入可得：.
故选C.
5．【答案】A
【详解】解：当，时，可得，
，表示的图形占整个图形的，
而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，
∴
故围成的图形的面积为：
故选A
6．【答案】B
【详解】，
其中为两点与距离的平方，
所以其最小值即为到直线距离的平方，即，
所以的最小值为1，
故选B
7．【答案】A
【详解】解：由题意可得：
.
故选A.
8．【答案】C
【详解】因为，，，
所以，，
所以在向量上的投影向量的长为，
所以点到直线的距离是.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，
由，得，则，
对于A，，，
则，于是，A正确；
对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，
则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，
因此，三棱锥的外接球，B错误；
对于C，，由异面直线和所成的角为，
得，整理得，
而，解得，C正确；
对于D，，
设平面与平面的法向量分别为，
，令，得，
，令，得，
而，则点F到平面的距离，
点F到平面的距离，显然，D正确.
故选ACD
11．【答案】BCD
【详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，设平面的法向量为，
，设与平面所成角为
所以，故A错误；
对于B，，设与所成角为，
则，故B正确；
对于C，，
由点到直线的距离公式可得，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，
取，则，
由可得平面，所以和平面的距离即为点到平面的距离，
由点到直线的距离公式可得，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】-1
【详解】两条直线，，且，
则，解得
故答案为-1.
13．【答案】
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：
所以.
14．【答案】
【详解】设圆心为，半径为，则由可得，即①，
又圆心在直线上，所以②，
联立①②解得，所以半径，
所以圆的标准方程为.
故答案为：
15．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）方法一：因为，所以是等边三角形，
取中点M，连接，则，
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为x轴，y轴和z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，．
所以，．
设平面的法向量为，则，
即，令，得．
由条件知为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，易知为锐角．
则，解得．
因为三棱柱的高为，且，
所以其体积．
方法二：因为，所以．
过B做交的延长线于O，连接，
因为，所以面，所以，
所以是二面角的平面角．
所以，所以，即，
因为，所以．
在中，解得．
又平面，所以三棱柱的高为，
所以其体积．
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为侧面是边长为4的正方形，
所以，
因为，
则，因为，
所以，即，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）

以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
由，可得，令，则，
平面的法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以其余弦值为.
17．【答案】见详解
【详解】(1)【证明】第一步:证明OD⊥平面PAB
如图,取AB的中点O,连接OD,OP,∵AB=2,CD=1,AB∥CD,
∴BO=CD=1,又BO∥CD,∴四边形OBCD为平行四边形.
又BC⊥CD,∴四边形OBCD为矩形,∴OD⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OD 平面ABCD,∴OD⊥平面PAB. 3分
第二步:证明AB⊥平面PDO,从而得到PD⊥AB
又PO 平面PAB,∴OD⊥PO.∵PD=2,DO=1,∴PO=.
∵PA=2,AO=1,∴PO2+AO2=PA2,则PO⊥AO(提示:勾股定理逆定理的运用),即PO⊥AB.
∵OD⊥AB,PO∩OD=O,PO,OD 平面PDO,∴AB⊥平面PDO.
∵PD 平面PDO,∴PD⊥AB. 5分
(2)【解】第一步:建系并求得坐标
由(1)知OD,AB,OP两两互相垂直,则以O为坐标原点,OD,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则P(0,0,),A(0,-1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0), 6分
∴=(0,-1,-),=(1,0,-),=(0,1,-).
第二步:求得平面PAD的法向量
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则
令z=1,得=(,-,1). 8分
第三步:利用向量的数量积求正弦值
设直线PB与平面PAD所成角为θ,
∴sin θ=|cos<, >|===,
即直线PB与平面PAD所成角的正弦值为. 10分
(3)【解】第一步:求得上面部分的体积
如图,设截面ABE交PD于点F,由AB∥CD,AB 平面ABE,CD 平面ABE,得CD∥平面ABE.∵CD 平面PDC,平面ABE∩平面PDC=EF,∴CD∥EF. 11分
依题意,VP-ABCD=S梯形ABCD·PO=××1×=,
则VP-ABEF=.
第二步:由向量法求得点F到直线AB的距离
设=λ,λ∈(0,1),则EF=λDC=λ,由(2)中建立的空间直角坐标系可得=(1,0,-),=(0,1,),=(0,2,0),则=λ=(λ,0,-λ),
则=+=(λ,1,-λ),
则点F到AB的距离为=, 13分
第三步:求得平面ABEF的法向量,进而表示出点P到平面ABEF的距离
截面ABEF的面积为(λ+2).
设平面ABEF的法向量为=(a,b,c),
则取c=-λ,得=((1-λ),0,-λ),
则点P到平面ABEF的距离d==,
　 15分
第四步:利用体积公式求得λ的值,进而求得点P到截面ABE的距离
于是VP-ABEF=×(λ+2)·=,解得λ=(负值舍去), 16分
∴点P到截面ABE的距离d==.
　 17分
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以，
又平面，平面，，
因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
此时；
（2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值．
19．【答案】（1）见详解；（2）.
【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连结，，.
因，为的中点，
故.
同理，，.
故平面.
故.
因平面平面，平面平面，
平面，，
故平面.
则.
又，是平面中的相交直线，
故平面.
（2）由（1）知，面，又∥，
面.
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
，，
则，，.
设是面的一个法向量，
则，即，
取，则.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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