2025-2026学年湖南省武冈市高三年级上学期开学数学基础检测试卷（含解析）

2025-2026学年湖南省武冈市高三年级上学期开学数学基础检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．[5分]若复数满足，则z的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．i D．-i
3．[5分]双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]已知是离散型随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]在四棱锥中，，且，则（ ）
A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面
C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
10．[5分]下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
11．[5分]如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B．环比涨跌幅的平均数为
C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D．同比涨跌幅的75百分位数为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]
13．[5分]过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为 .
14．[5分]在等差数列中，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[14分]已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
16．[15分]已知．
（1）求的值；
（2）求．
17．[16分]高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28
（1）求的值；
（2）若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由．
参考数据：样本相关系数
18．[15分]在四棱锥中，底面是菱形，，，．

（1）若分别是的中点，证明：平面；
（2）若，证明：平面平面．
19．[20分]已知函数．
（1）若函数在处的切线经过，求的值；
（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；
（3）若满足，证明：．
参考答案
【知识点】并集及其运算
1．【答案】A
【详解】.则，
从而.
故选A
【知识点】复数的定义及分类、复数的除法运算
2．【答案】A
【详解】由题意可得，则的虚部为.
故选A.
【知识点】双曲线的离心率、渐近线
3．【答案】B
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以渐近线为，且，所以，
所以双曲线的离心率为.
故选B.
【知识点】商数关系、诱导公式五、六
4．【答案】A
【详解】因为，且，
所以，所以，
又因为.
故选A.
【知识点】球的切接问题、球的表面积
5．【答案】B
【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；
由题可知：，，解得；
设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，
显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：

若要满足题意，则，也即，，解得，
故，则该圆台外接球表面积.
故选B.
【知识点】对数函数的单调性、指数函数的单调性
6．【答案】D
【详解】，，
，，
，，
.
故选D.
【知识点】离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数学期望及其性质、离散型随机变量的方差
7．【答案】B
【详解】根据题意，，
则
则只有两个变量，则，得，
即，则，
则.
故选B
【知识点】截面问题
8．【答案】D
【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面，
所以平面，
因为，且，则存在，所以为平行四边形，
同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形，
所以存在存在无穷多个平行四边形截面，
即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面；
故选D.
【知识点】二项展开式中各项的系数和、各二项式系数的和、增减性与最大值、赋值法在二项式定理中的应用
9．【答案】AB
【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选AB.
【知识点】余弦函数的单调性、余弦函数的周期性、正切函数的单调性、正切函数的周期性、正弦函数的单调性、正弦函数的周期性
10．【答案】AC
【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求;
对于B，的周期为，不符合要求;
对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求;
对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求.
故选AC.
【知识点】平均数、折线图、百分位数
11．【答案】AC
【详解】A选项，环比涨跌幅的极差为，
同比涨跌幅的极差为，
环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，A正确；
B选项，，
，
故环比涨跌幅的平均数为，B错误；
C选项，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确；
D选项，同比涨跌幅从小到大排序为，
，
故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数，
即，D错误.
故选AC
【知识点】对数运算、化简与求值、有理数指数幂的运算
12．【答案】0
【详解】.
【知识点】直线与圆相交
13．【答案】
【详解】圆的半径为，圆心为，
则，
所以，此时圆心到直线的距离为，
若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，故直线的方程为.
【知识点】两角和与差的正弦公式、积化和差公式、等差数列的性质
14．【答案】
【详解】因为
，
，
所以.
【知识点】三角函数的叠加及其应用（辅助角公式）、二倍角的余弦、二倍角的正弦、函数y=Asin（ωx＋φ）的图象和性质
15．【答案】（1）
（2）最小值为，最大值为
【详解】（1）.
.
（2）∵，.
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
【知识点】二项展开式中各项的系数、赋值法在二项式定理中的应用
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）令，则.
（2）令得：；
令得：；
两式作差得：，.
【知识点】相关系数r、线性回归分析
17．【答案】（1）；
（2）不变，理由见详解.
【详解】（1）由题设，，
所以，可得；
（2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，
去掉点前，
去掉点后，
显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，
所以相关系数不变.
【知识点】平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定
18．【答案】（1）见详解
（2）见详解
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
∵是的中点，是的中点，∴，且，
∵底面是菱形，且为的中点，∴，，
则得，故四边形为平行四边形，
∥，又∵平面，平面，
∴平面.

（2）取的中点，连接，∵，∴，
又∵，，∴，
∵，，四边形是菱形，∴△是等边三角形，
∴，由，可得，
∵，平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面．

【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数证明不等式、导数几何意义的应用
19．【答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）由函数，定义域为，
则.
则，而，
则切线方程为，
又切线经过点，则，解得.
（2）令，
由题意，在上至少有两个不同的根.
令则.
当时，,当时，,
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当，当，
作出函数的大致图象，结合图象可知，
要使在上至少有两个不同的根，则.
验证：当时，则方程在有两个根，设为，且，
则当时，，即，在单调递减；
当时，，即，在单调递增；
当时，，即，在单调递减；
即此时存在两个极值点，其中为极小值点，为极大值点；
综上所述，的取值范围为.
（3）①当时，由（2）可知，，
则在上单调递减.
由，所以，故.
由题要证明，即证，
，
又由，
则
，
令，，设，
下面证明在成立.
由，
则当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
结合不等式可知，，
故
，得证；
即当时，成立；
②当时，由（2）可知，
可得，
再结合不等式可知，
故，
结合的单调性及当时，，
如图，作出函数的大致图象，
故当时，恒有，
则由与可知，且，
所以；
即当时，也成立；
综上所述，得证.
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