素养提升课(四) 天体运动三类典型问题
1．知道同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运动特点，并会对描述它们运动的物理量进行比较。
2．理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。
3．理解双星问题的特点，并会解决相关问题。
同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量的比较
1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。
2．不同点
(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。
(2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。
(3)向心加速度：由G ＝man知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由an＝rω2＝知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。
(4)向心力：同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即G ＝m；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G ≠m。
【典例1】 北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量，下列说法正确的是( )
A．近地卫星与“三号卫星”的周期之比为
B．近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为
C．赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为
D．赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为
[听课记录]__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较技巧
(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。
(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度和周期，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。
(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。
[针对训练]
1．如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则( )
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC
C．vA＝vCaB
2．(多选)同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
A． B．
C． D．
卫星变轨问题与对接问题
1．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供卫星做圆周运动的向心力。由＝m，得v＝，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小。
(2)变轨运行
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G ＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动发动机使卫星做减速运动。
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G ＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动发动机使卫星做加速运动。
2．飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
【典例2】 (多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1D．v2>v1>v4>v3
[听课记录]__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
变轨问题相关物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。
(4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[针对训练]
3．如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道2上经过Q点的速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度
4．如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、 c 的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
D．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供(如图所示)，即G r1＝r2。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
双星系统
【典例3】 (多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )
A．太阳的轨道半径为R＝L
B．木星的轨道半径为r＝L
C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πL
D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πL
[听课记录]__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
求解双星问题的思路
(1)两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。
(2)两个星球的角速度和周期都相同。
(3)两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。
(4)两个星球的轨道半径之和等于它们中心之间的距离。
多星系统
【典例4】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为2π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
[听课记录]__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
【典例5】 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，若四星系统中每个星体的质量均为m、半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上，如图所示。已知引力常量为G ，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是( )
A．四颗星的轨道半径均为a
B．四颗星表面的重力加速度大小均为
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力等于对角星对其的万有引力
D．四颗星的周期均为2πa
[听课记录]__________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[针对训练]
5．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G 。由此可求出S1的质量为( )
A． B．
C． D．
6．我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G ，则( )
A．甲星所受合力为
B．甲星的线速度为
C．甲星的周期为2πR
D．甲星的向心加速度为
素养提升课(四) 天体运动三类典型问题
[探究重构·关键能力达成]
典例1 A [“三号卫星”为同步卫星，故其周期与地球自转周期相同，根据v＝ωr可知赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为，故C错误；根据an＝ω2r可知赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为，故D错误；由万有引力提供向心力可得＝mr＝mω2r，解得T＝2π，ω＝，所以近地卫星与“三号卫星”的周期和角速度之比分别为，故A正确，B错误。]
[针对训练]
1．A [同步卫星周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得vC>vA，aC>aA；同步卫星和近地卫星，根据G ＝m＝m ω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC，故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA2．AD [由于同步卫星与赤道上物体的角速度相等，由an＝rω2得，A正确，B错误；由G ＝m，得v＝，故，C错误，D正确。]
典例2 CD [卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即，而在近地圆轨道时万有引力等于向心力，即，所以v2>v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4，综上所述可知v2＞v1＞v4＞v3，故D正确；由开普勒第三定律＝k，则T1[针对训练]
3．D [由G ＝m得，v＝，由于r1v3，根据开普勒第二定律知，卫星距地球较近时运行速度较大，故A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律，可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故C错误；卫星在Q点从轨道1变轨到轨道2，做离心运动，速度增大，故D正确。]
4．B [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据万有引力提供向心力，有G ＝m＝man，解得卫星线速度大小v＝，由题图可知，ra＜rb＝rc，则b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故A错误；由v＝知，a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B正确；c加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b，b减速要做向心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；由向心加速度大小an＝知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D错误。]
典例3 CD [双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有＝m1R，对木星有＝m2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝L，r＝L，T＝2πL，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有＝m2L，解得T＝2πL，故D正确。]
典例4 D [直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力，根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G ＝m，星体做圆周运动的线速度大小为v＝，故A错误；直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力，根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G ＝mL，解得星体做圆周运动的周期为T＝4πL，故B错误；根据几何关系可得，三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为R＝L，由万有引力提供向心力得2×·cos 30°＝mω2R，解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为ω＝，故C错误；三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为an＝ω2R＝，故D正确。]
典例5 AD [四星系统的圆心在正方形中心，根据几何关系可得轨道半径为r＝a，A正确；在星球表面根据G ＝m′g，得g＝，B错误；每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力F1＝×2＝，对角星对星球的万有引力F2＝，可知F1≠F2，C错误；向心力由合力提供，故Fn＝＝mr，解得T＝2πa＝2πa，D正确。]
[针对训练]
5．A [双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G ＝m2(r－r1)，解得m1＝，A正确。]
6．A [甲星同时受到乙星和丙星的引力作用，故甲星所受合力为F合＝，A正确；设甲星做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，向心加速度为an，根据牛顿第二定律有＝Man＝M＝MR，解得an＝，v＝，T＝4πR，B、C、D错误。]
1 / 9(共78张PPT)
素养提升课(四) 天体运动三类典型问题
第七章 万有引力与宇宙航行
学习任务
1．知道同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运动特点，并会对描述它们运动的物理量进行比较。
2．理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。
3．理解双星问题的特点，并会解决相关问题。
探究重构·关键能力达成
探究1 同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量的比较
1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。
2．不同点
(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。
(2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。
(3)向心加速度：由G ＝man知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由an＝rω2＝知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。
(4)向心力：同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即
G ＝m；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G ≠m。
【典例1】 北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量，下列说法正确的是( )
A．近地卫星与“三号卫星”的周期之比为
B．近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为
C．赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为
D．赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为
√
A [“三号卫星”为同步卫星，故其周期与地球自转周期相同，根据v＝ωr可知赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为，故C错误；根据an＝ω2r可知赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为，故D错误；由万有引力提供向心力可得＝mr＝mω2r，解得T＝2π，ω＝，所以近地卫星与“三号卫星”的周期和角速度之比分别为，故A正确，B错误。]
规律方法 同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较技巧
(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。
(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度和周期，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。
(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。
[针对训练]
1．如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则( )
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCC．vA＝vCaB
√
A [同步卫星周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得vC>vA，aC>aA；同步卫星和近地卫星，根据G ＝m＝m ω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC，故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA2．(多选)同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
A． B．
C． D．
√
√
AD [由于同步卫星与赤道上物体的角速度相等，由an＝rω2得，A正确，B错误；由G ＝m，得v＝，故，C错误，D正确。]
探究2 卫星变轨问题与对接问题
1．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供卫星做圆周运动的向心力。由＝m，得v＝，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小。
(2)变轨运行
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G ＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动发动机使卫星做减速运动。
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G ＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动发动机使卫星做加速运动。
2．飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
【典例2】 (多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，
在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期
分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1D．v2>v1>v4>v3
√
√
CD [卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即，而在近地圆轨道时万有引力等于向心力，即，所以v2>v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4，综上所述可知v2＞v1＞v4＞v3，故D正确；由开普勒第三定律＝k，则T1规律总结 变轨问题相关物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。
(4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[针对训练]
3．如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道2上经过Q点的速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度
√
D [由G ＝m得，v＝，由于r1v3，根据开普勒第二定律知，卫星距地球较近时运行速度较大，故A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律，可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故C错误；卫星在Q点从轨道1变轨到轨道2，做离心运动，速度增大，故D正确。]
4．如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、 c 的线速度大小相等，
且大于a的线速度
B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
D．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
√
B [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据万有引力提供向心力，有G ＝m＝man，解得卫星线速度大小v＝，由题图可知，ra＜rb＝rc，则b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故A错误；由v＝知，a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B正确；c加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b，b减速要做向心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；由向心加速度大小an＝知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D错误。]
探究3 双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供(如图所示)，即G r1＝r2。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
角度1 双星系统
【典例3】 (多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )
A．太阳的轨道半径为R＝L
B．木星的轨道半径为r＝L
C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πL
D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πL
√
√
CD [双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有＝m1R，对木星有＝m2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝L，r＝L，T＝2πL，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有＝m2L，解得T＝2πL，故D正确。]
规律方法 求解双星问题的思路
(1)两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。
(2)两个星球的角速度和周期都相同。
(3)两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。
(4)两个星球的轨道半径之和等于它们中心之间的距离。
角度2 多星系统
【典例4】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G ，则下列说法
正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为2π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
√
D [直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力，根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G ＝m，星体做圆周运动的线速度大小为v＝，故A错误；直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力，根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G ＝mL，解得星体做圆周运动的周期为T＝4πL，故B错误；根据几何关系可得，三角形三星系统中星
体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为R＝L，由万有引力提供向心力得2×·cos 30°＝mω2R，解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为ω＝，故C错误；三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为an＝ω2R＝，故D正确。]
【典例5】 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，若四星系统中每个星体的质量均为m、半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上，如图所示。已知引力常量为G ，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是( )
A．四颗星的轨道半径均为a
B．四颗星表面的重力加速度大小均为
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的
合力等于对角星对其的万有引力
D．四颗星的周期均为2πa
√
√
AD [四星系统的圆心在正方形中心，根据几何关系可得轨道半径为r＝a，A正确；在星球表面根据G ＝m′g，得g＝，B错误；每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力F1＝×2＝，对角星对星球的万有引力F2＝，可知F1≠F2，C错误；向心力由合力提供，故Fn＝＝mr，解得T＝2πa＝2πa，D正确。]
[针对训练]
5．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G 。由此可求出S1的质量为( )
A． B．
C． D．
√
A [双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G ＝m2(r－r1)，解得m1＝，A正确。]
6．我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G ，则( )
A．甲星所受合力为
B．甲星的线速度为
C．甲星的周期为2πR
D．甲星的向心加速度为
√
A [甲星同时受到乙星和丙星的引力作用，故甲星所受合力为F合＝，A正确；设甲星做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，向心加速度为an，根据牛顿第二定律有＝Man＝M＝MR，解得an＝，v＝，T＝4πR，B、C、D错误。]
【教用·备选例题】
1．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动。如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G 。
以下对该三星系统的说法正确的是( )
A．每颗星做圆周运动的角速度为3
B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关
C．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍
D．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则线速度大小不变
√
D [任意星之间所受万有引力为F0＝G ，则任意一颗星所受合力为F＝2F0cos 30°＝2×G ，每颗星运动的轨道半径为r＝R cos 30°＝×R×R，由万有引力提供向心力得F＝＝Mω2r，解得ω＝，故A错误；由万有引力提供向心力得F＝＝Man，解得an＝，则每颗星做圆
周运动的向心加速度与三星的质量有关，故B错误；根据题意可知ω′＝ω，故C错误；根据线速度与角速度的关系可知，变化前线速度为v＝ωr＝R，变化后线速度为v′＝R＝ωr＝v，故D正确。]
2．如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为m的行星都绕边长为L1的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为T1；乙图中三颗质量均为m的行星都绕静止于边长为L2的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为T2，不考虑其他星系的影响。已知四星系统内中央星的质量M＝m，L2＝2L1，则两个系统的周期之比为( )
A．T1∶T2＝1∶1
B．T1∶T2＝1∶
C．T1∶T2＝1∶
D．T1∶T2＝1∶2
√
B [题图甲中，任意一颗行星轨道半径为r1＝L1sin 60°×L1，任意两星间的万有引力为F＝，任意一颗行星受到的万有引力的合力为^
F合＝2Fcos 30°＝F，由牛顿第二定律可得F合＝mr1，解得T1＝；题图乙中，任一颗行星轨道半径为r2＝L2sin 60°×L2，每颗星受到的万有引力的合力为F′合＝cos 30°，又M＝m，得F′合＝，由万有引力提供向心力得F′合＝mr2，解得T2＝，又L2＝2L1，联立解得T1∶T2＝1∶，故选B。]
题号
素养提升练(四)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
一、选择题
1．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为( )
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
B [要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，产生阻力，B正确。]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
2．在轨运行的天和核心舱与神舟十七号飞船对接过程中，假设天和核心舱与神舟十七号飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接
B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
C [若使飞船与核心舱在同一轨道上运行，飞船加速会进入较高的轨道，核心舱减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，A、B错误；要想实现对接，可使飞船在比核心舱半径较小的轨道上加速，然后飞船将逐渐进入较高的核心舱轨道，逐渐靠近核心舱后，两者速度接近时实现对接，C正确，D错误。]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
3．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
D [赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3；加速度：a1题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
4．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
C [月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力大小相等，且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。设月球的质量为m，地球的质量为M，因此有mω2r＝Mω2R，所以，线速度和质量成反比，故C正确。]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
5．如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法正确的是( )
A．物体A和卫星C具有大小相同的线速度
B．物体A和卫星C具有大小相同的加速度
C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定不相同
D．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在物体A的正上方
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
D [物体A和卫星B、C的周期相同，故物体A和卫星C的角速度相同，但半径不同，由v＝ωr可知，二者的线速度大小不同，A错误；由an＝ω2r可知，物体A和卫星C的向心加速度不同，B错误；根据牛顿第二定律，卫星B和卫星C在P点的加速度an＝，故两卫星在P点的加速度相同，C错误；对于D选项，物体A做匀速圆周运动，线速度大小不变，角速度不变，而卫星B的线速度是变化的，近地点最大，远地点最小，因此角速度也发生变化，而周期相等，所以在如题图所示开始转动一周的过程中，会出现A先追上B，后又被B落下，一个周期后A和B都回到自己的起点，所以可能出现：在每天的某一时刻卫星B在物体A的正上方，D正确。]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
6．(多选)如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器 ( )
A．相对于变轨前运行周期变长
B．变轨后可能沿轨道3运动
C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
BD [由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，v减小，飞行器做圆周运动需要的向心力Fn＝m减小，小于在P点受到的万有引力 G ，则飞行器将做近心运动，轨道半径r减小，故可能沿轨道3运动，B正确；根据开普勒行星运动定律知，飞行器轨道半径减小，则周期减小，A错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，是减速过程，所以变轨前、后经过P点的速度大小不相等，C错误；飞行器在轨道P点都是由万有引力产生加速度，因此在同一点P，万有引力产生的加速度大小相等，D正确。]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
7．某一双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为( )
A． B．
C． D．
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
A [设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有，解得T理论＝πl；设黑洞的质量为m′，同理有，解得T观测＝πl，又因为T理论＝kT观测，联立解得，故A正确，B、C、D错误。]
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
√
8．《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，
全诗问天、问地、问自然，表现了古人对传统的质
疑和对真理的探索精神。我国火星探测器天问一号
成功发射，屈原的天问梦想成为现实。图中虚线
为天问一号的“地”“火”转移轨道，下列说法
正确的是( )
A．天问一号的最小发射速度为7.9 km/s
B．天问一号由虚线轨道进入火星轨道需要点火加速
C．天问一号在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变大
D．天问一号从地球飞到火星轨道的时间大于火星公转周期的一半
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
1
B [天问一号要离开地球到达火星，所以天问一号的发射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，故A错误；天问一号由虚线轨道进入火星轨道，需点火加速做离心运动，故B正确；由开普勒第二定律知，天问一号在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变小，故C错误；天问一号的椭圆轨道的半长轴小于火星轨道半径，由开普勒第三定律可知，天问一号从地球飞到火星轨道的时间小于火星公转周期的一半，故D错误。]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
9．(多选)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离
为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则可知( )
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
A．m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2
B．m1做圆周运动的半径为L
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1∶1
D．m2做圆周运动的半径为L
√
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
BC [双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期，根据ω＝可知，角速度ω相同，对m1有G ＝m1r1ω2，对m2有
G ＝m2r2ω2，可得m1r1＝m2r2，则有，又因为r1＋r2＝L，所以有r1＝L，r2＝L，又v＝ωr，所以线速度大小之比为，故B、C正确。]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
10．(多选)如图所示，地球球心为O，半径为R，地球表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且沿椭圆轨道运动，轨道上P点距地心最远，距离为3R。为研究方便，假设地球不自转且忽略空气阻力，则( )
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
√
A．飞船经过P点的加速度一定是
B．飞船经过P点的速度一定是
C．飞船经过P点的速度小于
D．飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要制动减速
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
AC [在地球表面重力加速度与万有引力加速度相等，根据牛顿第二定律有G ＝mg，所以在地球表面有g＝，在P点根据牛顿第二定律有G ＝maP，联立解得aP＝，故A正确；在椭圆轨道上飞船从P点开始将做近心运动，此时满足飞船受到的万有引力大于飞船在P点所需向心力，即，则vP＜，故B错误，C正确；飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要点火加速，故D错误。]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
11．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小，若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B．这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C．36倍太阳质量的黑洞和29倍太阳质量的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D．随着两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
D [设大、小两个黑洞做圆周运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，由题意知，m1ω2r1＝m2ω2r2，解得，这两个黑洞做圆周运动的角速度相等，由v＝ωr知线速度大小不相等，故A错误；由an＝rω2知向心加速度大小不相等，故B错误；由v＝ωr知大、小两个黑洞运行的线速度大小之比为29∶36，故C错误；设两个黑洞间距为L，随着两个黑洞的间距缓慢减小，黑洞做匀速圆周运动的半径也在减小，根据万有引力提供向心力，对质量为m1的黑洞有G ＝m1r1，对质量为m2的黑洞有G ＝m2r2，r1＋r2＝L，解得T＝2π，其中L为两个黑洞的间距，因m1、m2不变，L减小，所以周期减小，故D正确。]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
二、非选择题
12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中心距离为R，其运动周期为T，引力常量为G ，求两星球的总质量。
[解析] 设两星球质量分别为m1和m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1和R－r1，则由万有引力提供向心力得
G r1 ①
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
G (R－r1) ②
由①②可得m1r1＝m2(R－r1) ③
则 ④
由①④得
所以m1＋m2＝。
[答案]
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
13．如图所示为天问一号探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，探测器在P点距火星表面的高度为h，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，S、Q间距离为H。探测器在轨道Ⅲ
上绕火星做周期为T的匀速圆周运动，火星半
径为R，引力常量为G 。求：
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(1)火星的质量及火星表面的重力加速度；
(2)火星的第一宇宙速度；
(3)探测器在轨道Ⅱ上的运动周期。
[解析] (1)探测器在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得G ＝m(R＋h)
解得M＝
根据黄金代换公式，即G M＝gR2
解得g＝。
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(2)设质量为m′的物体在火星附近做圆周运动，由万有引力提供向心力，即＝m′
解得v＝。
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
1
(3)根据开普勒第三定律得
解得探测器在轨道Ⅱ上的运动周期T′＝。
[答案] (1)(2)
(3)
THANKS素养提升练(四)
一、选择题
1．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为( )
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
2．在轨运行的天和核心舱与神舟十七号飞船对接过程中，假设天和核心舱与神舟十七号飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接
B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
3．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
4．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
5．如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法正确的是( )
A．物体A和卫星C具有大小相同的线速度
B．物体A和卫星C具有大小相同的加速度
C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定不相同
D．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在物体A的正上方
6．(多选)如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器 ( )
A．相对于变轨前运行周期变长
B．变轨后可能沿轨道3运动
C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等
7．某一双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为( )
A． B．
C． D．
8．《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天、问地、问自然，表现了古人对传统的质疑和对真理的探索精神。我国火星探测器天问一号成功发射，屈原的天问梦想成为现实。图中虚线为天问一号的“地”“火”转移轨道，下列说法正确的是( )
A．天问一号的最小发射速度为7.9 km/s
B．天问一号由虚线轨道进入火星轨道需要点火加速
C．天问一号在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变大
D．天问一号从地球飞到火星轨道的时间大于火星公转周期的一半
9．(多选)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则可知( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2
B．m1做圆周运动的半径为L
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1∶1
D．m2做圆周运动的半径为L
10．(多选)如图所示，地球球心为O，半径为R，地球表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且沿椭圆轨道运动，轨道上P点距地心最远，距离为3R。为研究方便，假设地球不自转且忽略空气阻力，则( )
A．飞船经过P点的加速度一定是
B．飞船经过P点的速度一定是
C．飞船经过P点的速度小于
D．飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要制动减速
11．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小，若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B．这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C．36倍太阳质量的黑洞和29倍太阳质量的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D．随着两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小
二、非选择题
12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中心距离为R，其运动周期为T，引力常量为G ，求两星球的总质量。
13．如图所示为天问一号探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，探测器在P
点距火星表面的高度为h，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，S、Q间距离为H。探测器在轨道Ⅲ上绕火星做周期为T的匀速圆周运动，火星半径为R，引力常量为G 。求：
(1)火星的质量及火星表面的重力加速度；
(2)火星的第一宇宙速度；
(3)探测器在轨道Ⅱ上的运动周期。
素养提升练(四)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C D C D BD A B BC AC D
1．B [要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，产生阻力，B正确。]
2．C [若使飞船与核心舱在同一轨道上运行，飞船加速会进入较高的轨道，核心舱减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，A、B错误；要想实现对接，可使飞船在比核心舱半径较小的轨道上加速，然后飞船将逐渐进入较高的核心舱轨道，逐渐靠近核心舱后，两者速度接近时实现对接，C正确，D错误。]
3．D [赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3；加速度：a14．C [月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力大小相等，且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。设月球的质量为m，地球的质量为M，因此有mω2r＝Mω2R，所以，线速度和质量成反比，故C正确。]
5．D
6．BD [由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，v减小，飞行器做圆周运动需要的向心力Fn＝m减小，小于在P点受到的万有引力 G ，则飞行器将做近心运动，轨道半径r减小，故可能沿轨道3运动，B正确；根据开普勒行星运动定律知，飞行器轨道半径减小，则周期减小，A错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，是减速过程，所以变轨前、后经过P点的速度大小不相等，C错误；飞行器在轨道P点都是由万有引力产生加速度，因此在同一点P，万有引力产生的加速度大小相等，D正确。]
7．A [设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有，解得T理论＝πl；设黑洞的质量为m′，同理有，解得T观测＝πl，又因为T理论＝kT观测，联立解得，故A正确，B、C、D错误。]
8．B [天问一号要离开地球到达火星，所以天问一号的发射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，故A错误；天问一号由虚线轨道进入火星轨道，需点火加速做离心运动，故B正确；由开普勒第二定律知，天问一号在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变小，故C错误；天问一号的椭圆轨道的半长轴小于火星轨道半径，由开普勒第三定律可知，天问一号从地球飞到火星轨道的时间小于火星公转周期的一半，故D错误。]
9．BC [双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期，根据ω＝可知，角速度ω相同，对m1有G ＝m1r1ω2，对m2有G ＝m2r2ω2，可得m1r1＝m2r2，则有，又因为r1＋r2＝L，所以有r1＝L，r2＝L，又v＝ωr，所以线速度大小之比为，故B、C正确。]
10．AC [在地球表面重力加速度与万有引力加速度相等，根据牛顿第二定律有G ＝mg，所以在地球表面有g＝，在P点根据牛顿第二定律有G ＝maP，联立解得aP＝，故A正确；在椭圆轨道上飞船从P点开始将做近心运动，此时满足飞船受到的万有引力大于飞船在P点所需向心力，即，则vP＜，故B错误，C正确；飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要点火加速，故D错误。]
11．D [设大、小两个黑洞做圆周运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，由题意知，m1ω2r1＝m2ω2r2，解得，这两个黑洞做圆周运动的角速度相等，由v＝ωr知线速度大小不相等，故A错误；由an＝rω2知向心加速度大小不相等，故B错误；由v＝ωr知大、小两个黑洞运行的线速度大小之比为29∶36，故C错误；设两个黑洞间距为L，随着两个黑洞的间距缓慢减小，黑洞做匀速圆周运动的半径也在减小，根据万有引力提供向心力，对质量为m1的黑洞有G ＝m1r1，对质量为m2的黑洞有G ＝m2r2，r1＋r2＝L，解得T＝2π，其中L为两个黑洞的间距，因m1、m2不变，L减小，所以周期减小，故D正确。]
12．解析：设两星球质量分别为m1和m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1和R－r1，则由万有引力提供向心力得
G r1 ①
G (R－r1) ②
由①②可得m1r1＝m2(R－r1) ③
则 ④
由①④得
所以m1＋m2＝。
答案：
13．解析：(1)探测器在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
G ＝m(R＋h)
解得M＝
根据黄金代换公式，即G M＝gR2
解得g＝。
(2)设质量为m′的物体在火星附近做圆周运动，由万有引力提供向心力，即
＝m′
解得v＝。
(3)根据开普勒第三定律得
解得探测器在轨道Ⅱ上的运动周期
T′＝。
答案：(1)
(2)
(3)
5 / 5