广东省汕头市2025届高三三模数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·汕头模拟）设集合，，则的元素个数为（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，有3个元素.
故选：B.
【分析】先求出集合B，再求，判断其元素个数.
2．（2025·汕头模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】利用复数除法和减法法则求解.
3．（2025·汕头模拟）已知向量若则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量
所以
所以
解得.
故答案为：C.
【分析】先利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再根据数量积的坐标表示和已知条件，从而得出x的值.
4．（2025·汕头模拟）将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】得到的偶函数解析式为 ，显然
故答案为：B。
【分析】利用函数的图象变换，利用“左+右-”可得函数 的图象沿轴向左平移 个单位后的解析式，再利用其为偶函数，求出 的一个值。
5．（2025·汕头模拟）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，
设直线，
联立抛物线，
得，
则，
由韦达定理，得，
则
所以，圆心O到直线的距离为，
所以，
解得，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用抛物线标准方程得出焦点坐标，再联立直线方程与抛物线方程得出韦达定理式，再利用弦长公式得出AB的长，再结合点到直线的距离公式得出圆心O到直线的距离，则由三角形面积公式和已知条件得出直线的斜率，最后由直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出θ的值.
6．（2025·汕头模拟）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除BC，
令，则或，
则或，解得：或，
所以当时，的最小为1，
当时，或，所以， 排除A.
故选：D.
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由函数值的正负排除A.
7．（2025·汕头模拟）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
所以，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式可得的值，再结合两角和的正弦公式和，，从而得出的值.
8．（2025·汕头模拟）已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：若为中点，连接，
由为等边三角形，则，
因为，且，∴面，
又因为面，则，
由题意，，，又因为，
∴，则，
又因为，面，∴面，
又因为面，所以，面面，
由上可得：，则，
故△为等腰直角三角形，
∴综上所述，四面体的球心为△的中心，则靠近的三等分点，
若为中点，连接，
易知：即为二面角的平面角，
由、且，面，
可得面，又因为面，则，
所以，∴，
又因为，
∴.
故答案为：A.
【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定定理、勾股定理和面面垂直的判定定理，从而可得面面，再结合已知条件判断出△为等腰直角三角形，从而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，再利用正切函数的定义，从而得出二面角的正切值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·汕头模拟）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C．若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个
D．从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
【答案】B,D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；最小二乘法
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图计算平均数得，
超过了6.5万元，A错误；
B、由图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的占比为，显然，B正确；
C、家庭年收入在，，三组中的比例为，
所以抽取的48个家庭中年收入在的家庭应抽个，C错误；
D、 根据最小二乘原理可知，要使数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，
数据a必为这12个数据的平均数，D正确.
故选：BD
【分析】A利用频率分布直方图计算出平均数判断，B由图中数据计算判断，C利用分层抽样比计算判断，D根据最小二乘原理判断.
10．（2025·汕头模拟）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：，
，或(舍)，故A正确；
又因为，，，
数列是公差为的等差数列，故B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故C正确；
当时，，这与矛盾，故D错误，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和的关系式，从而得出数列首项的值，则判断出选项A；利用已知条件和的关系式，再结合等差数列的定义，则判断出数列是公差为的等差数列，则判断出选项B；利用等差数列的通项公式和数列的正负，从而得出数列的前5项和最大，则判断出选项C；利用已知条件和赋值法，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2025·汕头模拟）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的图象关于点成中心对称
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，
满足，
令，则，所以，
又为偶函数，，故A对；
对于B，，
，
故函数的周期为，
再根据，则，
的图象关于点成中心对称，故B对；
对于C，由选项B知：的周期，
所以，
，
令，则，
又当时，
，
则，
所以，
则，
所以，故C错误；
对于D，因为满足，
关于中心对称，
又当时，
在上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，当且仅当时，即当时等号成立，
，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法和偶函数的定义，从而得出的值，则判断出选项A；先推出的周期，再结合函数图象的中心对称判断出选项B；利用函数的周期性判断出选项C；利用函数的奇偶性、单调性，再结合函数的对称性，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12．（2025·汕头模拟）曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．（2025·汕头模拟）如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为 .
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，
所以，扇形所围成的大圆锥的弧长为，
则所围成底面圆的半径为，
所以，圆锥的高为，
则扇形所围成的大圆锥的体积为，
同理可得，扇形所围成的小圆锥的体积为，
则该圆台的体积为.
故答案为：.
【分析】利用圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，利用母线长可得大圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，则由圆锥的体积公式得出大圆锥的体积，同理求得小圆锥的体积，最后由作差法得出该圆台的体积.
14．（2025·汕头模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
在中，设，由正弦定理，可得，
由双曲线的定义可知，，故，
在中，由余弦定理可得，解得，
则在中，，，，
又因为，解得，所以离心率．
故答案为：.
【分析】在中，设，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得出，结合离心率公式求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·汕头模拟）已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
【答案】（1）∵，由正弦定理得
∴
，
∵，∴，
又，∴.
（2）由题意得，∴，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
∴的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简求解.
（2）利用余弦定理及基本不等式求解.
（1）在中，由及正弦定理得，
则
，而，则，又，
所以.
（2）依题意，，由（1）知，得，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
所以的最小值为.
16．（2025·汕头模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
（2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：用表示张某第道题答对，
由题意，得，
记张某得到直升卡为事件，
则
，
所以，张某得到直升卡的概率为．
（2）解：由题意知，可能取值为，
则，
，
，
，
则的分布列如下：
2 3 4 5
所以．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概率公式以及独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出张某得到直升卡的概率.
（2）利用已知条件确定的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，从而分别求出，，，则得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望．
（1）用表示张某第道题答对，
用表示张某第道题答错，
由题意得，
记张某得到直升卡为事件，
则
．
即张某得到直升卡的概率为．
（2）由题可得的可能取值为．
，
，
，
，
则的分布列如下，
2 3 4 5
所以．
17．（2025·汕头模拟）如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P．
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
【答案】（1）由题意知两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
∴，
∵，∴，
∵， ∴，
又，平面，∴平面AMN；
（2）设，则，
平面的一个法向量为，
∵平面，∴，解得， ∴，
，，
设平面的一个法向量，
∴，取，则，
∴，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
∴点P到平面AMN的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算得到垂直关系，进而证明线面垂直；
（2）由平面求出点P坐标，再求平面的一个法向量，再求线面角的正弦值；
（3）利用向量法求点面距离.
（1）在直三棱柱中，则两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
所以，
由，则，
由，则，
由且都在平面内，则平面AMN；
（2）设，，平面的一个法向量为，
由平面，则，可得，故，
设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点P到平面AMN的距离.
18．（2025·汕头模拟）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）解：函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）证明：因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，求导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调区间，核心是导数与函数单调性的关系.
（2）（i）求的取值范围：先求导，对分类讨论，结合函数单调性、极值与零点的关系确定的范围，关键是导数分析函数形态.
（ii）证明不等式：利用零点条件化简，构造新函数，通过研究新函数单调性证明，核心是函数构造与单调性应用.
（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
19．（2025·汕头模拟）已知椭圆的离心率.
（1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程.
（2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
①求；
②记，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，，
可得：①，
又因为椭圆过点，
可得②，
联立①，②，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
直线与轴重合，不符合题意，
所以，直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
联立，
消去，整理得：，
因为直线交椭圆于两点，
则且，
所以，
因为直线的方程为，
同理可得，
因为三点共线，所以，
则，
易知，
则，
因为，
所以.
②结合 ①，可知，
则，
因为，
所以，数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以，数列的前项和为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到之间的关系，再结合椭圆过点，从而求出的值，进而得到椭圆的标准方程.
（2）①利用根与系数的关系和中点坐标公式，从而得出点M和点N的坐标，再根据三点共线得出之间的关系式.
②结合 ①得出数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断出数列是首项为9，公比为3的等比数列，再结合等比数列前n项和公式得出数列的前项和.
（1）因，可得：①，
又椭圆过点，可得②，
联立①，②，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）① 当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
联立，消去，整理得：，
因直线交椭圆于两点，则，且，则，
因直线的方程为，同理可得：，
因三点共线，则，即，
易知，则，
因，则；
② 结合 ①可知，则，
因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以数列的前项和为.
1 / 1广东省汕头市2025届高三三模数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·汕头模拟）设集合，，则的元素个数为（ ）
A． B．3 C．2 D．1
2．（2025·汕头模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·汕头模拟）已知向量若则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2025·汕头模拟）将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·汕头模拟）已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2025·汕头模拟）函数的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2025·汕头模拟）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·汕头模拟）已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·汕头模拟）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C．若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个
D．从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
10．（2025·汕头模拟）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
11．（2025·汕头模拟）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的图象关于点成中心对称
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12．（2025·汕头模拟）曲线在点处的切线方程是 .
13．（2025·汕头模拟）如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为 .
14．（2025·汕头模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·汕头模拟）已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
16．（2025·汕头模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
（2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
17．（2025·汕头模拟）如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P．
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
18．（2025·汕头模拟）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．（2025·汕头模拟）已知椭圆的离心率.
（1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程.
（2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.
①求；
②记，求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，有3个元素.
故选：B.
【分析】先求出集合B，再求，判断其元素个数.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】利用复数除法和减法法则求解.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量
所以
所以
解得.
故答案为：C.
【分析】先利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再根据数量积的坐标表示和已知条件，从而得出x的值.
4．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】得到的偶函数解析式为 ，显然
故答案为：B。
【分析】利用函数的图象变换，利用“左+右-”可得函数 的图象沿轴向左平移 个单位后的解析式，再利用其为偶函数，求出 的一个值。
5．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，得，
设直线，
联立抛物线，
得，
则，
由韦达定理，得，
则
所以，圆心O到直线的距离为，
所以，
解得，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用抛物线标准方程得出焦点坐标，再联立直线方程与抛物线方程得出韦达定理式，再利用弦长公式得出AB的长，再结合点到直线的距离公式得出圆心O到直线的距离，则由三角形面积公式和已知条件得出直线的斜率，最后由直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而得出θ的值.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除BC，
令，则或，
则或，解得：或，
所以当时，的最小为1，
当时，或，所以， 排除A.
故选：D.
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由函数值的正负排除A.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
所以，.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式可得的值，再结合两角和的正弦公式和，，从而得出的值.
8．【答案】A
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：若为中点，连接，
由为等边三角形，则，
因为，且，∴面，
又因为面，则，
由题意，，，又因为，
∴，则，
又因为，面，∴面，
又因为面，所以，面面，
由上可得：，则，
故△为等腰直角三角形，
∴综上所述，四面体的球心为△的中心，则靠近的三等分点，
若为中点，连接，
易知：即为二面角的平面角，
由、且，面，
可得面，又因为面，则，
所以，∴，
又因为，
∴.
故答案为：A.
【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定定理、勾股定理和面面垂直的判定定理，从而可得面面，再结合已知条件判断出△为等腰直角三角形，从而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，再利用正切函数的定义，从而得出二面角的正切值.
9．【答案】B,D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；最小二乘法
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图计算平均数得，
超过了6.5万元，A错误；
B、由图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的占比为，显然，B正确；
C、家庭年收入在，，三组中的比例为，
所以抽取的48个家庭中年收入在的家庭应抽个，C错误；
D、 根据最小二乘原理可知，要使数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，
数据a必为这12个数据的平均数，D正确.
故选：BD
【分析】A利用频率分布直方图计算出平均数判断，B由图中数据计算判断，C利用分层抽样比计算判断，D根据最小二乘原理判断.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：，
，或(舍)，故A正确；
又因为，，，
数列是公差为的等差数列，故B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故C正确；
当时，，这与矛盾，故D错误，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和的关系式，从而得出数列首项的值，则判断出选项A；利用已知条件和的关系式，再结合等差数列的定义，则判断出数列是公差为的等差数列，则判断出选项B；利用等差数列的通项公式和数列的正负，从而得出数列的前5项和最大，则判断出选项C；利用已知条件和赋值法，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，
满足，
令，则，所以，
又为偶函数，，故A对；
对于B，，
，
故函数的周期为，
再根据，则，
的图象关于点成中心对称，故B对；
对于C，由选项B知：的周期，
所以，
，
令，则，
又当时，
，
则，
所以，
则，
所以，故C错误；
对于D，因为满足，
关于中心对称，
又当时，
在上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，当且仅当时，即当时等号成立，
，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法和偶函数的定义，从而得出的值，则判断出选项A；先推出的周期，再结合函数图象的中心对称判断出选项B；利用函数的周期性判断出选项C；利用函数的奇偶性、单调性，再结合函数的对称性，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，
所以，扇形所围成的大圆锥的弧长为，
则所围成底面圆的半径为，
所以，圆锥的高为，
则扇形所围成的大圆锥的体积为，
同理可得，扇形所围成的小圆锥的体积为，
则该圆台的体积为.
故答案为：.
【分析】利用圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积，利用母线长可得大圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，则由圆锥的体积公式得出大圆锥的体积，同理求得小圆锥的体积，最后由作差法得出该圆台的体积.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
在中，设，由正弦定理，可得，
由双曲线的定义可知，，故，
在中，由余弦定理可得，解得，
则在中，，，，
又因为，解得，所以离心率．
故答案为：.
【分析】在中，设，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得出，结合离心率公式求解即可.
15．【答案】（1）∵，由正弦定理得
∴
，
∵，∴，
又，∴.
（2）由题意得，∴，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
∴的最小值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简求解.
（2）利用余弦定理及基本不等式求解.
（1）在中，由及正弦定理得，
则
，而，则，又，
所以.
（2）依题意，，由（1）知，得，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
所以的最小值为.
16．【答案】（1）解：用表示张某第道题答对，
由题意，得，
记张某得到直升卡为事件，
则
，
所以，张某得到直升卡的概率为．
（2）解：由题意知，可能取值为，
则，
，
，
，
则的分布列如下：
2 3 4 5
所以．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概率公式以及独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出张某得到直升卡的概率.
（2）利用已知条件确定的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，从而分别求出，，，则得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望．
（1）用表示张某第道题答对，
用表示张某第道题答错，
由题意得，
记张某得到直升卡为事件，
则
．
即张某得到直升卡的概率为．
（2）由题可得的可能取值为．
，
，
，
，
则的分布列如下，
2 3 4 5
所以．
17．【答案】（1）由题意知两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
∴，
∵，∴，
∵， ∴，
又，平面，∴平面AMN；
（2）设，则，
平面的一个法向量为，
∵平面，∴，解得， ∴，
，，
设平面的一个法向量，
∴，取，则，
∴，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
∴点P到平面AMN的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算得到垂直关系，进而证明线面垂直；
（2）由平面求出点P坐标，再求平面的一个法向量，再求线面角的正弦值；
（3）利用向量法求点面距离.
（1）在直三棱柱中，则两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
所以，
由，则，
由，则，
由且都在平面内，则平面AMN；
（2）设，，平面的一个法向量为，
由平面，则，可得，故，
设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点P到平面AMN的距离.
18．【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）解：函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）证明：因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，求导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调区间，核心是导数与函数单调性的关系.
（2）（i）求的取值范围：先求导，对分类讨论，结合函数单调性、极值与零点的关系确定的范围，关键是导数分析函数形态.
（ii）证明不等式：利用零点条件化简，构造新函数，通过研究新函数单调性证明，核心是函数构造与单调性应用.
（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
19．【答案】（1）解：因为，，
可得：①，
又因为椭圆过点，
可得②，
联立①，②，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
直线与轴重合，不符合题意，
所以，直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
联立，
消去，整理得：，
因为直线交椭圆于两点，
则且，
所以，
因为直线的方程为，
同理可得，
因为三点共线，所以，
则，
易知，
则，
因为，
所以.
②结合 ①，可知，
则，
因为，
所以，数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以，数列的前项和为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到之间的关系，再结合椭圆过点，从而求出的值，进而得到椭圆的标准方程.
（2）①利用根与系数的关系和中点坐标公式，从而得出点M和点N的坐标，再根据三点共线得出之间的关系式.
②结合 ①得出数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断出数列是首项为9，公比为3的等比数列，再结合等比数列前n项和公式得出数列的前项和.
（1）因，可得：①，
又椭圆过点，可得②，
联立①，②，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）① 当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0.
设直线的方程为，
联立，消去，整理得：，
因直线交椭圆于两点，则，且，则，
因直线的方程为，同理可得：，
因三点共线，则，即，
易知，则，
因，则；
② 结合 ①可知，则，
因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列，
所以数列的前项和为.
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