湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·长沙期末）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025高二下·长沙期末）已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A．3 B．12 C． D．
3．（2025高二下·长沙期末）设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·长沙期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·长沙期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．6 D．12
6．（2025高二下·长沙期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·长沙期末）设，则的值为（ ）
A．20 B．－20 C．160 D．－160
8．（2025高二下·长沙期末）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·长沙期末）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为4
C．若复数z满足，则的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
10．（2025高二下·长沙期末）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值
C． D．是等比数列
11．（2025高二下·长沙期末）设函数，则（ ）
A．的图象有对称轴 B．是周期函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·长沙期末）已知函数为奇函数，则 .
13．（2025高二下·长沙期末）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 .
14．（2025高二下·长沙期末）设函数，若且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·长沙期末）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
16．（2025高二下·长沙期末）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性 48 72
女性 24 56
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2025高二下·长沙期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值.
18．（2025高二下·长沙期末）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
19．（2025高二下·长沙期末）张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义， 即若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为 “广义差商有界”函数.
（1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数
（2）已知函数 .
（i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：集合，，
则或（舍去），解得.
故答案为：B．
【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解即可.
2．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，由题意可得：，解得，
则球的体积为.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为，利用球体的表面积、体积相等列方程求得半径，再根据球的体积公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若函数为增函数，则，，即必要性成立；
取函数（取整函数），满足，，但函数为非单调，即充分性不成则“，”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简求值即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在方向上的投影向量为，则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
7．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为的通项为：，
令，则.
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出的通项，令，从而求出的值.
8．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
由，且，可得，
又因为，则，
由平面，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求得相应点以及相应向量的坐标，再求平面的法向量，根据线面平行可得，列式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；方程的解与虚数根；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、复数的共轭复数为，虚部为，故B正确；
C、设复数，由，可得，即，则复数的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆上的点到原点的距离，最大值为2，则的最大值为2，故C正确；
D、是关于x的方程的一个根，则为方程另一个根，
由韦达定理可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数乘方的性质求即可判断A；求复数的共轭复数，结合复数的概念即可判断B；设复数，由，可得复数的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆上的点到原点的距离最大值为2即可判断C；根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列与函数的综合；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 数列的前n项和为，即，
则，即数列为递减数列，故A正确；
B、，则当或时，取得最大值，故B错误；
C、，当时，，
当时，，
则，
当时，，符合上式，则，故C正确；
D、令，由C选项可得：，则，即数列是等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，求得，再表示比较与0的大小关系作差即可判断A；化为结合二次函数的性质即可判断B；利用的关系求通项公式即可判断C；令，由C选项可得，利用等比数列的定义即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数，，
则函数是偶函数，关于轴对称，即的图象有对称轴，故A正确；
B、，
则是函数的一个周期，故B正确；
C、，，，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
D、若的图象关于点中心对称 ，则
，即函数的图象关于点中心对称.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数奇偶性定义判断函数为偶函数即可判断A；周期的定义找到其中一个周期为即可判断B；通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增即可判断C；若的图象关于点中心对称 ，则满足验证即可判断D.
12．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为，
则，
又因为有意义结合为奇函数，
所以，
因此，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数定义域，再由奇函数的性质得出，从而可得的值，则得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为，
第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为，
所以前三次均未摸到红球的概率为，
所以前三次至少有一次摸到红球的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用间接法求解，先求前三次均未摸到红球的概率，进而求出前三次至少有一次摸到红球的概率.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的大致图象，如图所示：
若且， 则，
因为，所以，又因为，所以，
则，
由，故在上单调递减，
，
则的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】画出函数的图象，由题意可得的范围，由可得，由可得，可得，判断函数的单调性求取值范围即可．
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：由题意可知：，
即，化简可得，
在中，，由余弦定理得，
则，解得，
则．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）由题意可得，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得．
因为，所以，
所以，故，
又因为，所以．
（2）由题意可知，
即，化简可得．
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍）．
则．
16．【答案】（1）解：列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关；
（2）解：由分层随机抽样可知：抽取男性用户2人，女性用户1人；
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，，
，
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表，计算，与临界值比较判断即可；
（2）先求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
（1）由题意，列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.
（2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，
，
故.
17．【答案】（1）证明：连接，设，连接，如图所示：
在三棱柱中，因为是平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，所以，，两两相互垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，即，
因为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：易知平面的一个法向量为，
，
由图可知：二面角为钝角，则二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，设，连接，证明，结合线面平行的判定定理证明及可靠；
（2）由题意推得，，两两相互垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）易知平面的一个法向量为，利用向量夹角公式求解即可.
（1）连接，设，连接.
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点.
因为为的中点，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，，平面，
所以平面，平面，所以.
又，所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则即
令，则，.于是.
因为
所以.
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为平面，
所以是平面的一个法向量.
所以.
由题设，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即①，
又因为点在椭圆上，所以②，
由①②③解得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：易知，，
设直线的方程为，因为直线不过点，所以，
联立，消元整理可得，解得，
即，，
直线的斜率为，故直线的方程为，
令，得，
直线的斜率，
则直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，即可求得椭圆方程；
（2）易知，，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，表示出坐标，求得直线的方程，令，得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
19．【答案】（1）解： 在 上不是 “差商有界” 函数；
理由如下：假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，
不等式 恒成立，即 ，可见 ；
取 ，代入 ，得 ，
即 ，产生矛盾，故 在 上不是“差商有界”函数，
在 上是 “广义差商有界” 函数，
证明如下：
设 且 ，
即 ，
因为 ，所以 ，其中，
故 在区间 上是 “广义差商有界” 函数；
（2）解：(i ) 在区间 上不是“差商有界”函数，
理由如下：
函数定义域为， ，
当 时， ，则 在区间 上单调递减，
取 (其中 ) 且 ，若满足 ，
则 ，
即①，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
从而 ，即 ，这与①矛盾，
故 在区间 上不是 “差商有界” 函数；
(ii) 由 ，得 ，令 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
即 ，
即 ，即 ，
设 ，
，函数 在 上单调递增，
从而 ，即 ，符合题意，
设 ，
则 (其中 )，
若 ，则 ，则 在 上单调递减，
从而 ，符合题意，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，
设，
当 ，即 时， ，符合题意，
当 ，即 时，设 ，则 ， ，
因为 (利用 时 )，
所以 ，
令 ，解得 ，
则存在 ，即存在 ，使 ，不合题意，
综上， ，即 ，解得 ，故正整数 的最小值为 2 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）直接利用函数新定义判断即可；
（2）（i）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断其单调性，再利用函数新定义结合导数分析 在区间 上单调递减，得到与①矛盾的结果即可；
（ii）结合函数新定义构造函数，利用导数分析其单调性求出的最小值，再构造函数，利用导数找到其隐零点即可.
（1） 在 上不是 “差商有界” 函数.理由如下：
假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，即 ，可见 ；
取 ，代入 ，得 ，
即 ，产生矛盾，故 在 上不是“差商有界”函数.
在 上是 “广义差商有界” 函数.
证明如下：
设 且 ，
即 ，
又 ，所以 ，其中 .
故 在区间 上是 “广义差商有界” 函数.
（2）(i ) 在区间 上不是“差商有界”函数.
理由如下：
，
当 时， ，则 在区间 上单调递减.
取 (其中 ) 且 ，若满足 ，则 ，
即 . ①
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
从而 ，即 ，这与①矛盾，
故 在区间 上不是 “差商有界” 函数.
(ii) 由 ，得 ，
令 ，则 .
设 ，则 ，则 ，
即 ，
即 ，即 .
设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ，符合题意.
设 ，
则 (其中 ).
若 ，则 ，则 在 上单调递减，
从而 ，符合题意.
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
设 .
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，设 ，则 ， .
因为 (利用 时 )，所以 .
令 ，解得 ，
则存在 ，即存在 ，
使 ，不合题意.
综上， ，即 ，解得 ，故正整数 的最小值为 2 .
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·长沙期末）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：集合，，
则或（舍去），解得.
故答案为：B．
【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解即可.
2．（2025高二下·长沙期末）已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A．3 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，由题意可得：，解得，
则球的体积为.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为，利用球体的表面积、体积相等列方程求得半径，再根据球的体积公式求解即可.
3．（2025高二下·长沙期末）设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若函数为增函数，则，，即必要性成立；
取函数（取整函数），满足，，但函数为非单调，即充分性不成则“，”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2025高二下·长沙期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简求值即可.
5．（2025高二下·长沙期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：在方向上的投影向量为，则，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
6．（2025高二下·长沙期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量服从正态分布，则，
因为，，所以，
且，，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布的性质求得，再利用基本不等式求的最小值即可.
7．（2025高二下·长沙期末）设，则的值为（ ）
A．20 B．－20 C．160 D．－160
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为的通项为：，
令，则.
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出的通项，令，从而求出的值.
8．（2025高二下·长沙期末）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
由，且，可得，
又因为，则，
由平面，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求得相应点以及相应向量的坐标，再求平面的法向量，根据线面平行可得，列式求解即可.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·长沙期末）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为4
C．若复数z满足，则的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
【答案】B,C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；方程的解与虚数根；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、复数的共轭复数为，虚部为，故B正确；
C、设复数，由，可得，即，则复数的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆上的点到原点的距离，最大值为2，则的最大值为2，故C正确；
D、是关于x的方程的一个根，则为方程另一个根，
由韦达定理可得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数乘方的性质求即可判断A；求复数的共轭复数，结合复数的概念即可判断B；设复数，由，可得复数的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆上的点到原点的距离最大值为2即可判断C；根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可判断D.
10．（2025高二下·长沙期末）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值
C． D．是等比数列
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列与函数的综合；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 数列的前n项和为，即，
则，即数列为递减数列，故A正确；
B、，则当或时，取得最大值，故B错误；
C、，当时，，
当时，，
则，
当时，，符合上式，则，故C正确；
D、令，由C选项可得：，则，即数列是等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，求得，再表示比较与0的大小关系作差即可判断A；化为结合二次函数的性质即可判断B；利用的关系求通项公式即可判断C；令，由C选项可得，利用等比数列的定义即可判断D.
11．（2025高二下·长沙期末）设函数，则（ ）
A．的图象有对称轴 B．是周期函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数，，
则函数是偶函数，关于轴对称，即的图象有对称轴，故A正确；
B、，
则是函数的一个周期，故B正确；
C、，，，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
D、若的图象关于点中心对称 ，则
，即函数的图象关于点中心对称.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数奇偶性定义判断函数为偶函数即可判断A；周期的定义找到其中一个周期为即可判断B；通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增即可判断C；若的图象关于点中心对称 ，则满足验证即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·长沙期末）已知函数为奇函数，则 .
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为，
则，
又因为有意义结合为奇函数，
所以，
因此，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可得函数定义域，再由奇函数的性质得出，从而可得的值，则得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
13．（2025高二下·长沙期末）一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为，
第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为，
所以前三次均未摸到红球的概率为，
所以前三次至少有一次摸到红球的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用间接法求解，先求前三次均未摸到红球的概率，进而求出前三次至少有一次摸到红球的概率.
14．（2025高二下·长沙期末）设函数，若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的大致图象，如图所示：
若且， 则，
因为，所以，又因为，所以，
则，
由，故在上单调递减，
，
则的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】画出函数的图象，由题意可得的范围，由可得，由可得，可得，判断函数的单调性求取值范围即可．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·长沙期末）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：由题意可知：，
即，化简可得，
在中，，由余弦定理得，
则，解得，
则．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）由题意可得，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得．
因为，所以，
所以，故，
又因为，所以．
（2）由题意可知，
即，化简可得．
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍）．
则．
16．（2025高二下·长沙期末）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性 48 72
女性 24 56
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关；
（2）解：由分层随机抽样可知：抽取男性用户2人，女性用户1人；
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，，
，
则.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，完善列联表，计算，与临界值比较判断即可；
（2）先求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
（1）由题意，列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关.
（2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人.
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，
，
故.
17．（2025高二下·长沙期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，设，连接，如图所示：
在三棱柱中，因为是平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，所以，，两两相互垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，即，
因为，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：易知平面的一个法向量为，
，
由图可知：二面角为钝角，则二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，设，连接，证明，结合线面平行的判定定理证明及可靠；
（2）由题意推得，，两两相互垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）易知平面的一个法向量为，利用向量夹角公式求解即可.
（1）连接，设，连接.
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点.
因为为的中点，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，，平面，
所以平面，平面，所以.
又，所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则即
令，则，.于是.
因为
所以.
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为平面，
所以是平面的一个法向量.
所以.
由题设，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
18．（2025高二下·长沙期末）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
【答案】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即①，
又因为点在椭圆上，所以②，
由①②③解得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：易知，，
设直线的方程为，因为直线不过点，所以，
联立，消元整理可得，解得，
即，，
直线的斜率为，故直线的方程为，
令，得，
直线的斜率，
则直线的斜率为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，即可求得椭圆方程；
（2）易知，，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，表示出坐标，求得直线的方程，令，得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
19．（2025高二下·长沙期末）张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义， 即若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为 “广义差商有界”函数.
（1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数
（2）已知函数 .
（i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值.
【答案】（1）解： 在 上不是 “差商有界” 函数；
理由如下：假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，
不等式 恒成立，即 ，可见 ；
取 ，代入 ，得 ，
即 ，产生矛盾，故 在 上不是“差商有界”函数，
在 上是 “广义差商有界” 函数，
证明如下：
设 且 ，
即 ，
因为 ，所以 ，其中，
故 在区间 上是 “广义差商有界” 函数；
（2）解：(i ) 在区间 上不是“差商有界”函数，
理由如下：
函数定义域为， ，
当 时， ，则 在区间 上单调递减，
取 (其中 ) 且 ，若满足 ，
则 ，
即①，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
从而 ，即 ，这与①矛盾，
故 在区间 上不是 “差商有界” 函数；
(ii) 由 ，得 ，令 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
即 ，
即 ，即 ，
设 ，
，函数 在 上单调递增，
从而 ，即 ，符合题意，
设 ，
则 (其中 )，
若 ，则 ，则 在 上单调递减，
从而 ，符合题意，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，
设，
当 ，即 时， ，符合题意，
当 ，即 时，设 ，则 ， ，
因为 (利用 时 )，
所以 ，
令 ，解得 ，
则存在 ，即存在 ，使 ，不合题意，
综上， ，即 ，解得 ，故正整数 的最小值为 2 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）直接利用函数新定义判断即可；
（2）（i）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断其单调性，再利用函数新定义结合导数分析 在区间 上单调递减，得到与①矛盾的结果即可；
（ii）结合函数新定义构造函数，利用导数分析其单调性求出的最小值，再构造函数，利用导数找到其隐零点即可.
（1） 在 上不是 “差商有界” 函数.理由如下：
假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，即 ，可见 ；
取 ，代入 ，得 ，
即 ，产生矛盾，故 在 上不是“差商有界”函数.
在 上是 “广义差商有界” 函数.
证明如下：
设 且 ，
即 ，
又 ，所以 ，其中 .
故 在区间 上是 “广义差商有界” 函数.
（2）(i ) 在区间 上不是“差商有界”函数.
理由如下：
，
当 时， ，则 在区间 上单调递减.
取 (其中 ) 且 ，若满足 ，则 ，
即 . ①
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
从而 ，即 ，这与①矛盾，
故 在区间 上不是 “差商有界” 函数.
(ii) 由 ，得 ，
令 ，则 .
设 ，则 ，则 ，
即 ，
即 ，即 .
设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ，符合题意.
设 ，
则 (其中 ).
若 ，则 ，则 在 上单调递减，
从而 ，符合题意.
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
设 .
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，设 ，则 ， .
因为 (利用 时 )，所以 .
令 ，解得 ，
则存在 ，即存在 ，
使 ，不合题意.
综上， ，即 ，解得 ，故正整数 的最小值为 2 .
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