必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第二章一元二次函数、方程和不等式
单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．使“”成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则的最大值为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
4．设集合，集合，则（　　）
A． B． C．(－1，4) D．
5．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．
6．已知，，且满足，则的最大值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．1
7．若 ，则M，N的大小关系是（　　）
A．M＝N B．MN
8．已知，，则（　　）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．设正实数a，b满足 ，则（　　）
A． 有最小值4 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
10．下列各结论正确的是（　　）
A．“xy>0”是“ >0”的充要条件
B． 的最小值为2
C．命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x≤1，x2-x≤0”
D．“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件
11．已知关于 的不等式 解集为 ，则（　　）
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为
三、填空题(共3题；共15分)
12．设 ， ， ，则M与N的大小关系为　 　.
13．若不等式恒成立，则a的取值范围是　 　.
14．已知正数a，b，c满足，且，则的最小值为　 　.
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求b的取值范围.
16．已知：存在，，：任意，．
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数的取值范围．
17．已知正实数，满足.求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值.
18．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
（Ⅰ）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
19．已知关于x的不等式 ，其中 ．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足 （其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，解得，
因为是的真子集，故A正确.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式，在根据充分、必要条件分析判断.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
3．【答案】C
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
【分析】利用基本不等式即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】因为集合，集合，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集再由并集的定义结合不等式即可得出答案。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：命题“”为真命题，
当，即时，则恒成立，故符合题意；
当，即时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得命题“”为真命题，分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题运算求解.
6．【答案】D
【解析】【解答】因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为1。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出的最大值。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴，
∴ ，即M故答案为：B
【分析】利用已知条件结合不等式的性质和放缩法，从而比较出 M，N的大小 。
8．【答案】C
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】因为 且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项，即可得出答案。
10．【答案】A,D
【解析】【解答】xy>0 >0，A符合题意；
y= ，令t= ≥3，则y=t+ ，且在区间[3，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+ ，B不符合题意；
命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x>1，x2-x≤0”，C不符合题意；
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合不等式基本性质和充分条件、必要条件的判断方法推出 “xy>0”是“ >0”的充要条件 ；再利用函数的单调性求出 的最小值 ；再利用全称命题与特称命题互为否定的关系写出命题“ x>1，x2-x>0”的否定；最后利用利用已知条件结合二次函数图象过点结合代入法和充分条件、必要条件的判断方法推出 “二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件，从而找出正确结论。
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】因为关于 的不等式 解集为 ，
所以 和 是方程 的两个实根，且 ，故 错误；
所以 ， ，所以 ，
所以不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，故 正确；
因为 ，又 ，所以 ，故 正确；
不等式 可化为 ，又 ，
所以 ，即 ，即 ，解得 ，故 正确.
故答案为：BCD.
【分析】由已知可得 和 是方程 的两个实根，由韦达定理可得 ， ，解得 ，且，然后对应各个选项逐个判断，即可得出答案。
12．【答案】M＞N
【解析】【解答】
，
故答案为：M＞N.
【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为x2+2(a+1)+a2≥0恒成立，
所以，解得：
故答案为：
【分析】利用一元二次不等式的解法求解。
14．【答案】2
【解析】【解答】因为，，
则，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
15．【答案】（1）因为，，
所以，.
（2），因为，所以，
则解得，B的取值范围是.
【解析】【分析】(1)根据题意首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此即可得出集合A，再由补集和交集的定义结合不等式，即可得出答案。
(2) 由已知条件即可得出，再由集合之间的关系对边界点进行限制，由此即可得出关于b的不等式组，求解出b的取值范围即可。
16．【答案】（1）解：真：恒过，显然不成立，开口向下，，
真：，解得.
为假，则假假，故.
（2）解：，一真一假
假真，则有，
真假，则有，
综上：或.
【解析】【分析】（1）为假命题，则命题p、q都是假命题，进而求得参数的取值范围；
（2）为真命题且为假命题，则命题p、q一真一假，分假真和真假两种情况，分别求得参数的取值范围。
17．【答案】（1）解：因为，是正数，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为；
（2）解：由可得，即，
所以，，
又，因为，，
所以
当且仅当，时等号成立，故的最小值为．
（3）解：由可得，所以，
所以，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为.
【解析】【分析】（1）化简得到，结合基本不等式，即可求解.
（2） 根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（3）根据题意得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
18．【答案】解：（Ⅰ）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，
解得 ，
∵ ，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（Ⅱ）①由技术人员年人均投入不减少有 ，解得 .
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以 得 ，
整理得 ，
故有 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值7，所以 ，
∴ ，即存在这样的m满足条件，使得其范围为
【解析】【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得x的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得 ，结合基本不等式求得m的范围.
19．【答案】（1）解：当 时，不等式化为 ，
此时 ，不等式的解集是 ，
当 时，不等式化为 ，不等式的解集是 ，
当 时，不等式化为 ，
此时 ，不等式的解集是 ，
当 时，不等式化为 ，不等式的解集是 ，
当 时，不等式化为 ，
此时 ，不等式的解集是 ，
综上：当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
当 时，不等式的解集是 ，
（2）解：若B为有限集，则 此时 ，
要使B中元素个数最少，则 最大，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 时，集合B中元素最少.
【解析】【分析】(1)根据题意对k分情况讨论： 求出当 时，当 时，当 时，当 时，当 时 一元二次不等式的解集即可。
(2)由已知条件 若B为有限集等差 以及，再由已知要使B中元素个数最少，则 的值最大 ，对该式整理结合基本不等式即可求出最值以及对应的最值的k的取值。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 命题的否定 6.0(4.0%) 10
2 交、并、补集的混合运算 13.0(8.7%) 15
3 利用不等式的性质比较数（式）的大小 15.0(10.0%) 2,7,12
4 必要条件、充分条件与充要条件的判断 11.0(7.3%) 1,10
5 二次函数与一元二次不等式的对应关系 6.0(4.0%) 11
6 命题的真假判断与应用 20.0(13.3%) 5,16
7 不等关系与不等式 5.0(3.3%) 2
8 基本不等式在最值问题中的应用 70.0(46.7%) 6,8,10,14,17,18,19
9 并集及其运算 5.0(3.3%) 4
10 一元二次不等式及其解法 73.0(48.7%) 1,4,5,11,13,15,18,19
11 存在量词命题 5.0(3.3%) 5
12 集合中元素的个数问题 17.0(11.3%) 19
13 集合间关系的判断 13.0(8.7%) 15
14 元素与集合的关系 17.0(11.3%) 19
15 基本不等式 26.0(17.3%) 3,9,17
16 一元二次不等式的实际应用 32.0(21.3%) 16,18
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