2.4.2等比数列的性质和应用 （第2课时）

课件24张PPT。2.4.1等比数列的性质和应用
（第二课时） 高中数学教师欧阳文丰制作2.类比等差数列的性质，探究等比数列的性质： an+1-an=dd 叫公差 an= a1+(n-1)dq叫公比 an=a1qn-11.温故知新等差数列｛ an ｝中 ,（m 、 n、ｐ、ｑ ∈ N+）:① an=am+ (n-m)d
②若 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq 一、例题探究等差数列与等比数列的对照表： an+1-an=dd 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你还知道等差数列有什么性质吗?你能类比写出等比数列的性质吗?q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m思考：我们知道，等差数列{an}满足下列公式
（1）an=am+(n-m)d；
（2）若m+n=p+q，则am+an =ap+aq
那么，等比数列是否也有类似的公式呢？在等比数列{an}中，
（1）an=amqn-m；
（2）若m+n=p+q，则am·an =ap·aq
特别地，若m+n=2p，则am·an =ap2 例2、已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列
{anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点。证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则 ∵pq是一个与n无关的常数，
∴{anbn}是以pq为公比的等比数列.思考：那数列 是不是也是等比数列呢？ {an+bn}呢？探究1：若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？探究2：若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的
数列是等比数列吗？√√√×1或-2随堂练习一：1.在等比数列{an}中，若2an=an+1+an+2，则公比q=______.9±381C4.已知是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，
那么a3+a5= ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
5.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=____A9随堂练习二：2.若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成 数列；等比拓展：若 a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc是否
一定成等差数列？不一定，只有当a，b，c都大于0才成立.1.若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成 数列；等差 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：（1）1， , 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。二、等比中项练习：已知等差数列{an}的公差d≠0，
且a1，a3，a9成等比数列，则 a1＋a3＋a9
的值为________．
a2＋a4＋a10易错点评：没有分清等差数列与等比数列．例3、已知三数成等比数列，它们的和等于14，它们的积是64，求这三个数.故这三个数为2，4，8或8，4，2. [变式练习]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
易错点评：审题不细心．根据a7是a5与a9的等比中项求出a7 后易忽视对a7 符号的讨论．补充例题讲解归纳总结判断一个数列是等比数列常用的方法：等差数列与等比数列的类比(2)若m+n=p+q
(m,n,p,q∈N+)
则 am· an=ap· aq .(2)若m+n=p+q (m,n,p,q∈N+)
则 am+an=ap+aq .2an=an-1+ an+1 .(3) an2=an-1· an+1 .（1）证明：∵ a1=1>0
∴由an+1=2an+1可知{an}是递增数列
∴an>0，故an+1≠0∵an+1+1=2an+2=2(an+1)∴数列{an+1}是等比数列.思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.附加、构造新数列转化为等比数列求通项公式：（2）解：∵ a1=1
∴a1+1=2
∴数列{an+1}是一个首项为2，公比也为2
的等比数列
∴an+1=2×2n-1=2n
故an=2n-1思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
（1）求证数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
[思路探索] (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明；
(2)求出{an－n}的通项公式，即可求出an.
解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
【例5】 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝
2,3，…)．