第二十二章二次函数培优提升训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十二章二次函数培优提升训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）
2．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3．如果二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0
D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜
7．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．对于抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x﹣a+1，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
10．二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m（m为常数），当﹣1≤x≤4时，y的最大值为6，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
二、填空题
11．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　．
12．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 平方米．
13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ．
14．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ．
三、解答题
15．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
16．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元．
（1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
17．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
18．已知二次函数y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5（m是常数，且m≠0）的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个二次函数图象的对称轴；
（2）将这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在0≤x≤3的范围内有最小值，求t的值．
19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）
【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）．
故选：D．
2．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由题意，∵y＝2（x+1）2+3，
∴当x＝﹣1时，y取最小值为3．
故选：D．
3．如果二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∴y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2﹣1+c，
∴二次函数的图象开口向上，当x＝1时，y最小＝﹣1+c，
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0，
∴﹣1+c＝0，
∴c＝1，
故选：B．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0
D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故A选项不符合题意．
因为抛物线经过点（﹣3，0）和（1，0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
则，
所以2a﹣b＝0．
故B选项不符合题意．
将b＝2a代入a+b+c＝0得，
a+2a+c＝0，
所以3a+c＝0．
故C选项不符合题意．
因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝．
又因为抛物线开口向下，
所以当x＝﹣1时，函数取得最大值a﹣b+c，
所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2+bm≤a﹣b．
故D选项符合题意．
故选：D．
5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【解答】解：由题知，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x．
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，
﹣x2+2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
故D选项符合题意．
故选：D．
6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜
【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限，
∴﹣，
∴，
∴a﹣1≥0，Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0，
解得1≤a＜，
∴a的取值范围为1≤a＜．
故选：A．
7．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，
函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误；
y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误；
当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确．
故选：C．
8．对于抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x﹣a+1，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a+（2a+1）﹣a+1＜0，
∴a＜﹣1，
∴0，0，
∴这条抛物线的顶点一定在第一象限，
故选：A．
9．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+2＝a（x+1）2﹣a+2，
将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝a（x+1+2）2﹣a+2﹣3，即y＝a（x+3）2﹣a﹣1，
∵得到的抛物线经过点（﹣1，2），
∴4a﹣a﹣1＝2，
∴a＝1．
故选：B．
10．二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m（m为常数），当﹣1≤x≤4时，y的最大值为6，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
【解答】解：由条件可知：当m＜0时，二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m有最大值﹣3m＝6，
解得：m＝﹣2，
当m＞0时，二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m有最小值﹣3m，
二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m的对称轴为x＝2，
∵4﹣2＜2﹣（﹣1），
∴当x＝﹣1时，y有最大值6，
可得：m（﹣1﹣2）2﹣3m＝6，
解得：m＝1，
综上所述m的值为1或﹣2．
故选：D．
二、填空题
11．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，
解得m≤，
即m的取值范围为m≤．
故答案为：m≤．
12．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米．
【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，
又墙长为40米，
∴0＜60﹣2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．
故答案为：450．
13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ．
【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1），
∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1，
此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
14．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ．
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，
∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31
解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）．
②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
综上所述，t的值是﹣5或1．
故答案为：﹣5或1．
三、解答题
15．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
16．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元．
（1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
把点（30，100），（40，80）代入y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+160（20＜x≤50）；
∴W＝（x﹣20） y＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）
（2）﹣2x+160≥90．
∴x≤35．
∵20＜x≤50，
∴20＜x≤35．
W＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800．
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵对称轴为直线x＝50，
∴在20＜x≤35时，W随x的增大而增大，
∴当x＝35时，W取最大值，此时W＝﹣2×（35﹣50）2+1800＝1350，
答：当售价定为35元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
17．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
18．已知二次函数y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5（m是常数，且m≠0）的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个二次函数图象的对称轴；
（2）将这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在0≤x≤3的范围内有最小值，求t的值．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5＝m（x﹣3）2﹣10m﹣5，且m≠0，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝3．
（2）由题意，∵图象与x轴只有一个公共点，
∴二次函数图象的顶点在x轴上．
又∵二次函数为y＝m（x﹣3）2﹣10m﹣5，
∴顶点为（3，﹣10m﹣5）．
∴﹣10m﹣5＝0，
解得m，
∴二次函数解析式为y（x﹣3）2，，
∴这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度后所得抛物线解析式为y（x﹣3+t）2，
∵新抛物线的对称轴为直线x＝3﹣t，
∴当0＜t时，当x＝0时，二次函数y（x﹣3+t）2，有最小值，
∴（﹣3+t）2，
解得t1＝3（舍去），t2＝3；
当t≤3时，当x＝3时，二次函数y（x﹣3+t）2，有最小值，
∴（3﹣3+t）2，
解得t1，t2（舍去），
综上所述，t的值为3或．
19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线，
∴，B（2，0）．
∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）2+c．
∵C（0，1），A（2，0）在抛物线上，
∴．
∴．
∴y（x+2）2+3x2﹣2x+1．
∴抛物线的函数表达式为yx2﹣2x+1．
（2）由题意，∵E（n，0），
∴F（﹣4﹣n，0），D（n，n2﹣2n+1）．
∴DEn2﹣2n+1，EF＝4+2n．
∴m＝2（n2﹣2n+1+4+2n）＝﹣n2+10，即m与n的函数关系式是m＝﹣n2+10．
∴当n＝0时，m的值最大，m的最大值是10．
（3）2＜k＜3．理由如下：
当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，
又∵yx2﹣2x+1（x+2）2+3，
∴顶点坐标是（﹣2，3）．
由（2）可得D（0，1），
∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度．
又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，
∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点．
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
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