第四章图形的相似课后培优训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第四章图形的相似课后培优训练北师大版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4、3、8、6 B．1、2、3、5 C．3、4、5、6 D．2、3、6、8
5．如图，，，，则的长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．20
6．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
7．如图，，，则下列比例式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，连接，将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长，交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在正方形中，点在边上，，，则正方形边长为 ．
12．如图，在中，，是斜边上的高，若，，则的长 ．
13．如图，在中，，点、分别在、边上，若，，，，则的长为 ．
14．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．
（1）若，则 ．
（2）若，则的值是 ．
三、解答题
15．如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交，于点P，Q．
(1)求证：；
(2)求．
16．将图中的作下列变换，画出相应的图形．
(1)以O点为旋转中心顺时针旋转；
(2)以B点为位似中心，放大到2倍．
17．在平面直角坐标系中，A在y轴正半轴上，B在x轴的正半轴上，C在第一象限，，，
(1)如图1，若，，求点A的坐标；
(2)如图2，若，求的长度；
(3)如图3，在（1）的条件下，动点E，F分别从A，B两点出发，以相同的速度沿和向终点O，A运动，运动时间为t，一个点到达终点另一个点也停止运动，以为边向下作等边，直线交y轴于点H，求点H的坐标
18．如图，点E，F分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点G，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
19．如图，在中，，延长到点D，使，延长到点E，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点G，延长交于点H．
(1)求的长．
(2)求的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A B B B A D C
二、填空题
11．
12．
13．
14．
三、解答题
15．【解】（1）证明：∵四边形和为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点R为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．【解】（1）如图，即为所求：
（2）如图，和即为所求：
17．【解】（1）解：∵，，
∴，
中，，
∴，
∴；
（2）解：如图2，延长到E，使，连接，交y轴于点F，过C作轴于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3，∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
19．【解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）解：如图，连接，
∵由沿折叠得到，
∴，，
∵E为中点，正方形边长为1，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
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