第二章一元二次方程课后培优训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第二章一元二次方程课后培优训练北师大版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
2．下列关于的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ）
A． B． C． D．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A．或2 B．或8 C．2 D．8
8．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A． B．8 C． D．
9．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．如果是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
13．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
14．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ．
三、解答题
15．解方程：
(1)
(2)
16．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实根满足，求的值．
17．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
18．商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件．
(1)当商品售价降价元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元；
(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？
19．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B A B D A C B
二、填空题
11．1
12．2029
13．8
14．
三、解答题
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
16．【解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程的两个实根是和，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
17．【解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
∴，，
解得，．
18．【解】（1）解：由题意可知，（件），
（元），
即当商品售价降价元时，每天销售量可达到件，每天盈利元，
故答案为：，；
（2）解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵为了让顾客得到更多的实惠，
∴，
答：每件商品应降价元．
19．【解】（1）证明：，
；
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：或（不合题意，舍去）；
．
20.【解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，．
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