第一章特殊平行四边形课后培优训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第一章特殊平行四边形课后培优训练北师大版2025—2026学年九年级上册
一、单项选择题
1．下列命题中真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等
3．一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）．
A．48 B．24 C．12 D．18
4．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若平分，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是正方形
D．若且，则四边形是正方形
7．如图所示，在矩形纸片中，已知，叠纸片使点B落在对角线上的点F处，折痕为，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点（不与点A，B重合），，，垂足分别是点E，F，点Q是的中点，则线段长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，平分∠ABC，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，则线段的长为（ ）
A．8 B．10 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为 ．
12．如图所示，四边形是正方形，边长为，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为 ．
13．菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是 ．
14．如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接．
（）当与重合时， ；
（）若四边形为正方形，则 ．
三、解答题
15．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，且平分，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
16．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求线段的长．
17．如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M．
(1)求的度数；
(2)当时，求的长；
(3)若点M是的中点，求证：．
18．如图，在中，，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的面积．
19．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
20．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且，点M是直线上的一个动点．
(1)求的值；
(2)连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标．
参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D A D D A C D
二、填空题
11．
12．
13．120
14．
三、解答题
15．【解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线，交于点，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，为中点，
∴．
16．【解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：平分，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，即的长是．
17．【解】（1）解：如图：连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中．
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：∵M是的中点，
∴，
设，则，，
由（2）同理可得，
∴，
∴，
∴，
如图：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【解】（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴．，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
19．【解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形；
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：分以下两种情况讨论：
①当与的夹角为时，点F在边上，，
∴，
在四边形中，由四边形内角和定理得：
；
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，，
∴．
20．【解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
将代入一次函数得：，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
将点代入一次函数得：，
解得．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
由（1）得：一次函数的解析式为，
设点的坐标为，则的边上的高为，
①当点在线段上时，则，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴的面积为，
∴，
解得，
∴，，
∴此时点的坐标为；
②当点在线段延长线上时，则，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴的面积为，
∴，
解得，
∴，，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
（3）解：①如图，当为菱形的对角线时，
由菱形的性质可知，与互相垂直且平分，
∴点的纵坐标与的中点的纵坐标相等，即为，
将代入一次函数得：，解得，
∴，
又∵与互相垂直且平分，
∴点与点关于轴对称，
∴；
②如图，当为菱形的对角线时，则，
设点的坐标为，
∵，
∴，
整理得：，
解得，
当时，，则，
当时，，则，
由菱形的性质可知，，
∵轴，
∴轴，
∴或，
即或；
③如图，当为菱形的对角线时，则，
设点的坐标为，
∴，
整理得：，
∵当时，点与点重合，
∴，
∴由得：，
解得，
∴，
∴，
由菱形的性质可知，，
∵轴，
∴轴，
∴，即；
综上，点的坐标为或或或．
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