第二十三章旋转课后培优提升训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十三章旋转课后培优提升训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，点A（2，m）和B（n，3）关于原点中心对称，则m+n＝（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
3．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30° B．90° C．120° D．180°
5．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
6．如图，把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，若∠ADE的平分线经过点B，连接EC，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝DE B．DB∥EC C．BD⊥AE D．∠BDE＝∠ACE
7．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．已知点P（5，a）关于原点对称的点为Q（b，﹣6），则（a+b）2024的值为　 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为　 　．
11．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是　 ．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于　　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转70°得到△DBE，连接AD交BE于点F，点C、A、D在一条直线上，则∠DBE的度数为　 °．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC内一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠DCE＝∠ACB，连结AD，DE，BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE．
（2）当∠CAB＝60°时，求∠CBE与∠BAD的度数和．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
16．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；
（3）利用格点图，画出AC边上的高BD，并求出BD的长，BD＝　　．
17．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．
（1）求∠CFA度数；
（2）求证：△ACD≌△ECD；
（3）AD和BC有什么位置关系？请说明理由．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
19．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 　 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数；
（4）求△ABC的面积S△ABC．
20．三角形面积的计算．
（1）如图①，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4，
①设BD＝x，用x表示AD2；②求BD长；③求△ABC的面积．
（2）如图②，点D是等边△ABC内一点，AD＝5，BD＝7，CD＝4．将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，连结DE．
①求△CDE的面积；
②求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题
1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
2．已知，点A（2，m）和B（n，3）关于原点中心对称，则m+n＝（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【解答】解：由条件可知n＝﹣2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣5，
故选：A．
3．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，
∴∠BOD＝70°，
而∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．
故选：D．
4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30° B．90° C．120° D．180°
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
6．如图，把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，若∠ADE的平分线经过点B，连接EC，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝DE B．DB∥EC C．BD⊥AE D．∠BDE＝∠ACE
【解答】解：∵把△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，，，
∴∠ACE＝∠ADB．
∵DB为∠ADE的平分线，
∴∠BDE＝∠ADB，
∴∠BDE＝∠ACE．
故D选项正确，符合题意．
根据已知条件不能得出A，B，C选项，
故A，B，C选项不正确，不符合题意．
故选：D．
7．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．
二、填空题
9．已知点P（5，a）关于原点对称的点为Q（b，﹣6），则（a+b）2024的值为　1　 ．
【解答】解：由条件可知a＝6，b＝﹣5，
∴（a+b）2024＝（6﹣5）2024＝12024＝1，
故答案为：1．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为　3　．
【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，
∵DE＝EF，
∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
则AB＝AE＝3，
故答案为：3
11．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是　（1，1）或（4，4）　．
【解答】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于　4　．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，
∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，
∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF＝45°，
∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°，
∴∠FBG＝∠FBE，
在△FBG和△EBF中，
，
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG＝EF，
而FG＝FC+CG＝CF+AE，
∴EF＝CF+AE，
∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4
故答案为：4．
13．如图，在△ABC中，∠C＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转70°得到△DBE，连接AD交BE于点F，点C、A、D在一条直线上，则∠DBE的度数为　30　 °．
【解答】解：∵△ABC绕点B逆时针旋转70°得到△DBE，
∴BD＝BA，∠ABD＝∠CBE＝70°，
∴∠BDF55°，∠BFC＝180°﹣∠C﹣∠CBE＝180°﹣25°﹣70°＝85°，
∴∠DBE＝∠BFC﹣∠BDF＝85°﹣55°＝30°．
故答案为：30．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC内一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠DCE＝∠ACB，连结AD，DE，BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE．
（2）当∠CAB＝60°时，求∠CBE与∠BAD的度数和．
【解答】（1）证明：由旋转得，CD＝CE．
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠DCB＝∠ACB﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE．
∵∠CBA＝60°，CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°．
∴∠CBE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠CAB＝60°．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【解答】解：（1）∵把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝∠BAC
∴∠DAB＝∠EAC，且AD＝AB，AE＝AC
∴△AEC≌△ADB
（2）∵ADFC是菱形
∴AD＝AC＝CF＝DF＝AB＝，AD∥CF，DF∥AC
∴∠DBA＝∠BAC＝45°
∵AD＝AB∴∠DBA＝∠BDA＝45°
∴∠DAB＝90°
∴BD2＝AD2+AB2．
∴BD＝2
∴BF＝2﹣
16．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；
（3）利用格点图，画出AC边上的高BD，并求出BD的长，BD＝　　．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）如图线段BD即为所求．
∵S△ABC＝ AC BD，
∴BD＝＝．
故答案为．
17．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．
（1）求∠CFA度数；
（2）求证：△ACD≌△ECD；
（3）AD和BC有什么位置关系？请说明理由．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，
∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE，
∴CF＝AC，
∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°，
∴∠CFA＝（180°﹣∠ACF）＝75°；
（2）证明：∵△ABC和△EFC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠E＝60°，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECD，
在△ACD和△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS）
（3）解：AD∥BC，理由如下：
∵△ECD≌△ACD，
∴∠DAC＝∠E＝60°，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM．
又∵DF＝DF，DE＝DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为．
19．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 　60　度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数；
（4）求△ABC的面积S△ABC．
【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（4）如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
20．三角形面积的计算．
（1）如图①，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4，
①设BD＝x，用x表示AD2；②求BD长；③求△ABC的面积．
（2）如图②，点D是等边△ABC内一点，AD＝5，BD＝7，CD＝4．将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，连结DE．
①求△CDE的面积；
②求△ABC的面积．
【解答】解：（1）①∵AD是△ABC的高，AB＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2，
②∵AD是△ABC的高，AC＝4
∴AD2＝AC2﹣CD2，
∴25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，
∴x＝3
∴BD＝3
③∵AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2＝16
∴AD＝4
∴S△ABC＝×BC×AD＝14
（2）①∵将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBE的位置，
∴BD＝BE＝7，∠DBE＝60°，AD＝CE＝5，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝7，
∴在△DEC中，DC＝4，DE＝7，CE＝5
由（1）可得△DEC的面积＝14
②∵S△ABD+S△BDC＝S四边形BDCE，
∴S△ABD+S△BDC＝×49+14＝
同理可得：S△ABD+S△ADC＝×25+14＝+14，
S△ACD+S△BDC＝×32+14＝8+14
∴S△ABC＝21+
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