第二十三章旋转课后提升训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十三章旋转课后提升训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
2．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转到△ACP的位置，则旋转角的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．72° B．108° C．144° D．216°
4．四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标正确的是（　　）
A．A1（0，5） B．B1（2，﹣3） C．C1（0，1） D．D1（5，﹣1）
5．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BE，点C恰在线段BE上，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC∥DE B．∠BED＝70° C．AC＝BC D．BE⊥AD
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2
8．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　）
A． B． C． D．．04
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　 　．
10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　 　度．
11．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　 　．
13．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合，若PB＝3，AP＝4，∠APB＝135°，则PC＝ 　 ．
14．如图，把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点E，连接CE，若AB＝2，则CE2的值是 　 ．
三、解答题
15．如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．
17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若BC＝2，求AB的长．
19．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△BAD．
（2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数．
20．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °．
21．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝ODAB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．
参考答案
一、选择题
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：B．
2．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转到△ACP的位置，则旋转角的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵将△ABD经过旋转到△ACP的位置，
∴旋转角为∠BAC＝60°，
故选：D．
3．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．72° B．108° C．144° D．216°
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．
故选：B．
4．四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标正确的是（　　）
A．A1（0，5） B．B1（2，﹣3） C．C1（0，1） D．D1（5，﹣1）
【解答】解：四边形ABCD各顶点坐标分别为A（5，0），B（﹣2，3），C（﹣1，0），D（﹣1，﹣5），它们关于原点对称的点A1，B1，C1，D1的坐标分别为：
A1（﹣5，0），B1（2，﹣3），C1（1，0），D1（1，5）．
故选：B．
5．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接BE，点C恰在线段BE上，下列结论一定正确的是（　　）
A．AC∥DE B．∠BED＝70° C．AC＝BC D．BE⊥AD
【解答】解：如图，∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，∠B＝30°，
∴∠D＝∠B＝30°，∠BAD＝∠CAE＝70°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BAC＝55°﹣30°＝25°，
∴∠CAD＝70°﹣25＝45°，
∴∠CAD≠∠D，
∴AC与DE不平行，故A不符合题意；
∵∠ACE＝∠AEC＝55°，
∴∠ACB＝∠AED＝180°﹣55°＝125°，
∴∠BED＝125°﹣55°＝70°，故B符合题意；
∵∠BAC＝25°，∠B＝30°，
∴∠BAC≠∠B，
∴AC≠BC，故C不符合题意；
∵∠BAD＝70°，∠B＝30°，
∴BE不垂直AD，故D不符合题意．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠EAB＝∠CAD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∵BC＝2，BD：CD＝1：3，
∴BD＝，CD＝BE＝，
∴＝，
故选：B．
7．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2
【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，
∴DO＝1，AO＝DO＝，
∴AC＝2，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，
∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，
∴A，D'，C三点共线，
∴CD'＝CA﹣AD'＝2﹣2，
又∵∠ACB＝30°，
∴D'E＝﹣1，
CE＝D'E＝3﹣，
∵重叠部分的面积＝△ABC的面积﹣△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积＝×＝3﹣；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3﹣，
故选：A．
8．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　）
A． B． C． D．．04
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，
∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，
∵BE平分∠DBC，
∴，
由旋转得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF，
设BC＝CD＝x，
则，BF＝BC+CF＝x+1，
∴，
解得：，
∴，
∵CF＝CE＝1，
∴DE＝CD﹣CE，
∴1，
故选：B．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　80　度．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，
故答案为：80．
11．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　　 ．
【解答】解：如图，连接AC，OB，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD，
令S△AOB＝S△BOC＝S，
∵EFAB，GHBC，
∴S△EOFS，S△GOHS，
∴．
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　（﹣4，8）　．
【解答】解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
13．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合，若PB＝3，AP＝4，∠APB＝135°，则PC＝ 　　．
【解答】解：连接PP′，
∵将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合，
∴∠ABP＝∠CBP′，CP′＝AP＝4，BP′＝BP＝3，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴∠PBP′＝∠ABC＝90°，
∴，∠BP′P＝∠P′PB＝45°，
∴∠P′PC＝90°，
∴，
故答案为：．
14．如图，把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点E，连接CE，若AB＝2，则CE2的值是 　20﹣8　 ．
【解答】解：连接AF，CF，过F作FH⊥AD于H，如图：
∵边DA绕点D逆时针旋转30°，得到线段DF，
∴AD＝DF，∠ADF＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴AB＝AD＝DF＝2，
∴HFDF2＝1，DHHF，
∴AH＝AD﹣DH＝2，
∵∠FDC＝90°﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°，CD＝AD＝DF，
∴△CDF是等边三角形，
∴DF＝CF，∠DCF＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣∠DCF＝30°＝∠ADF，
∵AD＝DF＝CF＝BC，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∴90°﹣∠FAB＝90°﹣∠FBA，即∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF，
∵∠BAE＝90°＝∠FHE，
∴HF∥AB，
∴EH＝AH＝2，
∴DE＝DH﹣EH（2）＝22，
∴CE2＝DE2+CD2＝（22）2+22＝20﹣8，
故答案为：20﹣8．
三、解答题
15．如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．
【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求；
（2）如图，△A2O2B2即为所求；
（3）在Rt△AOB中，，
∴．
16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．
【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，
即∠ECD＝∠BCA，
由旋转可得CA＝CE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（SAS）．
∴AB＝ED．
（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，
又CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．
17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，
∠ADF+∠ABD＝90°，
则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若BC＝2，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠BAC＝∠CDF，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠CDF+∠ACB＝90°，
∴DF⊥AC，
∵点F是AC中点，
∴DF垂直平分AC，
∴AE＝CE；
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝CB＝2，
∴CE＝AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+2．
19．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△BAD．
（2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：由题意可得：
BO＝BD，∠OBD＝60°，
∵△ABC是等边三角形．
∴BA＝BC，∠CBA＝60°，
∴∠OBD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠ABD，
在△BCO和△BAD中，
，
∴△BCO≌△BAD（SAS）；
（2）解：由题意可得：OD＝OB＝6，∠ODB＝60°，
∵△BCO≌△BAD，
∴AD＝OC＝8，∠BOC＝∠ADB，
∵OA＝10，
∴AD2+OD2＝82+62＝100，OA2＝100，
∴OA2＝AD2+OD2，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝150°，
∴∠BOC＝∠ADB＝150°．
20．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：如图，设BD，AE交点为N，
由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AEF＝∠ABD＝45°，
∵∠ANB＝∠ENM，∠BAE＝20°，
∴∠BAE＝∠BME＝20°，
∴∠BMF＝180°﹣∠BAE＝160°，
故答案为：160．
21．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝ODAB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝ODAB，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2．
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x1（负值舍去），
∴AH1．
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